ในแคลคูลัสของการแปรผันซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน (หรืออนุพันธ์เชิงแปรผัน ) ^{[ 1 ]}เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน (ฟังก์ชันในความหมายนี้คือฟังก์ชันที่กระทำกับฟังก์ชัน) กับการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันที่ฟังก์ชันนั้นขึ้นอยู่

ในแคลคูลัสของการแปรผัน ฟังก์ชันมักจะแสดงในรูปของปริพันธ์ของฟังก์ชัน อาร์กิวเมนต์และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในตัวถูกอินทิเกรตLของฟังก์ชัน ถ้าฟังก์ชันfถูกแปรผันโดยการเพิ่มฟังก์ชันδfที่มีค่าเล็กมาก ๆ เข้าไป และตัวถูกอินทิเกรตที่ได้นั้นถูกขยายออกเป็นกำลังของδfสัมประสิทธิ์ของδfในพจน์อันดับแรกเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน ที่f ′( x ) ≡ ⁠$${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f'{(x)}\,)\,dx\,,}$$df/dxถ้า fมีการเปลี่ยนแปลงโดยการเพิ่มฟังก์ชัน δf เข้าไป และอินทิกรัลที่ได้ L ( x , f + δf , f ′ + δf ′)ถูกขยายเป็นกำลังของ δfแล้วการเปลี่ยนแปลงในค่าของ Jในอันดับแรกของ δfสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 1 ] [หมายเหตุ 1 ]} โดยที่การเปลี่ยนแปลงในอนุพันธ์ δf ′ถูกเขียนใหม่เป็นอนุพันธ์ของการเปลี่ยนแปลง ( δf )′และใช้ การอินทิเกรตโดยส่วน ในอนุพันธ์เหล่านี้$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\end{aligned}}}$$

ในส่วนนี้ จะมีการนิยามอนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน (หรือความแปรผัน หรือความแปรผันแรก) ^{[หมายเหตุ 2 ]}จากนั้นจะนิยามอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นเกณฑ์

สมมติว่าเป็นปริภูมิบานาคและเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนอนุพันธ์ของ ที่จุดคือฟังก์ชันเชิงเส้นบนที่กำหนด^{[ 2 ]}โดยเงื่อนไขที่ว่า สำหรับทุกโดย ที่เป็นจำนวนจริงที่ขึ้นอยู่กับในลักษณะที่ว่า เมื่อซึ่งหมายความว่าเป็นอนุพันธ์เฟรเชต์ ของที่${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho \in B}$${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi \in B}$$${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\varepsilon \left\|\phi \right\|}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \|\phi \|}$${\displaystyle \varepsilon \ถึง 0}$${\displaystyle \|\phi \|\ถึง 0}$${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho }$

อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันนี้แข็งแกร่งมากจนอาจไม่มีอยู่จริง^{[ 3 ]}และในกรณีเหล่านั้น แนวคิดที่อ่อนกว่า เช่นอนุพันธ์ Gateauxจะเป็นที่ต้องการมากกว่า ในหลายกรณีในทางปฏิบัติ อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันจะถูกกำหนด^{[ 4 ]}เป็นอนุพันธ์เชิงทิศทาง โปรดทราบว่าแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันนี้สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องมีบรรทัดฐาน $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\[1ex]&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$

ในกรณีทั่วไปปริภูมิฟังก์ชัน ที่ปรากฏเป็นโดเมนของไม่ใช่ปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบ จึงไม่มีความหมาย ในกรณีนี้ เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของให้เป็น ตระกูลฟังก์ชัน โดยที่^{[หมายเหตุ 3 ]} เมื่อกำหนดให้ปริภูมิของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดดังกล่าวเป็นอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันคือ อนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน ${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$${\displaystyle \alpha _{?}:(-\varepsilon _{0},\varepsilon _{0})\ถึง B}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \alpha _{0}=\rho }$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {V}__{\rho }}$${\displaystyle \delta F[\rho ]:{\mathcal {V}}_{\rho }\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ;\alpha ]=\delta F[\rho ][\alpha ]=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F[\alpha _{\epsilon }]-F[\rho ]}{\epsilon }}=F[\alpha _{?}]'(0)\end{aligned}}}$$

