ในทฤษฎีการเข้ารหัสเมทริกซ์กำเนิด (generator matrix)คือเมทริกซ์ที่มีแถวเป็นฐานสำหรับรหัสเชิงเส้น (linear code ) คำรหัส (codewords) คือ ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของแถวในเมทริกซ์นี้ กล่าวคือ รหัสเชิงเส้นคือปริภูมิแถวของเมทริกซ์กำเนิดนั้นเอง

ถ้าGเป็นเมทริกซ์ มันจะสร้างคำรหัสของรหัสเชิงเส้นCโดย

${\displaystyle w=sG}$

โดยที่wเป็นคำรหัสของรหัสเชิงเส้นCและsเป็นเวกเตอร์อินพุตใดๆ ทั้งwและsถือว่าเป็นเวกเตอร์แถว^{[ 1 ]}เมทริกซ์กำเนิดสำหรับรหัสเชิงเส้น-code มีรูปแบบโดยที่nคือความยาวของคำรหัสkคือจำนวนบิตข้อมูล (มิติของCเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์) dคือระยะห่างขั้นต่ำของรหัส และqคือขนาดของฟิลด์จำกัดนั่นคือจำนวนสัญลักษณ์ในตัวอักษร (ดังนั้นq = 2 บ่งชี้ถึงรหัสไบนารีเป็นต้น) จำนวนบิตที่ซ้ำซ้อนจะแสดงด้วย ${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle r=nk}$

รูป แบบ มาตรฐานสำหรับเมทริกซ์กำเนิดคือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$,

โดยที่เมทริกซ์เอกลักษณ์และ P เป็นเมทริกซ์ เมื่อเมทริกซ์กำเนิดอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน รหัสCจะเป็นระบบ ใน ตำแหน่งพิกัดkแรก^{[ 3 ]}${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle k\times (nk)}$

สามารถใช้เมทริกซ์กำเนิดเพื่อสร้างเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับรหัส (และในทางกลับกัน) หากเมทริกซ์กำเนิดGอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันสำหรับCคือ^{[ 4 ]}${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{nk}\end{bmatrix}}}$,

โดยที่คือเมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันของคือเมทริกซ์กำเนิดของรหัสคู่ขนาน ${\displaystyle P^{\top }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\perp }}$

G เป็นเมทริกซ์ ในขณะที่ H ก็เป็นเมทริกซ์เช่นกัน ${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle (nk)\times n}$

รหัสC ₁และC ₂เทียบเท่ากัน (ระบุด้วยC ₁ ~ C ₂ ) หากรหัสหนึ่งสามารถได้มาจากอีกรหัสหนึ่งผ่านการแปลงสองแบบต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

1. สลับตำแหน่งส่วนประกอบตามอำเภอใจ และ
2. ปรับขนาดส่วนประกอบใดๆ อย่างอิสระโดยใช้ค่าที่ไม่เป็นศูนย์

รหัสที่เทียบเท่ากันจะมีระยะห่างขั้นต่ำเท่ากัน

เมทริกซ์ตัวสร้างของรหัสที่เทียบเท่ากันสามารถหาได้จากกันและกันผ่านการดำเนินการพื้นฐาน ต่อไปนี้ : ^{[ 6 ]}

1. สลับแถว
2. ปรับขนาดแถวด้วยค่าสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์
3. เพิ่มแถวต่อจากแถวอื่น
4. สลับตำแหน่งคอลัมน์ และ
5. ปรับขนาดคอลัมน์ด้วยค่าสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์

ดังนั้น เราจึงสามารถทำการกำจัดแบบเกาส์เซียนบนGได้ อันที่จริง วิธีนี้ทำให้เราสามารถสมมติได้ว่าเมทริกซ์ตัวสร้างอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์G ใดๆ เราสามารถหาเมทริกซ์ผกผันUได้ โดยที่Gและสร้างรหัสที่เทียบเท่ากัน ${\displaystyle UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

• รหัสแฮมมิง (7,4)

• MacWilliams, FJ ; Sloane, NJA (1977), ทฤษฎีของรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด , North-Holland, ISBN 0-444-85193-3

• เมทริกซ์กำเนิดที่ MathWorld