ปริศนา "โฟร์โฟร์ส"เป็นปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่มีเป้าหมายคือการหาพจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่ง่ายที่สุด สำหรับจำนวนเต็ม ทุกจำนวน ตั้งแต่ 0 ถึงจำนวนสูงสุดที่กำหนด โดยใช้เฉพาะสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไปและเลขสี่เท่านั้น ไม่อนุญาตให้ใช้ตัวเลขอื่น ปริศนาส่วนใหญ่กำหนดให้แต่ละพจน์มีเลขสี่อยู่สี่ตัวพอดี แต่บางแบบอาจกำหนดให้มี จำนวนเลขสี่ ขั้นต่ำตามที่กำหนด ปริศนานี้ต้องใช้ทักษะและการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

ปัญหาเฉพาะเรื่องเลขสี่สี่ปรากฏครั้งแรกในสิ่งพิมพ์ในKnowledge: An Illustrated Magazine of Scienceในปี พ.ศ. 2424 ^{[ 1 ]}ปัญหาที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับการเรียงเลขสี่ตัวที่เหมือนกันให้เท่ากับจำนวนที่กำหนดนั้นปรากฏอยู่ในตำราเรียนยอดนิยมของโทมัส ดิลเวิร์ธ ในปี พ.ศ. 2377 เรื่อง The Schoolmaster's Assistant, Being a Compendium of Arithmetic Both Practical and Theoretical ^{[ 2 ]}

WW Rouse Ball ได้อธิบายไว้ในหนังสือ Mathematical Recreations and Essaysฉบับที่ 6 (พ.ศ. 2457) ในหนังสือเล่มนี้ได้อธิบายว่าเป็น "การพักผ่อนหย่อนใจแบบดั้งเดิม" ^{[ 3 ]}

เลขสี่มีหลายรูปแบบ ความแตกต่างหลักอยู่ที่สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่อนุญาต โดยพื้นฐานแล้วทุกรูปแบบอย่างน้อยที่สุดจะอนุญาตให้ใช้การบวก ("+"), การลบ ("−"), การ คูณ ("×"), การหาร ("÷") และวงเล็บรวมถึงการต่อเลข (เช่น "44" ได้รับอนุญาต) ส่วนใหญ่ยังอนุญาตให้ใช้แฟกทอเรียล ("!"), การยกกำลัง (เช่น "44 ⁴ "), จุดทศนิยม (".") และ การหา ค่ารากที่สอง ("√") การดำเนินการอื่นๆ ที่อนุญาตในบางรูปแบบ ได้แก่ฟังก์ชันส่วนกลับ ("1/x"), ซับแฟกทอเรียล ("!" หน้าตัวเลข: !4 เท่ากับ 9), ตัวเลข ที่ซ้ำกันไม่จำกัดจำนวน, รากที่ไม่จำกัด , ฟังก์ชันกำลังสอง ("sqr"), ฟังก์ชันกำลังสาม ("cube"), รากที่สาม , ฟังก์ชันแกมมา (Γ(), โดยที่ Γ( x ) = ( x − 1)! และเปอร์เซ็นต์ ("%") ดังนั้น:

${\displaystyle 4\%=0.04}$

${\displaystyle sqr(4)=16}$

${\displaystyle cube(4)=64}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle \Gamma (4)=6}$

${\displaystyle !4=9}$

${\displaystyle 4'={\frac {1}{4}}=0.25}$

${\displaystyle .4=0.4={\frac {4}{10}}={\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle 4.4=4{\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

เป็นต้น

การใช้เส้นขีดบนในปัญหานี้โดยทั่วไปมักใช้กับค่านี้:

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชัน successorจะไม่ได้รับอนุญาต เนื่องจากสามารถหาจำนวนเต็ม ใดๆ ที่มากกว่า 4 ได้โดยง่าย ในทำนองเดียวกัน ตัวดำเนินการ " log " ก็มักจะไม่ได้รับอนุญาตเช่นกัน เพราะตัวดำเนินการนี้อนุญาตให้ใช้วิธีการทั่วไปในการสร้างจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ วิธีการนี้ทำงานโดยพิจารณาจากสามสิ่งต่อไปนี้:

