การ แสดงตัวเลขด้วย ดัชนีระดับ ( LI ) และอัลกอริทึมสำหรับ การดำเนินการ ทางคณิตศาสตร์ได้รับการแนะนำโดยCharles ClenshawและFrank Olverในปี 1984 ^{[ 1 ]}

รูปแบบสมมาตรของระบบ LI และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้รับการนำเสนอโดย Clenshaw และ Peter Turner ในปี 1987 ^{[ 2 ]}

Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel และ Turner ได้พัฒนาอัลกอริทึมสำหรับ การคำนวณเลขคณิต แบบดัชนีระดับสมมาตร ( SLI ) และการใช้งานแบบขนานของอัลกอริทึมดังกล่าว มีการทำงานอย่างกว้างขวางในการพัฒนาอัลกอริทึมการคำนวณเลขคณิต SLI และขยายไปสู่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เชิงซ้อนและเวกเตอร์

แนวคิดของระบบดัชนีระดับคือการแทนจำนวนจริงที่ ไม่เป็นลบ Xด้วย

${\displaystyle X=e^{e^{e^{\cdots ^{e^{f}}}}},}$

โดยที่และกระบวนการยกกำลังจะดำเนินการℓครั้ง โดยที่ℓ และ f คือระดับและดัชนีของ X ตามลำดับ x = ℓ + fคือภาพ LI ของXตัวอย่างเช่น ${\displaystyle 0\leq f<1}$${\displaystyle \ell \geq 0}$

${\displaystyle X=1234567=e^{e^{e^{0.9711308}}},}$

ดังนั้นภาพ LI ของมันจึงเป็น

${\displaystyle x=\ell +f=3+0.9711308=3.9711308.}$

รูปแบบสมมาตรใช้เพื่ออนุญาตให้มีเลขชี้กำลังติดลบ หากขนาดของXน้อยกว่า 1 เราใช้sgn (log( X ))หรือsgn(| X | − | X | ⁻¹ )และจัดเก็บ (หลังจากแทนที่ +1 ด้วย 0 สำหรับเครื่องหมายผกผัน เนื่องจากสำหรับX  = 1 =  e ⁰ภาพ LI คือx  = 1.0และกำหนดX = 1 ได้อย่างเฉพาะเจาะจง เราจึงสามารถละทิ้งสถานะที่สามและใช้เพียงบิตเดียวสำหรับสองสถานะ −1 และ +1) เป็นเครื่องหมายผกผันr _Xในทางคณิตศาสตร์ นี่เทียบเท่ากับการหา ค่า ผกผัน (ตัวผกผันการคูณ) ของจำนวนที่มีขนาดเล็ก แล้วหาภาพ SLI สำหรับค่าผกผันนั้น การใช้บิตเดียวสำหรับเครื่องหมายผกผันทำให้สามารถแสดงจำนวนที่เล็กมากได้

บิตเครื่องหมายอาจใช้เพื่ออนุญาตให้ใช้จำนวนลบได้เช่นกัน โดยการนำsgn ( X ) มาจัดเก็บ (หลังจากแทนที่ 0 ด้วย +1 สำหรับเครื่องหมาย เนื่องจากสำหรับX  = 0ภาพ LI คือx  = 0.0และกำหนดX  = 0 ได้อย่างเฉพาะเจาะจง เราจึงสามารถตัดสถานะที่สามออกไปได้ และใช้เพียงบิตเดียวสำหรับสองสถานะ −1 และ +1) เป็นเครื่องหมาย_sXในทางคณิตศาสตร์ นี่เทียบเท่ากับการหาค่าผกผัน (ค่าผกผันการบวก) ของจำนวนลบ แล้วหาภาพ SLI สำหรับค่าผกผันนั้น การใช้บิตเดียวสำหรับเครื่องหมายทำให้สามารถแสดงจำนวนลบได้

ฟังก์ชันการแมปเรียกว่าฟังก์ชันลอการิทึมทั่วไปโดยมีนิยามดังนี้

${\displaystyle \psi (X)={\begin{cases}X&{\text{ถ้า }}0\leq X<1,\\1+\psi (\ln X)&{\text{ถ้า }}X\geq 1,\end{cases}}}$

