ในเรขาคณิตพีชคณิต แบบคลาสสิก สูตรความสัมพันธ์ระหว่างจีนัสและดีกรีจะเชื่อมโยงดีกรีของเส้นโค้งระนาบที่ไม่สามารถลดรูปได้กับจีนัสทางเลขคณิต ของเส้นโค้งนั้น โดยใช้สูตร: ${\displaystyle d}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

ในที่นี้ "เส้นโค้งระนาบ" หมายถึงเส้นโค้งปิดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟหากเส้นโค้งไม่เอกฐานจีนัสทางเรขาคณิตและจีนัสทางเลขคณิตจะเท่ากัน แต่ถ้าเส้นโค้งเอกฐานที่มีเฉพาะเอกฐานธรรมดา จีนัสทางเรขาคณิตจะเล็กลง กล่าวคือเอกฐาน ธรรมดา ที่มีความซ้ำซ้อนจะลดจีนัสลง^{[ 1 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

เส้นโค้งวงรีถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัสเนื่องจากฟังก์ชันพารามิเตอร์เหล่านี้เป็นคาบสองเท่า เส้นโค้งวงรีจึงสามารถระบุได้ด้วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านติดกัน กล่าวคือทอรัส ดังนั้นจีนัสของเส้นโค้งวงรีจึงเท่ากับ 1 สูตรจีนัส-ดีกรีเป็นการขยายข้อเท็จจริงนี้ไปยังเส้นโค้งที่มีจีนัสสูงกว่า แนวคิดพื้นฐานคือการใช้สมการดีกรีสูงกว่า พิจารณาสมการกำลังสี่สำหรับค่า n ขนาดเล็กที่ไม่เป็นศูนย์ สมการนี้จะให้เส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน อย่างไรก็ตาม เมื่อ n > 0 สมการ นี้จะเป็นเส้นโค้งที่ลดรูปได้ (การรวมกันของเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่เอกฐานและเส้นตรง) เมื่อบวกจุดอนันต์เข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นตรงที่ตัดกับเส้นโค้งกำลังสามที่ 3 จุด ภาพเชิงซ้อนของเส้นโค้งที่ลดรูปได้นี้ดูเหมือนทอรัสและทรงกลมที่สัมผัสกันที่ 3 จุด เมื่อค่าเปลี่ยนไปเป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ จุดสัมผัสจะเปิดออกเป็นท่อที่เชื่อมต่อระหว่างทรงโดนัทและทรงกลม โดยเพิ่มด้ามจับ 2 อันให้กับทรงโดนัท ส่งผลให้ได้เส้นโค้งที่มีจีนัส 3 $${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$${\displaystyle \varphi }$

โดยทั่วไป ถ้า n คือจีนัสของเส้นโค้งที่มีดีกรี n เส้นโค้งไม่เอกฐาน แล้วเมื่อดำเนินการตามข้างต้น เราจะได้เส้นโค้งไม่เอกฐานที่มีดีกรี n โดยการปรับเรียบแบบ n-smoothing ของการรวมกันของเส้นโค้งที่มีดีกรี n และเส้นตรง เส้นตรงตัดกับเส้นโค้งที่มีดีกรี n ที่จุดต่างๆ ดังนั้นจึงนำไปสู่ความสัมพันธ์เวียนเกิดความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้มีคำตอบคือ ${\displaystyle g(d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$

สูตรเจเนอรัส-ดีกรีสามารถพิสูจน์ได้จากสูตรการเชื่อมต่อสำหรับรายละเอียด โปรดดูสูตรการเชื่อมต่อ § การประยุกต์ใช้กับเส้นโค้ง^{[ 2 ]}

สำหรับ ไฮเปอร์เซอร์เฟซที่ ไม่เอกฐานที่มีดีกรีในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มีจีนัสทางเลขคณิตสูตรจะกลายเป็น: ${\displaystyle H}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

สัมประสิทธิ์ ทวินามอยู่ที่ไหน${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

• การคาดเดาของทอม