1. สามารถหาค่ารากที่สองซ้ำๆ ได้โดยไม่ต้องใช้เลข 4 เพิ่มเติม
2. รากที่สองสามารถเขียนได้ในรูปเลขชี้กำลัง (^(1/2)) เช่นกัน
3. เลขยกกำลังมีลอการิทึมเป็นค่าผกผันของมัน

${\displaystyle \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}}$

เมื่อเขียนรากที่สองซ้ำในรูปแบบนี้ เราสามารถแยกตัวแปร n ซึ่งก็คือจำนวนของรากที่สองได้:

${\displaystyle 4^{(1/2)^{n}}}$

เราสามารถแยกเลขชี้กำลังทั้งสองได้โดยใช้ลอการิทึมฐาน 4:

${\displaystyle \log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

อาจมองลอการิทึมนี้ได้ว่าเป็นคำตอบของคำถามที่ว่า "4 ยกกำลังอะไรถึงจะได้ 4 ยกกำลังสอง ยกกำลัง n?"

${\displaystyle 4^{x}=4^{(1/2)^{n}}}$

ดังนั้นตอนนี้เราจึงเหลือตัวเลือกดังนี้:

${\displaystyle (1/2)^{n}}$

และตอนนี้เราสามารถใช้ลอการิทึมเพื่อแยกเลขชี้กำลัง n ออกมาได้:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}(1/2)^{n}}$

ดังนั้น เมื่อนำทุกอย่างมารวมกัน:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}\log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

ตอนนี้ เราสามารถเขียนฐาน (1/2) ใหม่โดยใช้เพียง 4 และเลขชี้กำลัง (1/2) กลับไปเป็นรากที่สองได้:

${\displaystyle n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

เราใช้เลขสี่ไปสี่ตัวแล้ว และตอนนี้จำนวนรากที่สองที่เราบวกเข้าไปจะเท่ากับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่เราต้องการ

Paul Bourke ระบุว่า Ben Rudiak-Gould ได้อธิบายวิธีการแก้สมการสี่เท่าโดยใช้ลอการิทึมธรรมชาติ (ln(n)) เพื่อแสดงจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ไว้ดังนี้:

${\displaystyle n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}}$

รูปแบบเพิ่มเติม (โดยปกติจะไม่เรียกว่า "สี่สี่" อีกต่อไป) จะแทนที่ชุดตัวเลข ("4, 4, 4, 4") ด้วยชุดตัวเลขอื่น เช่น ปีเกิดของบุคคลนั้น ตัวอย่างเช่น รูปแบบที่ใช้ "1975" จะต้องใช้เลข 1 หนึ่งตัว เลข 9 หนึ่งตัว เลข 7 หนึ่งตัว และเลข 5 หนึ่งตัวในแต่ละนิพจน์

นี่คือชุดคำตอบสี่ชุดสำหรับตัวเลข 0 ถึง 32 โดยใช้กฎทั่วไป มีคำตอบทางเลือกบางส่วนแสดงไว้ที่นี่ แม้ว่าจริงๆ แล้วจะมีคำตอบที่ถูกต้องมากกว่านี้ก็ตาม รายการที่เป็นสีน้ำเงินคือคำตอบที่ใช้จำนวนเต็มสี่ตัว (4) (แทนที่จะเป็นเลขโดดสี่ตัว) และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานตัวเลขที่ไม่มีสีน้ำเงินแสดงว่าไม่มีคำตอบภายใต้ข้อจำกัดเหล่านี้ นอกจากนี้ คำตอบที่ใช้ตัวดำเนินการซ้ำกันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวเอียง

