ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของฟูเกลเดเป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีตัวดำเนินการซึ่งตั้งชื่อตามเบนต์ ฟูเกลเด

ทฤษฎีบท (ฟูเกิลเด)ให้TและNเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน โดยที่Nเป็น ตัวดำเนิน การปกติถ้าTN = NTแล้วTN* = N*Tโดยที่N*หมายถึงตัวดำเนินการผกผันของN

จำเป็นต้องมีความเป็นปกติของN ดังที่เห็นได้จากการกำหนดให้ T = Nเมื่อTเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองข้ออ้างนี้จึงเป็นเรื่องที่ชัดเจนอยู่แล้ว ไม่ว่าNจะเป็นปกติ หรือไม่ก็ตาม

$${\displaystyle TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T.}$$

การพิสูจน์เบื้องต้น : ถ้าปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐานมีมิติจำกัดทฤษฎีบทสเปกตรัมกล่าวว่าNจะอยู่ในรูปแบบ $${\displaystyle N=\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}P_{i}}$$ โดยที่P คือการฉายภาพเชิงตั้งฉากแบบคู่ คาดว่าTN = NT ก็ต่อเมื่อTP = P T เท่านั้น อันที่จริง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงโดยใช้เหตุผลพื้นฐาน (เช่น สามารถแสดงได้ว่าP ทั้งหมด สามารถแทนด้วยพหุนามของNและด้วยเหตุนี้ ถ้าTสลับที่ได้กับNก็ต้องสลับที่ได้กับ P i ด้วย ...) ดังนั้นT ก็ต้องสลับที่ได้กับ P ด้วยเช่นกัน $${\displaystyle N^{*}=\sum \nolimits _{i}{{\bar {\lambda }}_{i}}P_{i}.}$$

โดยทั่วไป เมื่อปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่ใช่ปริภูมิที่มีมิติจำกัด ตัวดำเนินการปกติNจะก่อให้เกิดการวัดค่าการฉายภาพPบนสเปกตรัมσ ( N ) ซึ่งกำหนดการฉายภาพให้กับเซตย่อยบอเรลแต่ละเซตของσ ( N ) Nสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle N=\int _{\sigma (N)}\lambda dP(\lambda ).}$$

แตกต่างจากกรณีมิติจำกัด ไม่ใช่เรื่องชัดเจนว่าTN = NTหมายความว่าTP = P Tดังนั้น จึงไม่ใช่เรื่องชัดเจนนักว่าTจะสลับที่กับฟังก์ชันง่ายๆ ใดๆ ที่มีรูปแบบดังกล่าว $${\displaystyle \rho =\sum \nolimits _{i}{\bar {\lambda }}P_{\Omega _{i}}.}$$

อันที่จริง จากการสร้างการแยกส่วนสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการ Tที่มีขอบเขต ปกติ และไม่สมมาตรจะเห็นได้ว่าในการตรวจสอบว่าTสลับที่กับ${\displaystyle P_{\โอเมก้า _{i}}}$วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดคือการสมมติว่าTสลับที่ได้กับทั้งNและN*ซึ่งก่อให้เกิดวงจรที่เลวร้าย!

นั่นคือความสำคัญของทฤษฎีบทของฟูเกลเด: สมมติฐานข้อหลังนั้นไม่จำเป็นจริงๆ

ต่อไปนี้เป็นผลลัพธ์ของ Fuglede ในฐานะกรณีพิเศษ การพิสูจน์โดย Rosenblum ที่แสดงในภาพด้านล่างนั้นก็คือการพิสูจน์ที่ Fuglede นำเสนอสำหรับทฤษฎีบทของเขาเมื่อสมมติว่าN = Mนั่นเอง

ทฤษฎีบท (Calvin Richard Putnam) ^{[ 1 ]}ให้T , M , Nเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน และสมมติว่าMและNเป็นตัวดำเนินการปกติTมีขอบเขตและMT = TNแล้วM * T = TN *

การพิสูจน์ครั้งแรก (มาร์วิน โรเซนบลูม) : โดยการอุปมานสมมติฐานบ่งชี้ว่าM ^k T = TN ^kสำหรับทุกkดังนั้นสำหรับ λ ใดๆ ใน${\displaystyle \mathbb {C} }$, $${\displaystyle e^{{\bar {\lambda }}M}T=Te^{{\bar {\lambda }}N}.}$$

พิจารณาฟังก์ชัน $${\displaystyle F(\lambda )=e^{\lambda M^{*}}Te^{-\lambda N^{*}}.}$$ นี่เท่ากับ $${\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1},}$$ ที่ไหน${\displaystyle U(\lambda )=e^{\lambda M^{*}-{\bar {\lambda }}M}}$เพราะ${\displaystyle M}$เป็นเรื่องปกติ และในทำนองเดียวกัน${\displaystyle V(\lambda )=e^{\lambda N^{*}-{\bar {\lambda }}N}}$อย่างไรก็ตาม เรามี $${\displaystyle U(\lambda )^{*}=e^{{\bar {\lambda }}M-\lambda M^{*}}=U(\lambda )^{-1}}$$ ดังนั้นUเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และด้วยเหตุนี้จึงมีนอร์มเท่ากับ 1 สำหรับทุก λ; เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับV (λ) ด้วย ดังนั้น $${\displaystyle \|F(\lambda )\|\leq \|T\|\ \forall \lambda .}$$

