ในเรขาคณิตพีชคณิต แบบคลาสสิก สูตรความสัมพันธ์ระหว่าง จีนัสและดีกรีจะเชื่อมโยงดีกรีเข้าด้วยกัน${\displaystyle d}$ของเส้นโค้งระนาบที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle C}$ด้วยสกุลทางเลขคณิต ของมัน${\displaystyle g}$โดยใช้สูตร:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

ในที่นี้ "เส้นโค้งระนาบ" หมายความว่า${\displaystyle C}$เป็นเส้นโค้งปิดในระนาบเชิงฉาย${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ถ้าเส้นโค้งไม่เป็นเส้นโค้งเอกฐานค่าจีนัสทางเรขาคณิตและค่าจีนัสทางเลขคณิตจะเท่ากัน แต่ถ้าเส้นโค้งเป็นเส้นโค้งเอกฐาน โดยมีเพียงจุดเอกฐานธรรมดา ค่าจีนัสทางเรขาคณิตจะน้อยกว่า กล่าวคือจุดเอกฐาน ธรรมดา ที่มีจำนวนเท่า${\displaystyle r}$ลดสกุลลงโดย${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$[ ^{1 ]​}

เส้นโค้งวงรีถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัสเนื่องจากฟังก์ชันพารามิเตอร์เหล่านี้เป็นคาบสองเท่า เส้นโค้งวงรีจึงสามารถระบุได้ด้วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านติดกัน กล่าวคือทอรัส ดังนั้นจีนัสของเส้นโค้งวงรีจึงเท่ากับ 1 สูตรจีนัส-ดีกรีเป็นการขยายข้อเท็จจริงนี้ไปยังเส้นโค้งที่มีจีนัสสูงกว่า แนวคิดพื้นฐานคือการใช้สมการดีกรีสูงกว่า พิจารณาสมการควอติก$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$สำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ขนาดเล็ก${\displaystyle \varepsilon }$ซึ่งทำให้ได้เส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน อย่างไรก็ตาม เมื่อ${\displaystyle \varepsilon =0}$นี่คือ$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$เส้นโค้งที่ลดรูปได้ (การรวมกันของเส้นโค้งลูกบาศก์ที่ไม่เอกฐานและเส้นตรง) เมื่อบวกจุดอนันต์เข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นตรงที่ตัดกับเส้นโค้งลูกบาศก์ที่ 3 จุด ภาพเชิงซ้อนของเส้นโค้งที่ลดรูปได้นี้ดูเหมือนทรงโดนัทและทรงกลมที่สัมผัสกันที่ 3 จุด${\displaystyle \varphi }$เมื่อค่าเปลี่ยนไปเป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ จุดสัมผัสจะเปิดออกเป็นท่อที่เชื่อมต่อระหว่างทรงโดนัทและทรงกลม โดยเพิ่มด้ามจับ 2 อันให้กับทรงโดนัท ส่งผลให้ได้เส้นโค้งที่มีจีนัส 3

โดยทั่วไป ถ้า${\displaystyle g(d)}$คือจีนัสของเส้นโค้งที่มีดีกรี${\displaystyle d}$เส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน จากนั้นดำเนินการตามข้างต้น เราจะได้เส้นโค้งที่ไม่เอกฐานที่มีดีกรี${\displaystyle d+1}$โดย${\displaystyle \varepsilon }$-การปรับเส้นโค้งรวมของดีกรีให้เรียบ${\displaystyle d}$และเส้นตรง เส้นตรงนั้นตัดกับองศา${\displaystyle d}$เส้นโค้งใน${\displaystyle d}$คะแนน ดังนั้นจึงนำไปสู่การเรียกซ้ำ$${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$การเรียกซ้ำนี้มีคำตอบ${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$.

สูตรเจเนอรัส-ดีกรีสามารถพิสูจน์ได้จากสูตรการเชื่อมต่อสำหรับรายละเอียด โปรดดูสูตรการเชื่อมต่อ §  การประยุกต์ใช้กับเส้นโค้ง^{[ 2 ]}

สำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซ ที่ไม่เอกฐาน${\displaystyle H}$ของปริญญา${\displaystyle d}$ในพื้นที่ฉายภาพ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ของสกุลเลขคณิต${\displaystyle g}$สูตรจึงกลายเป็น:

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

ที่ไหน${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$คือสัมประสิทธิ์ทวินาม

• การคาดเดาของทอม