นอกจากสูตรของยูคลิดแล้วยังมีการพัฒนา สูตรอื่นๆ อีกมากมายสำหรับการสร้างชุดตัวเลขพีทาโกเรียน

สูตรของยูคลิด พีทาโกรัส และเพลโต สำหรับการคำนวณสามตัวเลขได้ถูกอธิบายไว้ในที่นี้:

วิธีการต่างๆ ด้านล่างนี้ ปรากฏอยู่ในแหล่งข้อมูลหลายแห่ง โดยมักไม่มีการระบุแหล่งที่มา

เลโอนาร์โดแห่งปิซา ( ประมาณ ค.ศ. 1170  – ประมาณ ค.ศ. 1250 ) อธิบายวิธีการนี้^{[ 1 ] [ 2 ]}สำหรับการสร้างสามตัวหลักโดยใช้ลำดับของจำนวนเต็มคี่ที่ต่อเนื่องกันและข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของ พจน์ nพจน์แรกของลำดับนี้คือถ้าkเป็น สมาชิกตัวที่ nของลำดับนี้แล้ว ${\displaystyle 1,3,5,7,9,11,\ldots }$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n=(k+1)/2}$

เลือกจำนวนกำลังสองคี่k ใดๆ จากลำดับนี้ ( ) และให้จำนวนกำลังสองนี้เป็นพจน์ที่nของลำดับ นอกจากนี้ ให้เป็นผลรวมของพจน์ก่อนหน้า และให้เป็นผลรวมของพจน์ทั้งnพจน์ จากนั้นเราได้พิสูจน์แล้วว่าและเราได้สร้างสามตัวเลขดั้งเดิม[ a , b , c ] = [ a , ( a ² −1)/2, ( a ² +1)/2]วิธีนี้สร้างสามตัวเลขดั้งเดิมได้เป็นจำนวนอนันต์ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ${\displaystyle k=a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

ตัวอย่าง: เลือก . จำนวนกำลังสองคี่นี้เป็นพจน์ที่ห้าของลำดับ เพราะ. ผลรวมของ 4 พจน์ก่อนหน้าคือและผลรวมของทุกพจน์คือทำให้เราได้และสามพจน์ดั้งเดิม[ a, b, c ] = [3, 4, 5 ] ${\displaystyle k=9=3^{2}=a^{2}}$${\displaystyle 5=n=(a^{2}+1)/2}$${\displaystyle b^{2}=4^{2}}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle c^{2}=5^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Michael Stifelได้เผยแพร่วิธีการต่อไปนี้ในปี 1544 ^{[ 3 ] [ 4 ]}พิจารณาลำดับของจำนวนคละที่มี . ในการคำนวณสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ให้เลือกพจน์ใดๆ ของลำดับนี้และแปลงเป็นเศษส่วนเกิน (สำหรับจำนวนคละเศษส่วนเกินที่สอดคล้องกันคือ) จากนั้นตัวเศษและตัวส่วนจะเป็นด้านbและaของ สามเหลี่ยมมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากคือb + 1ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}},\,2{\tfrac {2}{5}},\,3{\tfrac {3}{7}},\,4{\tfrac {4}{9}},\,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {n}{2n+1}}}$${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$

${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}\rightarrow [3,4,5],\;2{\tfrac {2}{5}}\rightarrow [5,12,13],\;3{\tfrac {3}{7}}\rightarrow [7,24,25],\;4{\tfrac {4}{9}}\rightarrow [9,40,41],\;\ldots }$

Jacques Ozanam ^{[ 5 ]}ได้ตีพิมพ์ลำดับของ Stifel อีกครั้งในปี 1694 และเพิ่มลำดับที่คล้ายกันด้วย. เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ในการสร้างสามตัวจากลำดับนี้ ให้เลือกพจน์ใดก็ได้และแปลงเป็นเศษส่วนเกิน จากนั้นตัวเศษและตัวส่วนจะเป็นด้านbและaของสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากคือb + 2ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}},\,2{\tfrac {11}{12}},\,3{\tfrac {15}{16}},\,4{\tfrac {19}{20}},\,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {4n+3}{4n+4}}}$

${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}}\rightarrow [8,15,17],\;2{\tfrac {11}{12}}\rightarrow [12,35,37],\;3{\tfrac {15}{16}}\rightarrow [16,63,65],\;4{\tfrac {19}{20}}\rightarrow [20,99,101],\;\ldots }$

