ในทางสถิติการแจกแจง Dirichlet แบบทั่วไป ( GD ) เป็นการขยายความของการแจกแจง Dirichletด้วยโครงสร้างความแปรปรวนร่วมที่ทั่วไปกว่าและมีจำนวนพารามิเตอร์เกือบสองเท่า เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจง GD เป็นกลาง โดย สมบูรณ์^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันความหนาแน่นของ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k-1}}$เป็น

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{k-1}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{k}^{b_{k-1}-1}\prod _{i=1}^{k-1}\left[p_{i}^{a_{i}-1}\left(\sum _{j=i}^{k}p_{j}\right)^{b_{i-1}-(a_{i}+b_{i})}\right]}$

โดยที่เรากำหนด${\textstyle p_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}$. ที่นี่${\displaystyle B(x,y)}$หมายถึงฟังก์ชันเบตาซึ่งจะลดรูปเป็นฟังก์ชันการแจกแจงแบบดิริชเลต์มาตรฐานหาก${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$สำหรับ${\displaystyle 2\leqslant i\leqslant k-1}$(${\displaystyle b_{0}}$(เป็นการกำหนดโดยพลการ)

ตัวอย่างเช่น ถ้าk=4แล้วฟังก์ชันความหนาแน่นของ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$เป็น

${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{3}B(a_{i},b_{i})\right]^{-1}p_{1}^{a_{1}-1}p_{2}^{a_{2}-1}p_{3}^{a_{3}-1}p_{4}^{b_{3}-1}\left(p_{2}+p_{3}+p_{4}\right)^{b_{1}-\left(a_{2}+b_{2}\right)}\left(p_{3}+p_{4}\right)^{b_{2}-\left(a_{3}+b_{3}\right)}}$

ที่ไหน${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}<1}$และ${\displaystyle p_{4}=1-p_{1}-p_{2}-p_{3}}$.

คอนเนอร์และโมซิมานน์กำหนดนิยามของ PDF ในลักษณะดังกล่าวด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ กำหนดนิยามของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k-1}}$กับ${\displaystyle z_{1}=p_{1},z_{2}=p_{2}/\left(1-p_{1}\right),z_{3}=p_{3}/\left(1-(p_{1}+p_{2})\right),\ldots ,z_{i}=p_{i}/\left(1-\left(p_{1}+\cdots +p_{i-1}\right)\right)}$. แล้ว${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$มีการกระจายแบบ Dirichlet ทั่วไปตามพารามิเตอร์ที่กำหนดข้างต้น หาก${\displaystyle z_{i}}$เป็นเบต้า อิสระ ที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle a_{i},b_{i}}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,k-1}$.

Wong ^{[ 2 ]}ให้รูปแบบที่กระชับกว่าเล็กน้อยสำหรับ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}\leq 1}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{\alpha _{i}-1}\left(1-x_{1}-\cdots -x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}{B(\alpha _{i},\beta _{i})}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \gamma _{j}=\beta _{j}-\alpha _{j+1}-\beta _{j+1}}$สำหรับ${\displaystyle 1\leq j\leq k-1}$และ${\displaystyle \gamma _{k}=\beta _{k}-1}$โปรดทราบว่า หว่องกำหนดการกระจายตัวเหนือ a${\displaystyle k}$พื้นที่มิติ (โดยนัยกำหนด)${\textstyle x_{k+1}=1-\sum _{i=1}^{k}x_{i}}$) ในขณะที่คอนเนอร์และโมซิแมนใช้${\displaystyle k-1}$พื้นที่มิติที่มี${\textstyle x_{k}=1-\sum _{i=1}^{k-1}x_{i}}$.

ถ้า${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$, แล้ว

${\displaystyle E\left[X_{1}^{r_{1}}X_{2}^{r_{2}}\cdots X_{k}^{r_{k}}\right]=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+r_{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}+\delta _{j}\right)}{\Gamma \left(\alpha _{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}+r_{j}+\delta _{j}\right)}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \delta _{j}=r_{j+1}+r_{j+2}+\cdots +r_{k}}$สำหรับ${\displaystyle j=1,2,\cdots ,k-1}$และ${\displaystyle \delta _{k}=0}$. ดังนั้น

${\displaystyle E\left(X_{j}\right)={\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{j}+\beta _{j}}}\prod _{m=1}^{j-1}{\frac {\beta _{m}}{\alpha _{m}+\beta _{m}}}.}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หาก${\displaystyle b_{i-1}=a_{i}+b_{i}}$สำหรับ${\displaystyle 2\leq i\leq k}$จากนั้นการแจกแจงจะลดลงเหลือการแจกแจงแบบ Dirichlet มาตรฐาน เงื่อนไขนี้แตกต่างจากกรณีปกติ ซึ่งการตั้งค่าพารามิเตอร์เพิ่มเติมของการแจกแจงแบบทั่วไปให้เป็นศูนย์จะทำให้ได้การแจกแจงแบบเดิม อย่างไรก็ตาม ในกรณีของ GDD นั้น จะส่งผลให้ได้ฟังก์ชันความหนาแน่นที่ซับซ้อนมาก

สมมติ${\displaystyle X=\left(X_{1},\ldots ,X_{k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}\right)}$เป็น Dirichlet แบบทั่วไป และว่า${\displaystyle Y\mid X}$เป็นพหุนามที่มี${\displaystyle n}$การทดลอง (ที่นี่)${\displaystyle Y=\left(Y_{1},\ldots ,Y_{k}\right)}$). การเขียน${\displaystyle Y_{j}=y_{j}}$สำหรับ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$และ${\textstyle y_{k+1}=n-\sum _{i=1}^{k}y_{i}}$ข้อต่อด้านหลังของ${\displaystyle X|Y}$เป็นการแจกแจงแบบ Dirichlet ทั่วไปที่มี

${\displaystyle X\mid Y\sim GD_{k}\left({\alpha '}_{1},\ldots ,{\alpha '}_{k};{\beta '}_{1},\ldots ,{\beta '}_{k}\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle {\alpha '}_{j}=\alpha _{j}+y_{j}}$และ${\displaystyle {\beta '}_{j}=\beta _{j}+\sum _{i=j+1}^{k+1}y_{i}}$สำหรับ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant k.}$

หว่องได้ยกตัวอย่างระบบต่อไปนี้เพื่อแสดงความแตกต่างระหว่างการแจกแจงแบบ Dirichlet และการแจกแจงแบบ Dirichlet ทั่วไป เขาตั้งสมมติฐานว่าโถขนาดใหญ่บรรจุลูกบอลจำนวนหนึ่ง${\displaystyle k+1}$สีต่าง ๆ กัน สัดส่วนของแต่ละสีไม่ทราบแน่ชัด จงเขียน${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})}$สำหรับสัดส่วนของลูกบอลที่มีสี${\displaystyle j}$ในโกศ

การทดลองที่ 1นักวิเคราะห์คนที่ 1 เชื่อว่า${\displaystyle X\sim D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k},\alpha _{k+1})}$(เช่น,${\displaystyle X}$เป็นสมการ Dirichlet ที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \alpha _{i}}$จากนั้นนักวิเคราะห์ก็ทำการ${\displaystyle k+1}$กล่องแก้วและวาง${\displaystyle \alpha _{i}}$ลูกแก้วหลากสี${\displaystyle i}$ในกล่อง${\displaystyle i}$(สันนิษฐานว่า${\displaystyle \alpha _{i}}$เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle \geq 1}$จากนั้นนักวิเคราะห์คนที่ 1 หยิบลูกบอลจากโถ แล้วสังเกตสีของลูกบอล (เช่น สี)${\displaystyle j}$) แล้วใส่ลงในกล่อง${\displaystyle j}$เขาสามารถระบุกล่องที่ถูกต้องได้เพราะกล่องเหล่านั้นโปร่งใสและมองเห็นสีของลูกแก้วที่อยู่ข้างในได้ กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่ง${\displaystyle n}$ลูกบอลถูกสุ่มเลือกแล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจะเป็นแบบ Dirichlet โดยมีพารามิเตอร์เป็นจำนวนลูกแก้วในแต่ละกล่อง

การทดลองที่ 2นักวิเคราะห์คนที่ 2 เชื่อว่า${\displaystyle X}$เป็นไปตามการแจกแจงแบบ Dirichlet ทั่วไป:${\displaystyle X\sim GD(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots ,\beta _{k})}$พารามิเตอร์ทั้งหมดถือว่าเป็นจำนวนเต็มบวกอีกครั้ง นักวิเคราะห์ทำการวิเคราะห์${\displaystyle k+1}$กล่องไม้ กล่องเหล่านี้มีสองส่วน: ส่วนหนึ่งสำหรับลูกบอล และอีกส่วนสำหรับลูกแก้ว ลูกบอลมีสี แต่ลูกแก้วไม่มีสี จากนั้นสำหรับ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$เขาวาง${\displaystyle \alpha _{j}}$ลูกบอลหลากสี${\displaystyle j}$, และ${\displaystyle \beta _{j}}$ลูกแก้ว ใส่ลงในกล่อง${\displaystyle j}$จากนั้นเขาก็ใส่ลูกบอลสีลงไป${\displaystyle k+1}$ในกล่อง${\displaystyle k+1}$จากนั้น นักวิเคราะห์จะหยิบลูกบอลจากโถ เนื่องจากกล่องทำจากไม้ นักวิเคราะห์จึงไม่สามารถบอกได้ว่าควรใส่ลูกบอลลงในกล่องใด (เหมือนกับในทดลองที่ 1 ข้างต้น) นอกจากนี้ เขายังมีความจำไม่ดีและจำไม่ได้ว่ากล่องใดมีลูกบอลสีอะไร เขาต้องค้นหาว่ากล่องใดเป็นกล่องที่ถูกต้องที่จะใส่ลูกบอลลงไป เขาทำเช่นนั้นโดยการเปิดกล่องที่ 1 และเปรียบเทียบลูกบอลในกล่องนั้นกับลูกบอลที่หยิบได้ หากสีแตกต่างกัน แสดงว่ากล่องนั้นผิด นักวิเคราะห์จะใส่ลูกบอลลงในกล่องที่ 1 แล้วไปยังกล่องที่ 2 เขาทำซ้ำกระบวนการนี้จนกว่าลูกบอลในกล่องจะตรงกับลูกบอลที่หยิบได้ ณ จุดนั้น เขาจะใส่ลูกบอลลงในกล่องที่มีลูกบอลสีเดียวกัน จากนั้น นักวิเคราะห์จะหยิบลูกบอลอีกลูกจากโถและทำซ้ำจนกระทั่ง${\displaystyle n}$มีการวาดลูกบอล จากนั้นจึงใช้ Dirichlet แบบทั่วไปที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \alpha }$โดยเป็นจำนวนลูกบอล และ${\displaystyle \beta }$จำนวนลูกแก้วในแต่ละกล่อง

โปรดสังเกตว่าในการทดลองที่ 2 การเปลี่ยนลำดับของกล่องมีผลกระทบที่ไม่เล็กน้อย ซึ่งแตกต่างจากการทดลองที่ 1

• การแจกแจงแบบ Dirichlet-multinomial
• ทฤษฎีความเป็นอิสระแบบสัดส่วน-ผลรวมของลูคาช