 0 = 4 ÷ 4 × 4 − 4 = 44 − 44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷ 44 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4)÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4)÷ 4 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4!+ 4! 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!)÷ 4 6 = (4 + 4)÷ 4 + 4 = 4.4 + 4 × 0.4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4.4 − 0.4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 −√4 10 = (4 + 4 + 4)−√4 = (44 − 4)÷ 4 11 = (4!×√4 − 4)÷ 4 = √4 ×(4!−√4)÷ 4 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4)÷ 4 13 = (4!×√4 + 4)÷ 4 = (4 −.4)÷.4 + 4 14 = 4 × 4 − 4 ÷√4 = 4 ×(√4 +√4)−√4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4)×.4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!)÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷√4) − 4 19 = 4!− 4 - 4 4 = (4 + 4 −.4)÷.4${\displaystyle \div }$ 20 = 4 ×(4 ÷ 4 + 4) = (44 − 4)÷√4 21 = 4!− 4 + 4 ÷ 4 = (44 −√4)÷√4 22 = 4!÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷(4 −√4) 23 = 4!+ 4 ÷ 4 −√4 = (44 +√4)÷√4 24 = 4 × 4 + 4 + 4 = (44 + 4)÷√4 25 = 4!− 4 ÷ 4 +√4 = (4 + 4 +√4)÷.4 26 = 4!+√4 + 4 - 4 27 = 4!+√4 +(4 ÷ 4) 28 = (4 + 4)× 4 − 4 = 4!+ 4 + 4 - 4 29 = 4! + 4 + (4 ÷ 4) 30 = 4! + 4 + 4 -√4 31 = 4!+(4!+ 4)÷ 4 32 = 4 × 4 + 4 × 4 100 = 4 × 4! +√4 +√4 1000 = 4 x 4^4 - 4! 1,000,000 = (4 ÷ .4)^(4 + √4) 

โปรดสังเกตว่าตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่าหนึ่งมักจะไม่เขียนโดยมีเลขศูนย์นำหน้าตัวอย่างเช่น "0.4" มักจะเขียนเป็น ".4" เนื่องจาก "0" เป็นตัวเลข และในปริศนานี้สามารถใช้ได้เฉพาะตัวเลข "4" เท่านั้น

นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ อีกมากมายในการหาคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลขที่กำหนดจะมีคำตอบที่เป็นไปได้อยู่สองสามคำตอบ คำตอบใดๆ ที่ตรงตามกฎก็ถือว่ายอมรับได้ บางวิธีอาจเลือกวิธีที่ใช้จำนวนการดำเนินการน้อยที่สุด หรือเลือกการดำเนินการบางอย่างมากกว่าการดำเนินการอื่นๆ บางวิธีอาจเลือกวิธีที่ "น่าสนใจ" เช่น วิธีที่น่าประหลาดใจในการบรรลุเป้าหมาย

ตัวเลขบางตัว เช่น 113, 157 และ 347 นั้นยากเป็นพิเศษที่จะแก้ภายใต้กฎทั่วไป สำหรับ 113 นั้น Wheeler แนะนำว่า[ ^{4 ] วิธี} แก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่งคือวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นมาตรฐานคือโดยที่ 4' คือตัวผกผันการคูณของ 4 (เช่น) วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้อีกวิธีหนึ่งคือโดยที่และ แทน ค่าแฟกทอเรียลหลายตัวที่ 14 และ 127 ตามลำดับ และในทางเทคนิคแล้วควรแสดงด้วยเครื่องหมายอัศเจรีย์จำนวนมากตามนั้นเพื่อให้เป็นไปตามกฎของปัญหา โปรดทราบว่าตัวเลข 113/16 สามารถเขียนได้ด้วย 4 สามตัว แต่สิ่งนี้ไม่ช่วยสำหรับ 113 เว้นแต่จะอนุญาตให้ใช้ ฟังก์ชันกำลังสอง (เช่น sq (4) = 16)${\displaystyle \Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}}$${\displaystyle 4(4!+4)+\Gamma \left({\sqrt {4}}\right)}$${\displaystyle 4(4!+4+4')}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\frac {((4!)!_{14})!_{127}}{(4!)!_{14}}}}$${\displaystyle !_{14}}$${\displaystyle !_{127}}$

การใช้เปอร์เซ็นต์ ("%") ช่วยให้สามารถหาคำตอบสำหรับจำนวนได้มากขึ้น ตัวอย่างเช่น 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%

ปัญหานี้และปัญหาที่เกี่ยวข้องโดยทั่วไป (เช่น ปัญหาห้าห้าและหกหก ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง) สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมง่ายๆ ส่วนประกอบพื้นฐานคือตารางแฮชที่แปลงจำนวนตรรกยะเป็นสตริง ในตารางเหล่านี้ คีย์คือตัวเลขที่แสดงด้วยการรวมกันของตัวดำเนินการที่ยอมรับได้และตัวเลขd ที่เลือก เช่น สี่ และค่าคือสตริงที่ประกอบด้วยสูตรจริง มีตารางหนึ่งตารางสำหรับแต่ละจำนวนnของการเกิดของdตัวอย่างเช่น เมื่อd=4ตารางแฮชสำหรับการเกิดสองครั้งของdจะมีคู่คีย์-ค่า8และ4+4และตารางสำหรับการเกิดสามครั้งจะมีคู่คีย์-ค่า2และ(4+4)/4 (สตริงที่แสดงเป็นตัวหนา)

