ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์เชิงเรขาคณิตเป็นการ ขยายทั่วไป แบบอนันต์ของตรรกศาสตร์เชิงสอดคล้องซึ่งเป็นข้อจำกัดของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งที่เสนอโดยสโกเลม และ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบท ตรรกศาสตร์เชิงเรขาคณิตสามารถแสดงทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ได้มากมาย และมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีโทโพส

ทฤษฎีตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งเป็นทฤษฎีเรขาคณิตก็ต่อเมื่อสามารถกำหนดเป็นระบบสัจพจน์ได้โดยใช้สัจพจน์ในรูปแบบ ที่ I และ J เป็นกลุ่มดัชนีสูตรที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งแต่ละกลุ่มอาจเป็นอนันต์ และสูตร φ เป็นอะตอมหรือนิเสธของอะตอม หากสัจพจน์ทั้งหมดมีจำนวนจำกัด (กล่าวคือ สำหรับแต่ละสัจพจน์ ทั้ง I และ J มีจำนวนจำกัด) ทฤษฎีนั้นจะเป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle \bigwedge _{i\in I}\phi _{i,1}\vee \dots \vee \phi _{i,n_{i}}\implies \bigvee _{j\in J}\phi _{j,1}\vee \dots \vee \phi _{j,m_{j}}}$

ทฤษฎีอันดับแรกทุกทฤษฎีมีส่วนขยายเชิงอนุรักษ์ที่สอดคล้องกัน

Dyckhoff & Negri (2015)ระบุผลที่ตามมาแปดประการของทฤษฎีบทข้างต้นที่อธิบายความสำคัญของทฤษฎีบท (โดยไม่รวมเชิงอรรถและเอกสารอ้างอิงส่วนใหญ่): ^{[ 1 ]}

1. ในบริบทของแคลคูลัสลำดับเช่น G3c การบ่งชี้ที่สอดคล้องกันเป็นพิเศษในฐานะสัจพจน์สามารถแปลงเป็นกฎการอนุมานได้โดยตรงโดยไม่ส่งผลกระทบต่อความสามารถในการยอมรับของกฎโครงสร้าง (การลดทอน การหดตัว และการตัด)
2. ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีที่สอดคล้องกันคือ “ทฤษฎีที่สามารถแสดงออกมาได้ด้วย กฎ การอนุมานตามธรรมชาติในรูปแบบที่เรียบง่าย ซึ่งมีเพียงสูตรอะตอมเท่านั้นที่มีบทบาทสำคัญ”
3. ข้อสรุปที่สอดคล้องกันก่อให้เกิดลำดับที่ให้คลาส Glivenko ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Barr อันดับแรก ระบุว่า ถ้าI i: 0≤i≤n แต่ละอันเป็นข้อสรุปที่สอดคล้องกัน และลำดับI 1, . . . , I n ⇒ I 0 สามารถพิสูจน์ได้แบบคลาสสิกแล้ว ก็สามารถพิสูจน์ได้แบบสัญชาตญาณเช่นกัน
4. มีตัวอย่างมากมายของทฤษฎีที่สอดคล้องกัน/เชิงเรขาคณิต ได้แก่ ทฤษฎีพีชคณิตทั้งหมด เช่น ทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีวงแหวน ทฤษฎีพีชคณิตพื้นฐานทั้งหมด เช่น ทฤษฎีหมวดหมู่ ทฤษฎีฟิลด์ ทฤษฎีวงแหวนเฉพาะที่ ทฤษฎีแลตทิซ เรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ทฤษฎีวงแหวนเฉพาะที่ปิดแยกได้ (หรือที่เรียกว่า "วงแหวนเฉพาะที่เฮนเซเลียนอย่างเคร่งครัด") และทฤษฎีอนันต์ของกลุ่มอาเบเลียนทอร์ชั่น
5. ทฤษฎีที่สอดคล้องกัน/เชิงเรขาคณิตได้รับการรักษาไว้โดยการดึงกลับตามการแปลงเชิงเรขาคณิตระหว่างโทโพอิ (MacLane & Moerdijk 1992, บทที่ X)
6. ขีดจำกัดร่วมที่กรองแล้วในชุดแบบจำลองของทฤษฎีที่สอดคล้องกัน T ก็เป็นแบบจำลองของ T เช่นกัน
7. ความหมายที่สอดคล้องกันเป็นพิเศษ ∀x. C ⊃ D เป็นการขยายความของประโยค Hornจากการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะโดยที่ D จำเป็นต้องเป็นอะตอม อันที่จริงแล้ว ประโยคเหล่านี้เป็นการขยายความของ "ประโยค" ของโปรแกรมเชิงตรรกะแบบแยกส่วน โดยที่ D สามารถเป็นการแยกส่วนของอะตอมได้
8. การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีประสิทธิภาพสำหรับทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน สามารถทำได้โดยอัตโนมัติด้วยความง่ายและความชัดเจนที่ค่อนข้างดี (เมื่อเทียบกับความละเอียด) ดังที่ Bezem และคณะได้กล่าวไว้ว่า ...การไม่มีการใช้ Skolemisation (การแนะนำสัญลักษณ์ฟังก์ชันใหม่) ไม่ได้เป็นอุปสรรคแต่อย่างใด และการไม่แปลงเป็นรูปแบบประโยคย่อยช่วยให้โครงสร้างของข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ทั่วไปยังคงอยู่ได้ดีขึ้น

• Dyckhoff, Roy; Negri, Sara (2015), "การทำให้ตรรกะลำดับที่หนึ่งเป็นเรขาคณิต" , Bulletin of Symbolic Logic , 21 (2): 123–163, doi : 10.1017/bsl.2015.7 , hdl : 10023/6818
• จอห์นสโตน, ปีเตอร์ (2002), ภาพร่างของช้าง: คู่มือทฤษฎีโทพอส , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, ISBN 978-0-19-852496-0, Zbl  1071.18002(หนังสือสองเล่มคือ Oxford Logic Guides เล่มที่ 43 และ 44 เล่มที่ 3 กำลังอยู่ในระหว่างการจัดทำ)
• MacLane, Saunders Mac ; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic , Springer: Berlin, doi : 10.1007/978-1-4612-0927-0 , ISBN 978-1-4612-0927-0{{citation}}: CS1 maint: ตำแหน่งผู้เผยแพร่ ( ลิงก์ )

• "ทำไมทฤษฎีทางเรขาคณิตจึงเรียกว่า "เรขาคณิต"?" Stack Exchange 15 พฤศจิกายน 2020