ดังนั้นFจึงเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์ที่มีขอบเขต และมีค่าคงที่ และเท่ากับF (0) = Tเมื่อพิจารณาพจน์อันดับแรกในการขยายสำหรับ λ ขนาดเล็ก เราจะต้องมีM*T = TN *

บทความต้นฉบับของ Fuglede ปรากฏในปี พ.ศ. 2493; Putnam ได้ขยายให้เป็นรูปแบบที่แสดงไว้ข้างต้นในปี พ.ศ. 2494 ^{[ 1 ]}บทพิสูจน์แบบสั้นที่แสดงไว้ข้างต้นได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดย Rosenblum ในปี พ.ศ. 2491; มันมีความสง่างามมาก แต่มีความทั่วไปน้อยกว่าบทพิสูจน์ดั้งเดิมซึ่งพิจารณากรณีของตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขตด้วย บทพิสูจน์ง่ายๆ อีกบทหนึ่งของทฤษฎีบทของ Putnam มีดังนี้:

การพิสูจน์ข้อที่สอง:พิจารณาเมทริกซ์ต่อ ไปนี้

$${\displaystyle T'={\begin{bmatrix}0&0\\T&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad N'={\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}}.}$$

ตัวดำเนินการN'เป็นตัวดำเนินการปกติ และตามสมมติฐานT' N' = N' T'โดยทฤษฎีบทของฟูเกลเด จะได้ว่า $${\displaystyle T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.}$$

การเปรียบเทียบข้อมูลจะให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

จากข้อสรุปทั่วไปของพัตนัม เราสามารถอนุมานได้ดังต่อไปนี้:

บทสรุปถ้าตัวดำเนินการปกติสองตัวMและNคล้ายกันแล้ว ตัวดำเนินการทั้งสองนั้นจะสมมูลกันในเชิงเอกภาพ

บทพิสูจน์ : สมมติว่าMS = SNโดยที่Sเป็นตัวดำเนินการผกผันที่มีขอบเขต ผลลัพธ์ของ Putnam บ่งชี้ว่าM*S = SN*นั่นคือ $${\displaystyle S^{-1}M^{*}S=N^{*}.}$$

หาค่าผกผันของสมการข้างต้น แล้วเราจะได้ $${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.}$$

ดังนั้น $${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MS\quad \Rightarrow \quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.}$$

ให้S*=VRโดยที่V เป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์ (เนื่องจากSเป็นเมทริกซ์ผกผันได้) และR เป็น รากที่สองบวกของSS*เนื่องจากRเป็นลิมิตของพหุนามบนSS*ดังนั้นข้างต้นจึงหมายความว่าRสลับที่ได้กับM และ R ก็เป็นเมทริกซ์ผกผันได้เช่นกัน ดังนั้น $${\displaystyle N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.}$$

บทสรุปถ้าMและNเป็นตัวดำเนินการปกติ และMN = NMแล้วMNก็เป็นตัวดำเนินการปกติด้วย

บทพิสูจน์ : ข้อโต้แย้งนี้อ้างอิงเฉพาะทฤษฎีบทของฟูเกลเดเท่านั้น สามารถคำนวณได้โดยตรง $${\displaystyle (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.}$$

โดย Fuglede ข้อความข้างต้นจึงกลายเป็น $${\displaystyle =MM^{*}NN^{*}.}$$

แต่MและNเป็นค่าปกติ ดังนั้น $${\displaystyle =M^{*}MN^{*}N.}$$

โดย Fuglede (อีกครั้ง) ข้างต้นจึงกลายเป็น $${\displaystyle =M^{*}N^{*}MN=(NM)^{*}MN}$$

และสมมติฐานMN = NMแสดงให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้น $${\displaystyle =(MN)^{*}MN.}$$

ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของข้อความเกี่ยวกับองค์ประกอบของพีชคณิต C *

ทฤษฎีบท (ฟูเกิลเด-พัตนัม-โรเซนบลูม)ให้x และ yเป็นองค์ประกอบปกติสองตัวของพีชคณิตC* -algebra Aและzโดยที่xz = zyแล้วจะได้ว่าx* z = zy *

หมายเหตุ

สำหรับผลลัพธ์เพิ่มเติม การสรุปทั่วไป และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทฟูเกลเด-พัตนัม ผู้อ่านสามารถศึกษาได้จากหนังสือรวมบทความเรื่อง " ทฤษฎีบทฟูเกลเด-พัตนัม"โดย MH Mortad (Springer, 2022)