ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการฉายภาพตัดขวางทฤษฎีบทการตัดขวางส่วนกลางหรือทฤษฎีบทการตัดขวางฟูริเยร์ในสองมิติ กล่าวว่า ผลลัพธ์ของการคำนวณสองอย่างต่อไปนี้เท่ากัน:

• นำฟังก์ชันสองมิติf ( r ) มาฉาย (เช่น โดยใช้การแปลงเรดอน ) ลงบนเส้นตรง (หนึ่งมิติ) แล้วทำการแปลงฟูริเยร์ของการฉายนั้น
• ใช้ฟังก์ชันเดียวกันนั้น แต่ทำการแปลงฟูริเยร์แบบสองมิติก่อน แล้วจึงตัดฟังก์ชันนั้นผ่านจุดกำเนิด โดยให้ขนานกับเส้นฉาย

ในแง่ของตัวดำเนินการ ถ้า

• F และ F คือตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์แบบ 1 มิติและ 2 มิติที่กล่าวถึงข้างต้น
• P คือตัวดำเนินการฉายภาพ (ซึ่งฉายฟังก์ชัน 2 มิติลงบนเส้นตรง 1 มิติ)
• S คือตัวดำเนินการสไลซ์ (ซึ่งดึงสไลซ์กลางแบบ 1 มิติจากฟังก์ชัน)

แล้ว

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้

ทฤษฎีบทนี้ใช้ ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์ ภาพสแกน CT ทางการแพทย์ โดยที่ "การฉายภาพ" คือภาพเอกซเรย์ของอวัยวะภายใน การแปลงฟูริเยร์ของภาพเหล่านี้ถือเป็นส่วนตัดผ่านการแปลงฟูริเยร์ของความหนาแน่นสามมิติของอวัยวะภายใน และส่วนตัดเหล่านี้สามารถประมาณค่าเพื่อสร้างการแปลงฟูริเยร์ที่สมบูรณ์ของความหนาแน่นนั้นได้ จากนั้นจึงใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผันเพื่อกู้คืนความหนาแน่นสามมิติของวัตถุ เทคนิคนี้คิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยRonald N. Bracewellในปี 1956 สำหรับปัญหาทางดาราศาสตร์วิทยุ^{[ 1 ]}

ใน มิติ Nทฤษฎีบทการฉายภาพ-การตัดแบ่งระบุว่า การแปลงฟูริเยร์ของการฉายภาพของ ฟังก์ชัน Nมิติ f ( r ) บนส่วนย่อยเชิงเส้นmมิติ เท่ากับการตัดแบ่งm มิติของการแปลงฟูริเยร์ Nมิติของฟังก์ชันนั้น ซึ่งประกอบด้วย ส่วนย่อยเชิงเส้น mมิติที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิฟูริเยร์ซึ่งขนานกับส่วนย่อยของการฉายภาพ ในแง่ของตัวดำเนินการ:

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

นอกจากการขยายไปสู่ มิติ Nแล้ว ทฤษฎีบทการฉายภาพ-สไลซ์ยังสามารถขยายเพิ่มเติมได้ด้วยการเปลี่ยนฐานตามอำเภอใจ^{[ 2 ]}เพื่อความสะดวกในการเขียน เราพิจารณาการเปลี่ยนฐานให้แทนด้วยBซึ่ง เป็น เมทริกซ์ผกผันขนาดN x N ที่ดำเนินการกับ เวกเตอร์คอลัมน์มิติ Nจากนั้นทฤษฎีบทฟูริเยร์-สไลซ์แบบทั่วไปสามารถระบุได้ดังนี้

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

ที่ไหน${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์ผกผันของการแปลงเปลี่ยนฐาน

ทฤษฎีบทการฉายภาพตัดขวางสามารถพิสูจน์ได้ง่ายสำหรับกรณีสองมิติ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราสามารถกำหนดให้เส้นฉายภาพเป็น แกน xได้ เนื่องจากหากเราใช้เส้นที่เลื่อนและหมุน กฎก็ยังคงใช้ได้ การใช้เส้นที่เลื่อน (ในแกน y) จะให้การฉายภาพแบบเดียวกัน และด้วยเหตุนี้จึงได้ผลลัพธ์การแปลงฟูริเยร์แบบ 1 มิติแบบเดียวกัน ฟังก์ชันที่หมุนแล้วคือคู่ฟูริเยร์ของการแปลงฟูริเยร์ที่หมุนแล้ว ซึ่งทฤษฎีบทก็ยังคงใช้ได้อยู่