และฟังก์ชันนี้จะแมปไปยังตัวมันเองอย่างต่อเนื่อง จึงสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้ในช่วงนี้ ฟังก์ชันผกผัน หรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั่วไปถูกกำหนดโดย ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x&{\text{ถ้า }}0\leq x<1,\\e^{\varphi (x-1)}&{\text{ถ้า }}x\geq 1.\end{cases}}}$

ความหนาแน่นของค่าXที่แสดงโดยxไม่มีความไม่ต่อเนื่องเมื่อเราเปลี่ยนจากระดับℓไปยังℓ  + 1 (ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์มาก) เนื่องจาก

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (x)}{dx}}\right|_{x=1}=\left.{\frac {d\varphi (e^{x})}{dx}}\right|_{x=0}.}$

ฟังก์ชันลอการิทึมทั่วไปมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลอการิทึมแบบวนซ้ำที่ใช้ในการวิเคราะห์อัลกอริธึมในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

ในทางทฤษฎี เราสามารถกำหนดการแสดงแทน SLI สำหรับจำนวนจริงX ใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 หรือ 1) ได้ดังนี้

${\displaystyle X=s_{X}\varphi (x)^{r_{X}},}$

โดยที่s _Xคือเครื่องหมาย (การผกผันการบวกหรือไม่) ของXและr _Xคือเครื่องหมายส่วนกลับ (การผกผันการคูณหรือไม่) ดังสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle s_{X}=\operatorname {sgn}(X),\quad r_{X}=\operatorname {sgn} {\big (}|X|-|X|^{-1}{\big )},\quad x=\psi {\big (}\max {\big (}|X|,|X|^{-1}{\big )}{\big )}=\psi {\big (}|X|^{r_{X}}{\big )},}$

ในขณะที่สำหรับX = 0 หรือ 1 เราจะได้

${\displaystyle s_{0}=+1,\quad r_{0}=+1,\quad x=0.0,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,\quad r_{1}=+1,\quad x=1.0.}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{-e^{e^{0.9711308}}},}$

และการแสดงผลในรูปแบบ SLI คือ

${\displaystyle x=-\varphi (3.9711308)^{-1}.}$

• เตตระเรชั่น
• จุดลอยตัว (FP)
• จุดลอยตัวแบบเรียว (TFP)
• ระบบจำนวนลอการิทึม (LNS)
• ระดับ (ปริมาณเชิงลอการิทึม)

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). "เลขคณิตดัชนีระดับ: การสำรวจเบื้องต้น" การวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการประมวลผลแบบขนาน (เอกสารประกอบการประชุม / โรงเรียนภาคฤดูร้อนการวิเคราะห์เชิงตัวเลขแลงแคสเตอร์ 1987). บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ (LNM). 1397 : 95– 168. doi : 10.1007/BFb0085718 . ISBN 978-3-540-51645-3.
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (23 มิถุนายน 1989) [4 ตุลาคม 1988]. "การหาค่ารากกำลังสองโดยใช้เลขคณิตดัชนีระดับ". การคำนวณ . 43 (2). Springer-Verlag : 171– 185. doi : 10.1007/BF02241860 . ISSN  0010-485X .
• เซเฮนด์เนอร์, เอเบอร์ฮาร์ด (ฤดูร้อน 2008) "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (บทบรรยาย) (เป็นภาษาเยอรมัน) ฟรีดริช-ชิลเลอร์-มหาวิทยาลัยเยนา หน้า  21–22 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่2018-07-09 สืบค้นเมื่อ2018-07-09 .[1]
• เฮย์ส, ไบรอัน (กันยายน–ตุลาคม 2552). "เลขคณิตขั้นสูง" . นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน . 97 (5): 364– 368. doi : 10.1511/2009.80.364 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-07-09 . สืบค้นเมื่อ2018-07-09 .[2] . พิมพ์ซ้ำใน: Hayes, Brian (2017). "บทที่ 8: เลขคณิตขั้นสูง" Foolproof และการทำสมาธิทางคณิตศาสตร์อื่นๆ (ฉบับที่ 1). สำนักพิมพ์ MITหน้า  113–126 . ISBN 978-0-26203686-3ISBN​ 0-26203686-X.

• sli-c-library (โฮสต์โดย Google Code), "การใช้งานเลขคณิตดัชนีระดับสมมาตรในภาษา C++ "