โดยที่aคือด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า และbคือด้านประกอบมุมฉากที่ยาวกว่าของรูปสามเหลี่ยม และc คือด้านตรง ข้ามมุมฉาก ตระกูลสามตัวของพีทาโกรัสถูกกำหนดโดยc − b = 1ตระกูลเพลโตถูกกำหนดโดยc − b = 2และตระกูลแฟร์มาต์ถูกกำหนดโดย| a − b | = 1ลำดับสติเฟล (เทียบเท่ากับสามตัว { k^2+(k+1)^2 -1, 2 k + 1, k^2+(k+1)^2 } สำหรับจำนวนธรรมชาติ k) สร้างสามตัวดั้งเดิมทั้งหมดของตระกูลพีทาโกรัส และลำดับโอซานัม (เทียบเท่ากับสามตัว { 4 k^2- 1, 4 k, 4 k^2 + 1 } สำหรับ k >1) สร้างสามตัวดั้งเดิมทั้งหมดของตระกูลเพลโต ส่วนสามตัวของตระกูลแฟร์มาต์นั้นต้องค้นหาด้วยวิธีอื่น

Leonard Eugene Dickson (1920) ^{[ 6 ]}อ้างว่าตนเองมีวิธีการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดังต่อไปนี้ เพื่อหาคำตอบจำนวนเต็มของ ให้หาจำนวนเต็มบวกr , sและtที่ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จากนั้น: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$${\displaystyle r^{2}=2st}$

${\displaystyle x=r+s\,,\,y=r+t\,,\,z=r+s+t.}$

จากสิ่งนี้เราจะเห็นว่าrเป็นจำนวนเต็มคู่ใดๆ และsและtเป็นตัวประกอบของr ² /2วิธีนี้ไม่ได้สร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมด ( [5, 12, 13]ไม่ได้ถูกสร้างขึ้น ตัวอย่างเช่น) เมื่อsและtเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ สามเหลี่ยมจะเป็นแบบดั้งเดิม การพิสูจน์อย่างง่ายของวิธีของ Dickson ได้รับการนำเสนอโดย Josef Rukavicka, J. (2013) ^{[ 7 ]}

ตัวอย่าง: เลือกr = 6ดังนั้นr² /2 = 18 คู่ปัจจัยสามคู่ของ 18 คือ ( ¹ , 18), (2, 9) และ (3, 6) คู่ปัจจัยทั้งสามคู่นี้จะสร้างสามค่าโดยใช้สมการข้างต้น

s = 1 , t = 18จะได้ผลลัพธ์เป็นสามค่า [7, 24, 25]เนื่องจาก x = 6 + 1 = 7 , y = 6 + 18 = 24 , z = 6 + 1 + 18 = 25

s = 2 , t = 9จะได้ผลลัพธ์เป็นสามค่า [8, 15, 17]เนื่องจาก x = 6 + 2 = 8 , y = 6 + 9 = 15 , z = 6 + 2 + 9 = 17

s = 3 , t = 6จะได้ผลลัพธ์เป็นสามจำนวน [9, 12, 15]เพราะ x = 6 + 3 = 9 , y = 6 + 6 = 12 , z = 6 + 3 + 6 = 15 (เนื่องจาก sและ tไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ดังนั้นสามจำนวนนี้จึงไม่ใช่จำนวนดั้งเดิม)

สำหรับจำนวนฟิโบนาชชีที่เริ่มต้นด้วยF ₁ = 0และF ₂ = 1และจำนวนฟิโบนาชชีถัดไปแต่ละตัวเป็นผลรวมของสองจำนวนก่อนหน้า เราสามารถสร้างลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนโดยเริ่มต้นจาก( a ₃ , b ₃ , c ₃ ) = (4, 3, 5)ผ่าน

${\displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})=(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\,F_{2n-1}-b_{n-1},\,F_{2n})}$

สำหรับn ≥ 4

เราสามารถสร้างชุดตัวเลขพีทาโกเรียนได้โดยใช้จำนวนเต็มบวกสองจำนวนใดๆ โดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้โดยใช้ลำดับฟิโบนาชชีแบบ ทั่วไป

สำหรับจำนวนเต็มบวกเริ่มต้นh _nและh _{n +1}ถ้าh _n + h _{n +1} = h _{n +2}และh _{n +1} + h _{n +2} = h _{n +3}แล้ว

