การจับคู่แบบเรขาคณิตของ Langlands

Q: สถานะ

ข้อสันนิษฐานทางเรขาคณิตของ Langlands ได้รับการพิสูจน์โดย Pierre Deligne และDrinfeld ในปี 1983 [ 5 ] [ 6 ] จี แอล ( 1 ) {\displaystyle GL(1)} จี แอล ( 2 ) {\displaystyle GL(2)}

Q: ความเชื่อมโยงกับฟิสิกส์

ในบทความจากปี 2007 Anton Kapustin และ Edward Witten ได้อธิบายถึงความเชื่อมโยงระหว่างการสอดคล้องกันของ Langlands ทางเรขาคณิตและ S-duality ซึ่งเป็นคุณสมบัติของ ทฤษฎีสนามควอนตัม บาง ทฤษฎี [ 10 ]

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิตของ Langlandsเชื่อมโยงเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการแทนเป็นการปรับปรุงใหม่ของความสัมพันธ์ของ Langlandsโดยการแทนที่ฟิลด์จำนวน ที่ปรากฏในเวอร์ชัน ทฤษฎีจำนวนดั้งเดิมด้วยฟิลด์ฟังก์ชันและการประยุกต์ใช้เทคนิคจาก เรขาคณิต เชิงพีชคณิต^{[ 1 ]} ความสัมพันธ์นี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดาRobert Langlandsผู้คิดค้นรูปแบบดั้งเดิมในช่วงปลายทศวรรษ 1960

สมมติฐานเชิงเรขาคณิตของ Langlandsยืนยันถึงการมีอยู่ของการจับคู่เชิงเรขาคณิตของ Langlands

พื้นหลัง

ในทางคณิตศาสตร์ การสอดคล้องกันของ Langlands แบบคลาสสิกคือชุดผลลัพธ์และข้อสันนิษฐานที่เชื่อมโยงทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีการแทน ซึ่งกำหนดโดย Robert Langlands ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 การสอดคล้องกันของ Langlands เกี่ยวข้องกับข้อสันนิษฐานที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน เช่นข้อสันนิษฐาน Taniyama–Shimuraซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermatเป็นกรณีพิเศษ^{[ 1 ]}

การจับคู่ของ Langlands สามารถกำหนดขึ้นสำหรับฟิลด์ทั่วโลก (รวมถึงฟิลด์ท้องถิ่น ) ซึ่งจำแนกเป็นฟิลด์จำนวนหรือฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลกการสร้างการจับคู่ของ Langlands แบบคลาสสิกสำหรับฟิลด์จำนวนนั้นพิสูจน์แล้วว่ายากมาก ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์บางคนจึงเสนอการจับคู่ของ Langlands ทางเรขาคณิตสำหรับฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลก ซึ่งในแง่หนึ่งพิสูจน์แล้วว่าจัดการได้ง่ายกว่า^{[ 2 ]}

ข้อสันนิษฐาน Langlands ทางเรขาคณิตสำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป เหนือฟิลด์ฟังก์ชันได้รับการกำหนดโดยVladimir DrinfeldและGérard Laumonในปี 1987 ^[³^]^[⁴^] $GL(n,K)$ $K$

สถานะ

ข้อสันนิษฐานทางเรขาคณิตของ Langlands ได้รับการพิสูจน์โดยPierre DeligneและDrinfeld ในปี 1983 ^[⁵^]^[⁶^] $GL(1)$ $GL(2)$

ทีมนักคณิตศาสตร์ซึ่งรวมถึงเดนนิส เกตส์กอรีได้ ประกาศการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของแลงแลนด์สทางเรขาคณิตที่ไม่แตกแขนงเชิงหมวดหมู่เมื่อวันที่ 6 พฤษภาคม 2024 ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}การพิสูจน์ดังกล่าวมีเนื้อหามากกว่า 1,000 หน้าในเอกสารห้าฉบับ และถูกเรียกว่า "ซับซ้อนมากจนแทบไม่มีใครสามารถอธิบายได้" แม้แต่การถ่ายทอดความสำคัญของผลลัพธ์ไปยังนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก็ยังถูกอธิบายว่า "ยากมาก แทบเป็นไปไม่ได้" โดยดรินเฟลด์^{[ 9 ]}

ความเชื่อมโยงกับฟิสิกส์

ในบทความจากปี 2007 Anton KapustinและEdward Wittenได้อธิบายถึงความเชื่อมโยงระหว่างการสอดคล้องกันของ Langlands ทางเรขาคณิตและS-dualityซึ่งเป็นคุณสมบัติของทฤษฎีสนามควอนตัมบาง ทฤษฎี ^{[ 10 ]}

ในปี 2018 เมื่อรับรางวัลอาเบลแลงแลนด์ได้นำเสนอเอกสารที่ปรับปรุงโปรแกรมเรขาคณิตใหม่โดยใช้เครื่องมือที่คล้ายกับการติดต่อสื่อสารของแลงแลนด์ดั้งเดิมของเขา^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}แนวคิดของแลงแลนด์ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยเอทิงอฟเฟรนเคลและคาซดัน^{[ 13 ]}

