กราฟฟรุชต์
กราฟฟรุคท์
ตั้งชื่อตาม	โรเบิร์ต ฟรุคท์
จุดยอด	12
ขอบ	18
รัศมี	3
เส้นผ่านศูนย์กลาง	4
เส้นรอบวง	3
ออโตมอร์ฟิซึม	ตัวตน
หมายเลขสี	3
ดัชนีสี	3
คุณสมบัติ	ลูกบาศก์ฮาลินแพนไซคลิก
ตารางกราฟและพารามิเตอร์

ในทฤษฎีกราฟกราฟFruchtเป็นกราฟลูกบาศก์ที่มี 12 จุดยอด 18 ขอบ และไม่มีสมมาตรที่ ไม่ใช่สมมาตร ธรรมดา^{[ 1 ]}โรเบิร์ต ฟรุชต์เป็นผู้บรรยายกราฟนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 2 ]}

กราฟ Frucht สามารถสร้างได้จากสัญลักษณ์ LCF : [−5,−2,−4,2,5,−2,2,5,−2,−5,4,2]ซึ่งอธิบายว่าเป็นกราฟลูกบาศก์ที่จุดยอดสองในสามจุดที่อยู่ติดกันเป็นส่วนหนึ่งของวงจรแฮมิลโทเนียนและตัวเลขระบุว่าต้องค้นหาจุดยอดที่สามที่อยู่ติดกันไกลแค่ไหนตามวงจร^{[ 3 ]}

กราฟ Frucht เป็นกราฟลูกบาศก์เนื่องจากมีจุดยอดสามจุดที่เชื่อมต่อกับจุดยอดทุกจุด ดังนั้นดีกรีของจุดยอดทุกจุดจึงเท่ากับ 3 เป็นหนึ่งในกราฟลูกบาศก์ที่เล็กที่สุดห้ากราฟที่มีเพียงกราฟออโตมอร์ฟิ ซึมเดียว คือ เอกลักษณ์: จุดยอดทุกจุดสามารถแยกแยะทางโทโพโลยีจากจุดยอดอื่น ๆ ได้^{[ 4 ]}กราฟดังกล่าวเรียกว่า กราฟ อสมมาตร (หรือกราฟเอกลักษณ์) ทฤษฎีบทของ Fruchtกล่าวว่ากลุ่มจำกัด ใด ๆ สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปของกลุ่มสมมาตรของกราฟ^{[ 5 ]}และการเสริมความแข็งแกร่งของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งมาจาก Frucht เช่นกัน กล่าวว่ากลุ่มจำกัดใด ๆ สามารถทำให้เป็นจริงได้ในรูปของสมมาตรของกราฟ3-ปกติ^{[ 2 ]} กราฟ Frucht เป็นตัวอย่างของการทำให้เป็นจริง ที่ แข็งแกร่งขึ้นนี้สำหรับกลุ่มที่ไม่สำคัญ

กราฟ Frucht เป็นกราฟ Halinซึ่งเป็นกราฟระนาบประเภทหนึ่งที่สร้างขึ้นจากต้นไม้ที่ไม่มีจุดยอดดีกรีสองโดยการเพิ่มวงจรที่เชื่อมต่อใบ^{[ 1 ]}กราฟ Halin ทุกกราฟเชื่อมต่อกันด้วย 3 จุดยอด กล่าวคือ การลบจุดยอดสองจุดจะไม่ทำให้กราฟขาดการเชื่อมต่อ จากทฤษฎีบทของ Steinitzกราฟ Frucht จึงเป็นกราฟทรงหลายเหลี่ยมหมายความว่าจุดยอด 12 จุดและขอบ 18 เส้นของมันประกอบกันเป็นโครงร่างของทรงหลายเหลี่ยมนูน^{[ 6 ]}นอกจากนี้ยังเป็นกราฟ Hamiltonianด้วย

เป็น แบบแพน ไซคลิก^{[ 7 ]}ที่มีเลขสี 3 ดัชนีสี 3 รัศมี 3 และเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 เส้นรอบวง 3 จำนวนอิสระคือ 5

พหุนามลักษณะเฉพาะของกราฟ Frucht คือ. ${\displaystyle (x-3)(x-2)x(x+1)(x+2)(x^{3}+x^{2}-2x-1)(x^{4}+x^{3}-6x^{2}-5x+4)}$

• 
  จำนวนสีของกราฟ Frucht คือ 3
• 
  กราฟฟรุคท์เป็นกราฟแฮมิลโทเนียน

• Sudev, NK; Germina, KA (2014), "หมายเหตุเกี่ยวกับจำนวนกราฟที่เว้นว่าง", ความก้าวหน้าและการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์ดิสครีต , 14 (1): 51– 65, arXiv : 1402.4871
• Fullarton, Neil J. (2016), "เกี่ยวกับจำนวนออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาร์ตินมุมฉาก", Mathematical Research Letters , 23 (1): 145– 162, arXiv : 1306.6549 , doi : 10.4310/MRL.2016.v23.n1.a8 , MR  3512881