ถ้าf ( x , y ) เป็นฟังก์ชันสองมิติ การฉายภาพของf ( x , y ) ลงบน แกน xคือp ( x ) โดยที่  

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

การแปลงฟูริเยร์ของ${\displaystyle f(x,y)}$เป็น

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

จากนั้นชิ้นนั้นก็คือ${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

ซึ่งก็คือการแปลงฟูริเยร์ของp ( x ) นั่นเอง การพิสูจน์สำหรับมิติที่สูงกว่านั้นสามารถสรุปได้ง่ายๆ จากตัวอย่างข้างต้น

ถ้าฟังก์ชันสองมิติf ( r ) มีสมมาตรแบบวงกลม ก็สามารถแสดงได้เป็นf ( r ) โดยที่r  =  | r | ในกรณีนี้ การฉายภาพลงบนเส้นฉายภาพใดๆ จะเป็นการแปลงอาเบลของf ( r ) การแปลงฟูริเยร์สองมิติ ของf ( r ) จะเป็นฟังก์ชันสมมาตรแบบวงกลมที่กำหนดโดย การแปลงแฮงเคลลำดับศูนย์ของf ( r ) ซึ่งจะแสดงถึงส่วนตัดใดๆ ที่ผ่านจุดกำเนิดด้วย ทฤษฎีบทการฉายภาพ-ส่วนตัดจึงกล่าวว่า การแปลงฟูริเยร์ของการฉายภาพเท่ากับส่วนตัดหรือ

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

โดยที่A แทนตัวดำเนินการแปลงอาเบล ซึ่งฉายฟังก์ชันสมมาตรแบบวงกลมสองมิติลงบนเส้นตรงหนึ่งมิติF แทนตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์หนึ่งมิติ และHแทนตัวดำเนินการแปลงแฮงเคลลำดับศูนย์

ทฤษฎีบทการฉายภาพตัดขวางเหมาะสำหรับการสร้างภาพ CT ด้วยการฉายภาพลำแสงขนาน ไม่สามารถนำไปใช้กับ CT แบบลำแสงพัดหรือลำแสงกรวยได้โดยตรง ทฤษฎีบทนี้ได้รับการขยายไปสู่การสร้างภาพ CT แบบลำแสงพัดและลำแสงกรวยโดย Shuang-ren Zhao ในปี 1995 ^{[ 3 ]}

• การแปลงเรดอน § ความสัมพันธ์กับการแปลงฟูริเยร์

• Bracewell, Ronald N. (1990). "การแปลงเชิงตัวเลข". Science . 248 ( 4956): 697–704 . Bibcode : 1990Sci...248..697B . doi : 10.1126/science.248.4956.697 . PMID 17812072. S2CID 5643835 .  
• Bracewell, Ronald N. (1956). "การรวมแถบในดาราศาสตร์วิทยุ" Aust . J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode : 1956AuJPh...9..198B . ​​doi : 10.1071/PH560198 .
• Gaskill, Jack D. (2005). ระบบเชิงเส้น การแปลงฟูริเยร์ และทัศนศาสตร์ . John Wiley & Sons, นิวยอร์ก. ISBN 978-0-471-29288-3.
• Ng, Ren (2005). "Fourier Slice Photography" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735– 744. doi : 10.1145/1073204.1073256 .
• Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995). "การสร้างภาพฉายลำแสงทรงกรวยที่มีเส้นทางแหล่งกำเนิดอิสระโดยวิธีฟูริเยร์แบบทั่วไป" รายงานการประชุมนานาชาติว่าด้วยการสร้างภาพสามมิติอย่างสมบูรณ์ในรังสีวิทยาและเวชศาสตร์นิวเคลียร์ ปี 1995 : 323– 7.
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). "ทฤษฎีบทการฉายภาพแบบตัด: สัญกรณ์แบบกระชับ". วารสารสมาคมทัศนศาสตร์แห่งอเมริกา A. 28 ( 5): 766– 769. Bibcode : 2011JOSAA..28..766G . doi : 10.1364/JOSAA.28.000766 . PMID 21532686 . 

• ทฤษฎีบทสไลซ์ฟูริเยร์ (วิดีโอ) ส่วนหนึ่งของหลักสูตร "เอกซเรย์คอมพิวเตอร์และเครื่องมือ ASTRA"มหาวิทยาลัยแอนต์เวิร์ป 10 กันยายน 2015