หมายเหตุ

^ ^a ^b Frenkel 2007 , หน้า 3.
^ Frenkel 2007 , หน้า 3,24.
^เฟรนเคล 2007 , หน้า 46.
↑ เลามง, เจราร์ด (1987) "การติดต่อทางจดหมายของ Langlands géométrique pour les corps de fonctions" วารสารคณิตศาสตร์ดยุค . 54 (2): 309– 359. ดอย : 10.1215/S0012-7094-87-05418-4 .
^ Frenkel 2007 , หน้า 31,46.
^ Drinfeld, Vladimir G. (1983). "การแสดงแทน ℓ–adic สองมิติของกลุ่มพื้นฐานของเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัดและรูปแบบอัตโนมัติบน GL(2)" American Journal of Mathematics . 105 (1): 85– 114. doi : 10.2307/2374382 . JSTOR 2374382 .
^ "การพิสูจน์สมมติฐานเชิงเรขาคณิตของ Langlands " people.mpim-bonn.mpg.de สืบค้นเมื่อ2024-07-09
^ Klarreich, Erica (19 กรกฎาคม 2024). "การพิสูจน์ครั้งสำคัญยุติข้อสันนิษฐานทางเรขาคณิตของ Langlands" . นิตยสาร Quanta . สืบค้นเมื่อ20 กรกฎาคม 2024 .
^ Wilkins, Alex (20 พฤษภาคม 2024). "การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งนั้นซับซ้อนมากจนแทบไม่มีใครสามารถอธิบายได้" . New Scientist . สืบค้นเมื่อ9 กรกฎาคม 2024 .
^คาปุสตินและวิทเทน 2007
^ "นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่คุณไม่เคยได้ยินชื่อมาก่อน" . The Walrus . 2018-11-15 . สืบค้นเมื่อ2020-02-17 .
↑แลงแลนด์, โรเบิร์ต (2018) "Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1" (PDF ) สถาบันการศึกษาขั้นสูง .
^ Etingof, Pavel; Frenkel, Edward; Kazhdan, David (2021-04-12). "An analytic version of the Langlands correspondence for complex curves". ใน Novikov, Sergey; Krichever, Igor; Ogievetsky, Oleg; Shlosman, Senya (eds.). Integrability, Quantization, and Geometry: II. Quantum Theories and Algebraic Geometry . Providence, Rhode Island: American Mathematical Soc. หน้า 137–202 . arXiv : 1908.09677 . ISBN 978-1-4704-5592-7.

ลิงก์ภายนอก

คำคมที่เกี่ยวข้องกับจดหมายโต้ตอบของ Geometric Langlandsที่ Wikiquote
การติดต่อแบบ Langlands ทางเรขาคณิตควอนตัมที่nLab

[FOOTNOTEFrenkel20073-1] Frenkel 2007 , หน้า 3.

[FOOTNOTEFrenkel20073,24-2] Frenkel 2007 , หน้า 3,24.

[FOOTNOTEFrenkel200746-3] เฟรนเคล 2007 , หน้า 46.

[4] เลามง, เจราร์ด (1987) "การติดต่อทางจดหมายของ Langlands géométrique pour les corps de fonctions" วารสารคณิตศาสตร์ดยุค . 54 (2): 309– 359. ดอย : 10.1215/S0012-7094-87-05418-4 .

[FOOTNOTEFrenkel200731,46-5] Frenkel 2007 , หน้า 31,46.

[6] Drinfeld, Vladimir G. (1983). "การแสดงแทน ℓ–adic สองมิติของกลุ่มพื้นฐานของเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัดและรูปแบบอัตโนมัติบน GL(2)" American Journal of Mathematics . 105 (1): 85– 114. doi : 10.2307/2374382 . JSTOR 2374382 .

[:1-7] "การพิสูจน์สมมติฐานเชิงเรขาคณิตของ Langlands " people.mpim-bonn.mpg.de สืบค้นเมื่อ2024-07-09

[8] Klarreich, Erica (19 กรกฎาคม 2024). "การพิสูจน์ครั้งสำคัญยุติข้อสันนิษฐานทางเรขาคณิตของ Langlands" . นิตยสาร Quanta . สืบค้นเมื่อ20 กรกฎาคม 2024 .

[9] Wilkins, Alex (20 พฤษภาคม 2024). "การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งนั้นซับซ้อนมากจนแทบไม่มีใครสามารถอธิบายได้" . New Scientist . สืบค้นเมื่อ9 กรกฎาคม 2024 .

[10] คาปุสตินและวิทเทน 2007

[11] "นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่คุณไม่เคยได้ยินชื่อมาก่อน" . The Walrus . 2018-11-15 . สืบค้นเมื่อ2020-02-17 .

[12] แลงแลนด์, โรเบิร์ต (2018) "Об аналитическом виде геометрической теории автоморфных форм1" (PDF ) สถาบันการศึกษาขั้นสูง .

[dedicatedBorisDubrovin-13] Etingof, Pavel; Frenkel, Edward; Kazhdan, David (2021-04-12). "An analytic version of the Langlands correspondence for complex curves". ใน Novikov, Sergey; Krichever, Igor; Ogievetsky, Oleg; Shlosman, Senya (eds.). Integrability, Quantization, and Geometry: II. Quantum Theories and Algebraic Geometry . Providence, Rhode Island: American Mathematical Soc. หน้า 137–202 . arXiv : 1908.09677 . ISBN 978-1-4704-5592-7.

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[

[

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]