${\displaystyle (2h_{n+1}h_{n+2},h_{n}h_{n+3},2h_{n+1}h_{n+2}+h_{n}^{2})}$

เป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน^{[ 8 ]}

ต่อไปนี้เป็น แนวทางตาม เมทริกซ์ในการสร้างทริปเปิลดั้งเดิมด้วยลำดับฟิโบนาชชีทั่วไป^{[ 9 ]} เริ่มต้นด้วยอาร์เรย์ 2 × 2 และแทรกจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกันสองจำนวน( q , q ′)ในแถวบนสุด วางจำนวนเต็มคู่ (ถ้ามี) ในคอลัมน์ ด้านซ้าย

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}q&{q'}\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]}$

ทีนี้ลองใช้ "กฎฟิโบนาชี่" ต่อไปนี้เพื่อหาค่าในแถวล่างสุด:

${\displaystyle {\begin{array}{*{20}c}q'+q=p\\q+p=p'\end{array}}\to \left[{\begin{array}{*{20}c}q&q'\\p&p'\end{array}}\right]}$

อาร์เรย์ดังกล่าวอาจเรียกว่า "กล่องฟิโบนาชชี" โปรดทราบว่าq ′, q , p , p ′เป็นลำดับฟิโบนาชชีทั่วไป เมื่อนำผลคูณของคอลัมน์ แถว และแนวทแยงมาคำนวณ เราจะได้ด้านของสามเหลี่ยม[ a , b , c ]พื้นที่Aและเส้นรอบรูปPรวมถึงรัศมีr _iของวงกลมแนบในและ วงกลม แนบนอก ทั้งสามวง ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{array}{l}a=2qp\\b=q'p'\\c=pp'-qq'=qp'+q'p\\\\{\text{radii}}\to (r_{1}=qq',r_{2}=qp',r_{3}=q'p,r_{4}=pp')\\A=qq'pp'\\P=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}\end{array}}}$

ค่า แทนเจนต์ครึ่งมุมที่มุมแหลมคือq / pและq ′/ p ′

ตัวอย่าง:

โดยใช้ จำนวนเต็มที่ไม่มีตัว หารร่วมคือ 9 และ 2

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\11&13\end{array}}\right]}$

ผลคูณของคอลัมน์ แถว และแนวทแยงมุมคือ: (คอลัมน์: 22 และ 117), (แถว: 18 และ 143), (แนวทแยงมุม: 26 และ 99) ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{array}{l}a=2(22)=44\\b=117\\c=(143-18)=(26+99)=125\\\\{\text{radii}}\to (r_{1}=18,\quad r_{2}=26,\quad r_{3}=99,\quad r_{4}=143)\\A=18(143)=2574\\P=(18+26+99+143)=286\end{array}}}$

ค่าแทนเจนต์ครึ่งมุมที่มุมแหลมคือ 2/11 และ 9/13 โปรดสังเกตว่า หากจำนวนเต็มqและq ′ ที่เลือก ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ขั้นตอนเดียวกันนี้จะนำไปสู่สามจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะดั้งเดิม

วิธีการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม นี้ ยังให้คำตอบจำนวนเต็มสำหรับสมการวงกลมของเดส์การ์ต อีกด้วย ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)^{2}=2\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}\right),}$

โดยที่ ค่าความโค้ง จำนวนเต็มk _iได้มาจากการคูณส่วนกลับของรัศมีแต่ละวงด้วยพื้นที่Aผลลัพธ์คือk ₁ = pp ′ , k ₂ = qp ′ , k ₃ = q ′ p , k ₄ = qq ′ในที่นี้ วงกลมที่ใหญ่ที่สุดถือว่ามีค่าความโค้งเป็นลบเมื่อเทียบกับอีกสามวง วงกลมที่ใหญ่ที่สุด (ค่าความโค้งk ₄ ) อาจถูกแทนที่ด้วยวงกลมที่เล็กกว่าซึ่งมีค่าความโค้งเป็นบวก ( k ₀ = 4 pp ′ − qq ′ ) ก็ได้

ตัวอย่าง:

โดยใช้พื้นที่และรัศมีทั้งสี่ที่ได้ข้างต้นสำหรับสามเหลี่ยมดั้งเดิม[44, 117, 125]เราจะได้คำตอบจำนวนเต็มต่อไปนี้สำหรับสมการของเดส์การ์ต: k ₁ = 143 , k ₂ = 99 , k ₃ = 26 , k ₄ = (−18) , และk ₀ = 554

