ในเรขาคณิตแบบยุคลิดทฤษฎีความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากหรือทฤษฎีค่าเฉลี่ยเรขาคณิตคือความสัมพันธ์ระหว่างความสูงบนด้าน ตรงข้าม มุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากกับ ส่วนของเส้น ตรงสองส่วนที่ความสูงนั้นสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยระบุว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้นเท่ากับความสูง

ถ้าhแทนความสูงในสามเหลี่ยมมุมฉาก และpและqแทนส่วนของเส้นตรงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ทฤษฎีบทสามารถกล่าวได้ดังนี้: ^{[ 1 ]} หรือในแง่ของพื้นที่: ข้อความกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน สามเหลี่ยมใดๆ ที่ความสูงเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของส่วนของเส้นตรงสองส่วนที่สร้างขึ้นโดยความสูงนั้น จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก $${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$$$${\displaystyle h^{2}=pq.}$$

ทฤษฎีบทนี้อาจถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทเส้นตัดกันของวงกลม เนื่องจากบทกลับของทฤษฎีบทของทาเลสทำให้มั่นใจได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ^{[ 1 ]}

การกำหนดสูตรในแง่ของพื้นที่ทำให้ได้วิธีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนกล่าวคือ การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนด สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวpและqเราจะกำหนดจุดยอด ด้านบนซ้าย เป็นD จากนั้นเราขยายส่วนของเส้นตรงqไปทางซ้ายด้วยp (โดยใช้ส่วนโค้งAEที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่D ) และวาดครึ่งวงกลมที่มีจุดปลายAและBโดยใช้ส่วนของเส้นตรงใหม่p + qเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จากนั้นเราสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่Dซึ่งตัดกับครึ่งวงกลมที่Cเนื่องจากทฤษฎีบทของทาเลสCและเส้นผ่านศูนย์กลางจึงก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีส่วนของเส้น ตรง DCเป็นความสูง ดังนั้นDC จึง เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า วิธีนี้ยังช่วยให้สามารถสร้างรากที่สองได้ (ดูจำนวนที่สร้างได้ ) เนื่องจากเริ่มต้นด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 1 สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นจะมีด้านยาวเท่ากับรากที่สองของความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 1 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้อีกประการหนึ่งให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตของความไม่เท่าเทียมกันของ AM–GMในกรณีของตัวเลขสองตัว เนื่องจากรัศมี ของครึ่งวงกลม คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของpและqรัศมีนี้สามารถลากขนานกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตที่สร้างขึ้นข้างต้น ซึ่งแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรัศมีเสมอ และทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน^{[ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทนี้ถูกยกให้เป็นผลงานของยูคลิด (ประมาณ 360–280 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งกล่าวไว้เป็นบทสรุปของข้อเสนอที่ 8 ในหนังสือเล่มที่ 6 ของElements ของเขา ในข้อเสนอที่ 14 ของหนังสือเล่มที่ 2 ยูคลิดได้ให้วิธีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วตรงกับวิธีการที่นำเสนอไว้ที่นี่ อย่างไรก็ตาม ยูคลิดได้ให้การพิสูจน์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยและซับซ้อนกว่าสำหรับความถูกต้องของการสร้าง แทนที่จะอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต^{[ 1 ] [ 3 ]}

รูปสามเหลี่ยม△ ADCและ △ BCDคล้ายกันเนื่องจาก:

• พิจารณาสามเหลี่ยม△ ABCและ △ ACD ; ดังนั้นโดยหลักการ AAเราจึงได้ว่า$${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}$$$${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}$$
• นอกจากนี้ ลองพิจารณาสามเหลี่ยม△ ABCและ △ BCD ; ดังนั้นโดยหลักการ AA เราจึงได้ว่า$${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}$$$${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

ดังนั้น สามเหลี่ยม△ ACDและ △ BCDจึงคล้ายกับ สามเหลี่ยม △ ABCและตัวมันเอง กล่าวคือ$${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

เนื่องจากความคล้ายคลึงกัน เราจึงได้อัตราส่วนที่เท่ากันดังต่อไปนี้ และการจัดเรียงพีชคณิตใหม่ทำให้ได้ทฤษฎีบท: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\iff \,h^{2}=pq\,\iff \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$$

สำหรับการพิสูจน์แบบผกผัน เรามีสามเหลี่ยม△ ABCซึ่งh² = pqเป็นจริง และจำเป็นต้องแสดงว่ามุมที่จุด^Cเป็นมุมฉาก เนื่องจากh² = pqเราจึงมี นอกจาก นี้ สามเหลี่ยม△ ADCและ △ BDC ยังมีมุมที่มีขนาดเท่า กัน และมีด้าน ^{ประกอบ}มุมฉากที่สอดคล้องกันเป็นคู่ๆ โดยมีอัตราส่วนเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมทั้งสองคล้ายกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.}$${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}}$$

ในการตั้งค่าของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต มีสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูปคือ△ ABC , △ ADCและ△ DBCซึ่งทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ผลลัพธ์ดังนี้: เมื่อบวกสมการสองสมการแรกเข้าด้วยกันแล้วใช้สมการที่สาม จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ซึ่งในที่สุดก็จะได้สูตรของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq,\end{aligned}}}$$

การแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากตามความสูงhจะได้สามเหลี่ยมคล้ายสองรูป ซึ่งสามารถขยายและจัดเรียงในสองวิธีที่แตกต่างกันเพื่อให้ได้สามเหลี่ยมมุมฉากขนาดใหญ่ขึ้น โดยมีด้านตั้งฉากยาวp + hและq + hการจัดเรียงแบบหนึ่งต้องใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่h² ในการทำให้สมบูรณ์ ส่วนอีกแบบ ^{หนึ่ง} ต้อง ใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่pqเนื่องจากทั้งสองการจัดเรียงให้ผลเป็นสามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนเส้นระดับความสูง สามารถแปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เท่ากัน โดยมีด้านยาวpและ ด้านยาว qได้ โดยใช้การแปลงแบบเฉือน 3 แบบ (การแปลงแบบเฉือนจะรักษาพื้นที่ไว้):

• ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตที่ Cut-the-Knot

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต