ไฮเปอร์โบลิกทั่วไป
พารามิเตอร์	${\displaystyle \lambda }$พารามิเตอร์ความไม่สมมาตร ( จริง ) พารามิเตอร์มาตราส่วน (จริง) ตำแหน่ง ( จริง ) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \mu }$${\textstyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}$${\displaystyle {}\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
หมายถึง	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

การแจกแจงไฮเปอร์โบลิกทั่วไป ( GH ) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่กำหนดโดยการผสมความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยแบบปกติโดยที่การแจกแจงแบบผสมคือการแจกแจงเกาส์เซียนผกผันทั่วไป (GIG) ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (ดูในกรอบ) กำหนดโดยฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สองซึ่งแสดงด้วย[ ^{1 ]} Ole Barndorff-Nielsenเป็นผู้นำเสนอ^{การแจกแจง}นี้ โดยศึกษาในบริบทของฟิสิกส์ของทรายที่ถูกลมพัด [ ^{2 ]}${\displaystyle K_{\lambda }}$

คลาสนี้ปิดภายใต้การแปลงเชิงเส้น^{[ 1 ]}

Barndorff-Nielsen และ Halgreen พิสูจน์แล้วว่าการแจกแจง GIG สามารถแบ่งได้อย่างไม่จำกัดและเนื่องจากการแจกแจง GH สามารถหาได้จากการผสมความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยแบบปกติ โดยที่การแจกแจงแบบผสมคือการแจกแจงแบบเกาส์เซียนผกผันทั่วไป Barndorff-Nielsen และ Halgreen จึงแสดงให้เห็นว่าการแจกแจง GH สามารถแบ่งได้อย่างไม่จำกัดเช่นกัน^{[ 3 ]}

ประเด็นสำคัญเกี่ยวกับการกระจายแบบแบ่งได้ไม่จำกัดคือความเชื่อมโยงกับกระบวนการ Lévyกล่าวคือ ณ จุดเวลาใดๆ กระบวนการ Lévy จะมีการกระจายแบบแบ่งได้ไม่จำกัด ตระกูลของการกระจายแบบแบ่งได้ไม่จำกัดที่เป็นที่รู้จักกันดีหลายตระกูลเรียกว่าปิดภายใต้การสังเคราะห์ กล่าวคือ หากการกระจายของกระบวนการ Lévy ณ จุดเวลาหนึ่งเป็นของตระกูลใดตระกูลหนึ่งเหล่านี้ การกระจายของกระบวนการ Lévy ณ จุดเวลาทั้งหมดจะเป็นของตระกูลการกระจายเดียวกัน ตัวอย่างเช่น กระบวนการ Poisson จะมีการกระจายแบบ Poisson ณ จุดเวลาทั้งหมด หรือการเคลื่อนที่แบบ Brownian จะมีการกระจายแบบปกติ ณ จุดเวลาทั้งหมด อย่างไรก็ตาม กระบวนการ Lévy ที่เป็นไฮเปอร์โบลิกทั่วไป ณ จุดเวลาหนึ่ง อาจไม่เป็นไฮเปอร์โบลิกทั่วไป ณ จุดเวลาอื่น อันที่จริง การกระจายแบบ Laplace ทั่วไปและการกระจายแบบ Gaussian ผกผันปกติเป็นเพียงคลาสย่อยของการกระจายแบบไฮเปอร์โบลิกทั่วไปที่ปิดภายใต้การสังเคราะห์^{[ 4 ]}

ดังที่ชื่อบ่งบอกไว้ การแจกแจงนี้มีรูปแบบทั่วไปมาก โดยเป็นซูเปอร์คลาสของการแจกแจงต่างๆ เช่นการแจกแจงtของนักเรียนการแจกแจงลาปลาส การแจกแจง ไฮเปอร์โบลิก การแจกแจงปกติผกผัน เกาส์เซียน และการแจกแจงความแปรปรวนแกมมาเป็นต้น

• ${\displaystyle \mathrm {GH} (-{\tfrac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$เป็นการแจกแจงแบบ tของนักเรียนที่มีระดับความเป็นอิสระ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$เป็นการแจกแจงแบบไฮเปอร์โบลิก

• ${\displaystyle \mathrm {GH} (-{\tfrac {1}{2}},\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$เป็นการกระจายแบบนอร์มัล-อินเวอร์สเกาส์เซียน (NIG)
• ${\displaystyle \mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,}$การแจกแจงไคกำลังสองผกผันปกติ
• ${\displaystyle \mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,}$การแจกแจงแกมมาแบบผกผันปกติ (NI)
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,}$เป็นการแจกแจงความแปรปรวนแบบแกมมา
• ${\displaystyle \mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,}$เป็นการแจกแจงแบบลาปลาสที่มีพารามิเตอร์ตำแหน่งและพารามิเตอร์มาตราส่วนเท่ากับ 1${\displaystyle \mu }$

โดยส่วนใหญ่แล้วจะนำไปใช้ในพื้นที่ที่ต้องการความน่าจะเป็นที่เพียงพอของพฤติกรรมในระยะไกล ซึ่งสามารถจำลองได้เนื่องจากมีลักษณะหางกึ่งหนัก ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่การแจกแจงแบบปกติไม่มีการแจกแจงไฮเปอร์โบลิกแบบทั่วไปมักใช้ในทางเศรษฐศาสตร์