แต่ละสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมจะสอดคล้องกับกล่องฟิโบนาชชีที่ไม่ซ้ำกัน ในทางกลับกัน กล่องฟิโบนาชชีแต่ละกล่องจะสอดคล้องกับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่ไม่ซ้ำกัน ในส่วนนี้ เราจะใช้กล่องฟิโบนาชชีแทนสามเหลี่ยมดั้งเดิมที่มันแสดงต้นไม้ไตร ภาคอนันต์ ที่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม/กล่องฟิโบนาชชีทั้งหมดสามารถสร้างได้โดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้^{[ 10 ]}

พิจารณากล่องฟิโบนาชี่ที่บรรจุจำนวนเต็มคี่xและy สองจำนวนซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ในคอลัมน์ด้านขวา

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\\bullet &y\end{array}}\right]}$

จะเห็นได้ว่าจำนวนเต็มเหล่านี้สามารถจัดเรียงได้ดังนี้:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\y&\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\\bullet &\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}y&x\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]}$

ส่งผลให้ได้กล่องฟิโบนาชี่ที่ถูกต้องอีกสามกล่องซึ่งบรรจุค่าxและyเราอาจคิดว่ากล่องแรกเป็น "กล่องแม่" ของกล่องอีกสามกล่องถัดไป ตัวอย่างเช่น ถ้าx = 1และy = 3เราจะได้:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&3\end{array}}\right]\leftarrow {\text{parent}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&7\end{array}}\right]\leftarrow {\text{children}}}$

ยิ่งไปกว่านั้น “เด็ก” แต่ละคนยังเป็นผู้ปกครองของเด็กอีกสามคนซึ่งสามารถได้รับโดยขั้นตอนเดียวกัน การดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปที่แต่ละโหนดจะนำไปสู่ต้นไม้ไตรภาคอนันต์ที่มีกล่องฟิโบนาชชีที่เป็นไปได้ทั้งหมด หรือเทียบเท่ากับต้นไม้ไตรภาคที่มีสามตัวเลขดั้งเดิมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ต้นไม้ที่แสดงในที่นี้แตกต่างจากต้นไม้คลาสสิกที่ Berggren อธิบายไว้ในปี 1934 และมีคุณสมบัติทางทฤษฎีจำนวนที่แตกต่างกันหลายประการ) เปรียบเทียบ: “ต้นไม้คลาสสิก” ^{[ 11 ]} ดูเพิ่มเติมที่ ต้นไม้ของสามตัวเลข พีทาโกเรียนดั้งเดิม^{[ 12 ]}

มีวิธีการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกx ที่กำหนด เป็นด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมนั้น หมายความว่าต้องค้นหาสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม โดยมีด้านหนึ่งที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเป็น cathetus ที่กำหนด[ 13 ^{]สูตรมี}ดังต่อไปนี้

${\displaystyle x=x,\qquad y={\frac {x^{2}}{2d}}-{\frac {d}{2}},\qquad z={\frac {x^{2}}{2d}}+{\frac {d}{2}}}$

1

กับ

${\displaystyle d\in C(x):={\begin{cases}D(x)&{\text{if }}x{\text{ is odd}}\\D(x)\cap P(x)&{\text{if }}x{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle D(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid \ d\leq x{\text{ and }}d{\text{ divides }}x^{2}\right\},}$

และถ้าxเป็นจำนวนคู่ โดยที่x = 2 ⁿ k , n ∈ ℕ , และk ≥ 1เป็นจำนวนคี่ที่กำหนดไว้ โดยที่

${\displaystyle P(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid d=2^{s}l\ {\text{and}}\ l{\text{ divides }}x^{2}\ {\text{and}}\ s\in \left\{1,2,...,2n-1\right\}\right\}.}$

นั่นคือ ในส่วนของ^P ( x )นั้น d ต้องเป็นจำนวนคู่และx² / dยังคงหารด้วย2ลงตัว

นอกจากนี้( x , y , z )ยังเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมหากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทั้งสองข้อ: ^{[ 14 ]}

ตัวอย่าง

เราจำได้ว่าสูตรของยูคลิดไม่ได้ให้สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวกx ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยม(12,9,15) , (33,180,183)และ⁽ 33,44,55) ยิ่งไปกว่านั้น การหา mและnที่ทำให้x = m² ⁻ n²อาจเป็นเรื่องยากในขณะเดียวกัน เมื่อใช้ ( 1 ) การหา d ∈ C ( x )ทั้งหมดก็เพียงพอ ที่จะได้ สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเราต้องการหาสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มบวกx ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตอนนี้เราสามารถใช้เพียงd ∈ C ( x )ที่ตรงตามเงื่อนไข ( 2 ) เท่านั้น

