ความผันผวนล่วงหน้า (Forward volatility)คือการวัดความผันผวนโดยนัยของตราสารทางการเงินในช่วงเวลาหนึ่งในอนาคต โดยดึงมาจากโครงสร้างระยะเวลาของความผันผวน (ซึ่งหมายถึงความแตกต่างของความผันผวนโดยนัยสำหรับตราสารทางการเงินที่เกี่ยวข้องที่มีอายุครบกำหนดต่างกัน)

ความแปรปรวนคือค่ากำลังสองของผลต่างระหว่างค่าที่วัดได้จากค่าเฉลี่ยหารด้วยจำนวนตัวอย่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนทบต้นต่อเนื่องของตราสารทางการเงิน เรียกว่าความ ผันผวน

ความผันผวน (รายปี) ของราคาหรืออัตราของสินทรัพย์ที่กำหนดในช่วงเวลาที่เริ่มต้นจากค่าหนึ่งจะสอดคล้องกับความผันผวน ณ จุดนั้น (spot volatility) ของสินทรัพย์อ้างอิงนั้น ในช่วงเวลาที่เฉพาะเจาะจง การรวมกันของความผันผวนดังกล่าวจะก่อให้เกิดโครงสร้างความผันผวนตามระยะเวลา (volatility term structure) คล้ายกับเส้นอัตราผลตอบแทน (yield curve ) เช่นเดียวกับที่อัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าสามารถหาได้จากเส้นอัตราผลตอบแทน ความผันผวนล่วงหน้าก็สามารถหาได้จากโครงสร้างความผันผวนตามระยะเวลาที่กำหนดเช่นกัน ${\displaystyle t_{0}=0}$

เนื่องจากตัวแปรสุ่ม พื้นฐาน สำหรับช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นอิสระต่อกันความแปรปรวนจึงสามารถบวกกันได้ (ดูที่ความแปรปรวน ) ดังนั้นสำหรับช่วงเวลาหนึ่งปี เราจะได้ความผันผวนรายปีดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2}+\sigma _{j-1,j}^{2})\\\Rightarrow \sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-\sum _{k=1}^{j-1}\sigma _{k-1,k}^{2}}},\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle j=1,2,\ldots }$คือจำนวนปี และตัวประกอบจะปรับขนาดความแปรปรวน ดังนั้นจึงเป็นค่ารายปี${\displaystyle {\frac {1}{j}}}$

${\displaystyle \sigma _{i,\,j}}$คือค่าความผันผวนล่วงหน้าปัจจุบัน (ณ เวลา 0) สำหรับช่วงเวลาดังกล่าว${\displaystyle [i,\,j]}$

${\displaystyle \sigma _{0,\,j}}$ความผันผวน ณ จุดนั้นสำหรับวันครบกำหนดไถ่ถอน${\displaystyle j}$

เพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณและเพื่อให้ได้การแสดงผลที่ไม่ต้องเรียกซ้ำ เรายังสามารถแสดงความผันผวนล่วงหน้าโดยตรงในแง่ของความผันผวน ณ จุดนั้นได้อีกด้วย: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-1,j}^{2})\\&={\frac {j-1}{j}}\cdot {\frac {1}{j-1}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2})+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\&={\frac {j-1}{j}}\,\sigma _{0,j-1}^{2}+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\\Rightarrow {\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}&=\sigma _{0,j}^{2}-{\frac {(j-1)}{j}}\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}^{2}&=j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}}}\end{aligned}}}$

เมื่อใช้เหตุผลในแนวทางเดียวกัน เราจะได้ผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปสำหรับความผันผวนล่วงหน้าที่เห็น ณ เวลา: ${\displaystyle t_{0}<t<T}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {(T-t_{0})\sigma _{t_{0},T}^{2}-(t-t_{0})\sigma _{t_{0},t}^{2}}{Tt}}}}$,

ซึ่งจะทำให้ง่ายขึ้นในกรณีของ ${\displaystyle t_{0}=0}$

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {T\sigma _{0,T}^{2}-t\sigma _{0,t}^{2}}{Tt}}}}$.

ความผันผวนในตลาดสำหรับ 90 วันคือ 18% และสำหรับ 180 วันคือ 16.6% ในสัญลักษณ์ของเรา เราใช้= 18% และ= 16.6% (โดยถือว่าหนึ่งปีมี 360 วัน) เราต้องการหาความผันผวนล่วงหน้าสำหรับช่วงเวลาที่เริ่มต้นในวันที่ 91 และสิ้นสุดในวันที่ 180 โดยใช้สูตรและค่าข้างต้นเราจะได้ ${\displaystyle \sigma _{0,\,0.25}}$${\displaystyle \sigma _{0,\,0.5}}$${\displaystyle t_{0}=0}$

${\displaystyle \sigma _{0.25,\,0.5}={\sqrt {\frac {0.5\cdot 0.166^{2}-0.25\cdot 0.18^{2}}{0.25}}}=0.1507\approx 15.1\%}$.