โดยที่. ข้างต้นจึงกลายเป็นกรณีพิเศษ. ^{[ 5 ]}${\displaystyle F[\alpha _{?}](\epsilon )=F[\alpha _{\epsilon }]}$${\displaystyle \alpha _{\epsilon }=\rho +\epsilon \eta }$

ในการใช้งานหลายๆ กรณี โดเมนของฟังก์ชันคือปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดไว้ในปริภูมิบางอย่างและอยู่ในรูปแบบ สำหรับฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่อาจขึ้นอยู่กับค่าและอนุพันธ์ถ้าเป็นเช่นนั้น และยิ่งไปกว่านั้นสามารถเขียนได้เป็นปริพันธ์ของคูณกับฟังก์ชันอื่น (แทนด้วย⁠)${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle D\rho (x)}$${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$${\displaystyle \phi }$δF/δρ) จาก นั้น ฟังก์ชันนี้$${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$δF/δρเรียกว่าอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของ Fที่ ρ [ ^{6 ] [ 7 ]}หากถูกจำกัดไว้เฉพาะฟังก์ชันบางอย่าง(ตัวอย่างเช่น หากมีการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตบางอย่าง) แล้ว^จะถูกจำกัดไว้เฉพาะฟังก์ชันที่ยังคงเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$

ในเชิงฮิวริสติกการเปลี่ยนแปลงในดังนั้นเราจึงมี 'อย่างเป็นทางการ' และจากนั้นรูปแบบนี้จะคล้ายกับอนุพันธ์รวมของฟังก์ชันโดย ที่เป็นตัวแปรอิสระ เมื่อเปรียบเทียบสมการสองสมการสุดท้าย อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันมีบทบาทคล้ายกับอนุพันธ์ย่อยโดยที่ตัวแปรของการอินทิเกรตเป็นเหมือนดัชนีการรวมแบบต่อเนื่อง^{[ 8 ]}นึกถึง⁠${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \phi =\เดลต้า \rho }$${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$$${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$${\textstyle {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$δF/δρเนื่องจากเป็นค่าความชันของ Fที่จุด ρดังนั้นค่าจึงเป็นดังนี้δF/δρ(x)เป็นการวัด ว่าฟังก์ชัน Fจะเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดหากฟังก์ชัน ρเปลี่ยนแปลงที่จุด xดังนั้นสูตรนี้ จึงถือเป็นอนุพันธ์เชิงทิศทางที่จุดในทิศทางของซึ่งคล้ายคลึงกับแคลคูลัสเวกเตอร์ ที่ผลคูณภายในของเวกเตอร์กับเกรเดียนต์ให้ค่าอนุพันธ์เชิงทิศทางในทิศทางของ $${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ โดยที่F [ ρ ]และG [ ρ ]เป็นฟังก์ชัน: ^{[หมายเหตุ 4 ]}

• ความเป็นเส้นตรง: ^{[ 9 ]} โดยที่λ , μเป็นค่าคงที่$${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$$
• กฎผลิตภัณฑ์: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$$
• กฎลูกโซ่:
  • ถ้าFเป็นฟังก์ชันและGเป็นฟังก์ชันอีกตัวหนึ่งแล้ว^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$$
  • ถ้าGเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทั่วไป (ฟังก์ชันเฉพาะที่) gแล้วสิ่งนี้จะลดลงเหลือ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$$

สูตรในการหาอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันสำหรับกลุ่มฟังก์ชันทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปของปริพันธ์ของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น นี่เป็นการขยายความของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ที่จริงแล้ว อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันถูกนำมาใช้ในฟิสิกส์ในการหาอนุพันธ์ของ สมการ ลากรางจ์ชนิดที่สองจากหลักการของการกระทำน้อยที่สุดในกลศาสตร์ลากรางจ์ (ศตวรรษที่ 18) ตัวอย่างสามข้อแรกด้านล่างนี้มาจากทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น (ศตวรรษที่ 20) และตัวอย่างที่สี่มาจากกลศาสตร์สถิติ (ศตวรรษที่ 19)