มีหลายวิธีในการกำหนดสมการกำลังสองเพื่อคำนวณแต่ละด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน^{[ 15 ]} วิธีที่ง่ายคือการปรับเปลี่ยนสมการยูคลิดมาตรฐานโดยการเพิ่มตัวแปรx ให้กับ คู่mและnแต่ละ คู่ m , nถือเป็นค่าคงที่ในขณะที่ค่าของxเปลี่ยนแปลงไปเพื่อสร้าง "ตระกูล" ของสามเหลี่ยมตามสามเหลี่ยมที่เลือก สามารถวางสัมประสิทธิ์ใดๆ ไว้ข้างหน้า ค่า xบนmหรือnซึ่งจะทำให้สมการที่ได้ "ข้าม" ผ่านสามเหลี่ยมอย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสามเหลี่ยม[20,21,29]ซึ่งสามารถคำนวณได้จากสมการยูคลิดที่มีค่าm = 5และn = 2นอกจากนี้ ให้ใส่สัมประสิทธิ์ 4 ไว้ข้างหน้าxในเทอม m โดยพลการ

ให้m ₁ = (4 x + m )และให้n 1 ₌ ( x + n )

ดังนั้น เมื่อแทนค่าmและn ลงไป จะได้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Side }}A&=2m_{1}n_{1}&&=2(4x+5){\text{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20\\{\text{Side }}B&=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21\\{\text{Side }}C&=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&&=17x^{2}+44x+29\end{aligned}}}$

สามตัวแปรดั้งเดิมประกอบด้วยพจน์คงที่ในสมการกำลังสองแต่ละสมการ ด้านล่างนี้คือตัวอย่างผลลัพธ์จากสมการเหล่านี้ ผลของสมการเหล่านี้คือทำให้ ค่า mในสมการของยุคลิดเพิ่มขึ้นทีละ 4 ในขณะที่ ค่า nเพิ่มขึ้นทีละ 1

สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากแทนเจนต์ครึ่งมุม เลือกr ซึ่ง เป็นจำนวนตรรกยะบวกในช่วง(0, 1)ให้เป็นtan A /2สำหรับมุมภายในAที่อยู่ตรงข้ามด้านที่มีความยาวaโดยใช้สูตรแทนเจนต์ครึ่งมุมจะได้ว่า

${\displaystyle \alpha =\sin(A)={\frac {2r}{1+r^{2}}}\quad {\text{ and }}\quad \beta =\cos(A)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}}}}$

ทั้งสองจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ และα² + β² ⁼ 1การ^คูณด้วยจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่ทำให้ตัวส่วนของαและβหายไป จะได้สามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบดั้งเดิมกลับคืนมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเขียนเป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด จะได้  เป็น a / b${\displaystyle \tan(A)=2r/(1-r^{2})}$

เมื่อต้องการให้a < b จะต้องเลือก ค่า rให้น้อยกว่า⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ .

มุมภายในBที่อยู่ตรงข้ามด้านที่มีความยาวbจะเป็นมุมประกอบของ มุม Aเราสามารถคำนวณได้

${\displaystyle s=\tan \left({\frac {B}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {A}{2}}\right)={\frac {1-r}{1+r}}}$

จากสูตรแทนเจนต์ของผลต่างมุม การใช้sแทนrในสูตรข้างต้นจะให้สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเดียวกัน แต่สลับตำแหน่ง ของ aและb

โปรดทราบว่าrและsสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากa , bและcโดยใช้สูตร r = a / ( b + c )และs = b / ( a + c )

ให้[ a , b , c ]เป็นทริปเปิลดั้งเดิมที่มีเลขคี่ จากนั้นทริปเปิลใหม่ 3 ชุด[ a ₁ , b ₁ , c ₁ ] , [ a ₂ , b ₂ , c ₂ ] , [ a ₃ , b ₃ , c ₃ ] อาจถูกสร้างขึ้นจาก[ a , b , c ]โดยใช้การคูณเมทริกซ์ และเมทริกซ์ A , B , C สามเมทริกซ์ของ Berggren ^{[ 11 ]}ทริปเปิล[ a , b , c ]เรียกว่าผู้ปกครองของทริปเปิลใหม่ทั้งสามชุด ( ลูก ) ลูกแต่ละตัวเป็นผู้ปกครองของลูกอีก 3 ตัว และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป หากเริ่มต้นด้วยทริปเปิลดั้งเดิม[3,4,5]ทริปเปิลดั้งเดิมทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นในที่สุดโดยการใช้เมทริกซ์เหล่านี้ ผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นกราฟต้นไม้ไตร ภาคอนันต์ โดยมี[ a , b , c ]อยู่ที่โหนดราก สามารถได้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้น สามแบบของ Berggrens ดังแสดงด้านล่าง

