ในทางคณิตศาสตร์ชั้นพื้นฐาน (fundamental class)คือ ชั้น โฮโมโลยี [ M ] ที่เกี่ยวข้องกับแม นิโฟลด์กระชับ ที่เชื่อมต่อได้และ มีทิศทาง (orientable compact manifold)ที่มีมิติnซึ่งสอดคล้องกับตัวสร้างของกลุ่มโฮโมโลยี ชั้นพื้นฐานสามารถคิดได้ว่าเป็นทิศทางของ ซิมเพล็กซ์มิติสูงสุดของการแบ่งสามเหลี่ยมที่เหมาะสมของแมนิโฟลด์ ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

เมื่อMเป็นแมนิโฟลด์ปิด ที่ เชื่อมต่อกันและมี ทิศทางได้ ซึ่งมีมิติnกลุ่มโฮโมโลยีสูงสุดจะเป็นวัฏจักรอนันต์และทิศทางคือการเลือกตัวสร้าง หรือการเลือกไอโซมอร์ฟิซึม ตัวสร้างนี้เรียกว่าชั้น พื้นฐาน${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$

ถ้าMไม่เชื่อมต่อกัน (แต่ยังสามารถกำหนดทิศทางได้) คลาสพื้นฐานจะเป็นผลรวมโดยตรงของคลาสพื้นฐานสำหรับแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน (ซึ่งสอดคล้องกับทิศทางสำหรับแต่ละส่วนประกอบ)

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับโคฮอโมโลยีของเดอแรมมันแสดงถึงการอินทิเกรตเหนือ Mกล่าวคือ สำหรับMซึ่งเป็นแมนิโฟลด์เรียบn-ฟอร์ม ω สามารถจับคู่กับคลาสพื้นฐานได้ดังนี้

${\displaystyle \langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,}$

ซึ่งเป็นปริพันธ์ของ ω เหนือMและขึ้นอยู่กับคลาสโคฮอโมโลยีของ ω เท่านั้น

ถ้าMไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ และดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดคลาสพื้นฐานMที่อยู่ภายในจำนวนเต็มได้ อย่างไรก็ตาม แมนิโฟลด์ปิดทุกอันสามารถกำหนดทิศทางได้ และ (สำหรับMเชื่อมต่อกัน) ดังนั้น แมนิโฟลด์ปิดทุกอันจึงกำหนดทิศทางได้ (ไม่ใช่แค่สามารถ กำหนดทิศทางได้ : ไม่มีความกำกวมในการเลือกทิศทาง) และมีคลาสพื้นฐาน ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\ncong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

คลาสพื้นฐาน นี้ใช้ในการกำหนดคลาส Stiefel– Whitney ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ถ้าM เป็นแมนิโฟลด์แบบกระชับที่สามารถกำหนดทิศทางได้และมีขอบเขต กลุ่ม โฮโมโลยีสัมพัทธ์สูงสุดก็จะเป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์อีกครั้งดังนั้นแนวคิดของชั้นพื้นฐานจึงสามารถขยายไปยังกรณีแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตได้ ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z} }$

ทฤษฎีบททวิภาวะของปวงกาเรเชื่อมโยงกลุ่มโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีของ แมนิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทางในมิติ n : ถ้าRเป็นวงแหวนสลับที่และMเป็นแม นิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทางใน มิติnที่มีคลาสพื้นฐาน[M]แล้ว สำหรับทุกkแผนที่

${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$

มอบให้โดย

${\displaystyle \alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 1 ]}

โดยใช้แนวคิดของคลาสพื้นฐานสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต เราสามารถขยายความเป็นคู่ของปวงกาเรไปยังกรณีนั้นได้เช่นกัน (ดูความเป็นคู่ของเลฟเชตซ์ ) ในความเป็นจริงผลคูณแคปกับคลาสพื้นฐานให้ผลลัพธ์ความเป็นคู่ที่แข็งแกร่งกว่า โดยกล่าวว่าเรามีไอโซมอร์ฟิซึมโดยสมมติว่าเรามีแมนิโฟลด์มิติ ที่มีและ^{[ 1 ]}${\displaystyle H^{q}(M,A;R)\cong H_{nq}(M,B;R)}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \partial A=\partial B=A\cap B}$${\displaystyle \partial M=A\cup B}$

ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเร

ในการแยกส่วนแบบบรูฮัตของวา ไร ตี้ธงของกลุ่มลี ชั้น พื้นฐานจะสอดคล้องกับ เซลล์ชูเบิร์ตที่มีมิติสูงสุดหรือเทียบเท่ากับองค์ประกอบที่ยาวที่สุดของกลุ่มค็อกเซเตอร์

• องค์ประกอบที่ยาวที่สุดของกลุ่มค็อกซ์เตอร์
• ความเป็นคู่ของปวงกาเร

• Hatcher, Allen (2002). โทโพโลยีเชิงพีชคณิต (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 9780521795401. MR  1867354 .

• ชั้นเรียนพื้นฐานที่ Manifold Atlas
• บทความในสารานุกรมคณิตศาสตร์เกี่ยวกับชั้นพื้นฐาน