จากนั้นงานจะลดลงเหลือเพียงการคำนวณตารางแฮชเหล่านี้ซ้ำๆ สำหรับค่าn ที่เพิ่มขึ้น โดยเริ่มจากn=1และต่อเนื่องไปจนถึงn=4 เป็นต้นตารางสำหรับn=1และn=2นั้นมีความพิเศษ เนื่องจากมีค่าพื้นฐานที่ไม่ใช่การรวมกันของสูตรย่อยอื่นๆ ดังนั้นจึงต้องกำหนดค่าเริ่มต้นให้ถูกต้อง ดังนี้ (สำหรับn=1 )

 T[4] := "4"; T[4/10] := ".4"; T[4/9] := ".4..."; 

และ

 T[44] := "44";. 

(สำหรับn=2 ) ตอนนี้มีสองวิธีที่รายการใหม่สามารถเกิดขึ้นได้ คือ การรวมกันของรายการที่มีอยู่ผ่านตัวดำเนินการไบนารี หรือโดยการใช้ตัวดำเนินการแฟกทอเรียลหรือรากที่สอง (ซึ่งไม่ได้ใช้ตัวอย่างเพิ่มเติมของd ) กรณีแรกจะได้รับการจัดการโดยการวนซ้ำผ่านคู่ของนิพจน์ย่อยทั้งหมดที่ใช้ตัวอย่างd รวม nตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น เมื่อn=4เราจะตรวจสอบคู่(a,b)ที่aมีตัวอย่างd หนึ่งตัว และbมีสามตัว และที่aมีตัวอย่างd สองตัว และb มี สองตัวเช่นกัน จากนั้นเราจะป้อนa+b, ab, ba, a*b, a/b, b/a)ลงในตารางแฮช รวมทั้งวงเล็บ สำหรับn=4ในที่นี้ เซตAและBที่มีaและbจะถูกคำนวณแบบเรียกซ้ำ โดยที่n=1และn=2เป็นกรณีพื้นฐาน การใช้ เมโมไรเซชันจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าตารางแฮชแต่ละตารางจะถูกคำนวณเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

กรณีที่สอง (แฟกทอเรียลและราก) จะได้รับการจัดการโดยใช้ฟังก์ชันเสริมซึ่งจะถูกเรียกใช้ทุกครั้งที่มีการบันทึกค่าvฟังก์ชันนี้จะคำนวณแฟกทอเรียลและรากที่ซ้อนกันของvจนถึงระดับความลึกสูงสุดที่กำหนดไว้ โดยจำกัดเฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้น

ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริธึมประกอบด้วยการวนซ้ำไปตามคีย์ของตารางสำหรับค่าn ที่ต้องการ และแยกและจัดเรียงคีย์ที่เป็นจำนวนเต็ม อัลกอริธึมนี้ถูกนำมาใช้ในการคำนวณตัวอย่างเลขห้าห้าตัวและเลขหกหกตัวที่แสดงด้านล่าง สูตรที่กระชับกว่า (ในแง่ของจำนวนอักขระในค่าที่เกี่ยวข้อง) จะถูกเลือกทุกครั้งที่คีย์ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง

ในตารางด้านล่าง สัญลักษณ์ .6... แทนค่า 6/9 หรือ 2/3 ( เลขฐานสิบซ้ำ 6)

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6)) 243 = (6+((6*(.6*66))-.6)) 244 = (.6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6))))) 249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/.6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6)) 

• คริปโต (เกม)

• บอร์ก, พอล. "ปัญหาสี่สี่ "
• "4444 (Four Fours)" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2 สิงหาคม 2554 . เรียกดูเมื่อ4 มิถุนายน 2553 .แกลเลอรี Eyegate
• สี่สี่
• four4sบนGitHub