เมื่อกำหนดฟังก์ชัน และฟังก์ชันที่หายไปที่ขอบเขตของบริเวณการอินทิเกรต จากส่วนก่อนหน้าใน หัวข้อคำ นิยาม$${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

บรรทัดที่สองได้มาจากการใช้ค่าอนุพันธ์รวมโดยที่⁠∂ f/∂∇ ρคืออนุพันธ์ของสเกลาร์เทียบกับเวกเตอร์ [^{หมายเหตุ 5 ]}

บรรทัดที่สามได้มาจากการใช้กฎผลคูณสำหรับการล divergenceบรรทัดที่สี่ได้มาจากการใช้ทฤษฎีบท divergenceและเงื่อนไขที่อยู่บนขอบเขตของบริเวณการอินทิเกรต เนื่องจากเป็นฟังก์ชันใดๆ เช่นกัน การใช้บทพิสูจน์พื้นฐานของแคลคูลัสของการแปรผันกับบรรทัดสุดท้าย อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

โดยที่ρ = ρ ( r )และf = f ( r , ρ , ∇ ρ )สูตรนี้ใช้สำหรับกรณีของรูปแบบฟังก์ชันที่กำหนดโดยF [ ρ ]ในตอนต้นของส่วนนี้ สำหรับรูปแบบฟังก์ชันอื่นๆ สามารถใช้คำนิยามของอนุพันธ์ฟังก์ชันเป็นจุดเริ่มต้นในการกำหนดได้ (ดูตัวอย่างฟังก์ชันพลังงานศักย์คูลอมบ์ )

สมการข้างต้นสำหรับอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันสามารถขยายไปสู่กรณีที่รวมถึงมิติที่สูงกว่าและอนุพันธ์อันดับสูงกว่าได้ ฟังก์ชันดังกล่าวจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f\left({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}})\right)\,d{\boldsymbol {r}},}$$

โดยที่เวกเตอร์r ∈ R ⁿและ∇ ^{( i )}เป็นเทนเซอร์ที่มี^{ส่วนประกอบ} n ⁱเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยอันดับi [ ^{หมายเหตุ 6 ]}$${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}=1,2,\dots ,n\ .}$$

การประยุกต์ใช้นิยามของอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันในลักษณะเดียวกันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

ในสมการสองสมการสุดท้าย ส่วนประกอบ n ⁱของเทนเซอร์คืออนุพันธ์ย่อยของfเทียบกับอนุพันธ์ย่อยของρ โดย ที่และผลคูณสเกลาร์ของเทนเซอร์คือ ^{[หมายเหตุ 7 ]}${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}}$$${\displaystyle \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}}$$${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$

แบบจำลอง Thomas–Fermiของปี 1927 ใช้ฟังก์ชันพลังงานจลน์สำหรับก๊าซอิเล็กตรอน สม่ำเสมอที่ไม่โต้ตอบกัน ในการพยายามครั้งแรกของทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่นของโครงสร้างอิเล็กตรอน: เนื่องจากอินทิกรัลของT _TF [ ρ ]ไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของρ ( r )อนุพันธ์ฟังก์ชันของT _TF [ ρ ]คือ^{[ 13 ]}$${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{\frac {5}{3}}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$$$${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{\frac {5}{3}}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{\frac {2}{3}}(\mathbf {r} )\,.}$$

พลังงานศักย์ระหว่าง อิเล็กตรอนกับนิวเคลียส คือ$${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$$

เมื่อนำนิยามของอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันมาใช้ ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\[1ex]&{}=\int {\frac {\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$$

อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของส่วนคลาสสิกของปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนกับอิเล็กตรอน (มักเรียกว่าพลังงานฮาร์ทรี) คือ จากนิยามของอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันพจน์ แรกและพจน์ที่สองทางด้านขวามือของสมการสุดท้ายเท่ากัน เนื่องจากrและr ′ในพจน์ที่สองสามารถสลับกันได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของอินทิกรัล ดังนั้น และอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของพลังงานศักย์คูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนJ [ ρ ] คือ^{[ 14 ]}$${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,J[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\varepsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$$

อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันลำดับที่สองคือ $${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

ในปี พ.ศ. 2478 ฟอน ไวซ์แซกเกอร์เสนอให้เพิ่มการแก้ไขความชันให้กับฟังก์ชันพลังงานจลน์ของโทมัส-เฟอร์มิเพื่อให้เหมาะสมกับเมฆอิเล็กตรอนของโมเลกุลมากขึ้น โดย ใช้สูตร ที่ได้มาจากก่อนหน้านี้ สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และผลลัพธ์คือ^{[ 15 ]}$${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} \,,}$$$${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho }}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho }}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$$

เอนโทรปีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันของ ฟังก์ชันความน่าจะ เป็น มวล

$${\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}$$ ดังนั้น ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}H[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$$

อนุญาต $${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$$

โดยใช้ฟังก์ชันเดลต้าเป็นฟังก์ชันทดสอบ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$$

วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณฟังก์ชันสหสัมพันธ์จากฟังก์ชันพาร์ติชันในทฤษฎีสนามควอนตัม

ฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปของปริพันธ์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนัล ตัวอย่างเช่น เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตไม่ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ของρดังนั้นอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของρ ( r )คือ $${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$$$${\displaystyle {\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').}$$

อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันที่ทำซ้ำมีค่าดังนี้: และ ${\displaystyle f(f(x))}$$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$$$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$$

โดยทั่วไป: $${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'\left(f^{N-1}(x)\right){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta \left(f^{N-1}(x)-y\right)}$$

เมื่อแทนค่าN = 0จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta \left(f^{-1}(x)-y\right)}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}}}$$

ในฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac แทนฟังก์ชันทดสอบทั่วไปเพื่อให้ได้อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันที่จุด(ซึ่งเป็นจุดของอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันทั้งหมด เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยเป็นส่วนประกอบของเกรเดียนต์): ^{[ 16 ]}${\displaystyle \delta (x-y)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$$

วิธีนี้ใช้ได้ในกรณีที่สามารถขยายเป็นอนุกรม (หรืออย่างน้อยที่สุดถึงอันดับแรก) ใน ได้อย่างเป็นทางการอย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากโดยปกติแล้ว ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ด้วยซ้ำ ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

นิยามที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้านี้มีพื้นฐานมาจากความสัมพันธ์ที่ใช้ได้กับฟังก์ชันทดสอบทั้งหมดดังนั้นบางคนอาจคิดว่ามันควรจะใช้ได้เช่นกันเมื่อเลือกให้เป็นฟังก์ชันเฉพาะ เช่นฟังก์ชันเดลต้าอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเดลต้าไม่ใช่ฟังก์ชันทดสอบที่ถูกต้อง (มันไม่ใช่แม้แต่ฟังก์ชันที่เหมาะสมด้วยซ้ำ) ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

ในนิยาม อนุพันธ์เชิงฟังก์ชันอธิบายว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงอย่างไรอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในฟังก์ชันทั้งหมดรูปแบบเฉพาะของการเปลี่ยนแปลงนั้นไม่ได้ระบุไว้ แต่ควรครอบคลุมช่วงทั้งหมดที่ฟังก์ชันถูกกำหนด การใช้รูปแบบเฉพาะของการรบกวนที่กำหนดโดยฟังก์ชันเดลต้าหมายความว่ามีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่จุดเท่านั้นยกเว้นจุดนี้แล้ว ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใน ${\displaystyle F[\rho (x)]}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho (x)}$

• "อนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]