${\displaystyle {\overset {A}{\mathop {\left[{\begin{matrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {B}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {C}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

การแปลงเชิงเส้นสามแบบของ Berggren มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}-a+2b+2c=a_{1}\quad &-2a+b+2c=b_{1}\quad &-2a+2b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a+2b+2c={{a}_{2}}\quad &+2a+b+2c={{b}_{2}}\quad &+2a+2b+3c={{c}_{2}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{2}},{\text{ }}{{b}_{2}},{\text{ }}{{c}_{2}}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a-2b+2c={{a}_{3}}\quad &+2a-b+2c={{b}_{3}}\quad &+2a-2b+3c={{c}_{3}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{3}},{\text{ }}{{b}_{3}},{\text{ }}{{c}_{3}}\right]\\\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจใช้เมทริกซ์ที่แตกต่างกัน 3 เมทริกซ์ที่ Price พบ^{[ 10 ]}เมทริกซ์A ′, B ′, C ′และการแปลงเชิงเส้นที่สอดคล้องกันแสดงไว้ด้านล่าง

${\displaystyle {\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

การแปลงเชิงเส้นสามแบบของ Price คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

เด็กทั้ง 3 คนที่เกิดจากเมทริกซ์ทั้งสองชุดนั้นไม่เหมือนกัน แต่แต่ละชุดก็สามารถสร้างสามสิ่งพื้นฐานทั้งหมดได้แยกกัน

ตัวอย่างเช่น การใช้ [5, 12, 13] เป็นผู้ปกครองจะให้ผลลัพธ์เป็นสองชุดของลูกสามคน:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}}$

สามตัวดั้งเดิมทั้งหมดที่มีb + 1 = cและมีเลขคี่สามารถสร้างได้ดังนี้: ^{[ 16 ]}

สามเท่าของพีทาโกเรียน	กึ่งเส้นรอบวง	พื้นที่	รัศมีวงกลมภายใน	รัศมีวงกลมล้อมรอบ
${\displaystyle \left(3,4,5\right)}$	${\displaystyle 1+2+3}$	${\displaystyle 6\times (1^{2})}$	1	${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}$
${\displaystyle \left(5,12,13\right)}$	${\displaystyle 1+2+3+4+5}$	${\displaystyle 6\times (1^{2}+2^{2})}$	2	${\displaystyle {\tfrac {13}{2}}}$
${\displaystyle \left(7,24,25\right)}$	${\displaystyle 1+2+3+4+5+6+7}$	${\displaystyle 6\times (1^{2}+2^{2}+3^{2})}$	3	${\displaystyle {\tfrac {25}{2}}}$
${\displaystyle \,\vdots }$	${\displaystyle \,\vdots }$	${\displaystyle \,\vdots }$	${\displaystyle \,\vdots }$	${\displaystyle \,\vdots }$
${\displaystyle \left(a,{\tfrac {a^{2}-1}{2}},{\tfrac {a^{2}+1}{2}}\right)}$	${\displaystyle 1+2+\cdots +a}$	${\displaystyle 6\times \left[1^{2}+2^{2}+\cdots +\left({\tfrac {a-1}{2}}\right)^{2}\right]}$	${\displaystyle {\tfrac {a-1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+1}{4}}}$

Wade และ Wade ^{[ 17 ]}เป็นผู้นำเสนอการจัดหมวดหมู่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนตามความสูงเป็นครั้งแรก โดยกำหนดเป็นc − bซึ่งเชื่อมโยง 3,4,5 กับ 5,12,13 และ 7,24,25 เป็นต้น

McCullough และ Wade ^{[ 18 ]}ขยายแนวทางนี้ ซึ่งสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดเมื่อk > h √ 2 / d : เขียนจำนวนเต็มบวกhเป็นpq ²โดยที่pเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และqเป็นจำนวนบวก กำหนดd = 2 pqถ้าpเป็นจำนวนคี่ หรือd = pqถ้าpเป็นจำนวนคู่ สำหรับคู่( h , k )ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด สามเหลี่ยมจะได้รับโดย

${\displaystyle \left(h+dk,dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}},h+dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}}\right).}$

สามตัวหลักเกิดขึ้นเมื่อgcd( h , k ) = 1และh = q ²โดยที่qเป็น จำนวนคี่ หรือh =2 q ²