ในทางคณิตศาสตร์การแปลงทางเรขาคณิตคือการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง ของเซตกับตัวมันเอง (หรือกับเซตอื่น) ที่มี พื้นฐาน ทางเรขาคณิต ที่โดดเด่น เช่น การรักษาระยะทาง มุมหรืออัตราส่วน (มาตราส่วน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นเซตของจุดซึ่งส่วนใหญ่มัก เป็น ปริภูมิพิกัดจริงหรือโดยที่ฟังก์ชันนั้นเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งเพื่อให้มีฟังก์ชัน ผกผัน ^{[ 1 ]}การศึกษาเรขาคณิตอาจเข้าถึงได้โดยการศึกษาการแปลงเหล่านี้ เช่น ในเรขาคณิตการแปลง^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

การแปลงทางเรขาคณิตสามารถจำแนกได้ตามมิติของเซตตัวดำเนินการ (เช่น การแยกความแตกต่างระหว่างการแปลงระนาบและการแปลงเชิงพื้นที่) นอกจากนี้ยังสามารถจำแนกได้ตามคุณสมบัติที่การแปลงเหล่านั้นรักษาไว้ด้วย:

• การเคลื่อนย้ายจะรักษาระยะทางและมุมที่กำหนดทิศทางไว้ (เช่นการแปล ) ^{[ 3 ]}
• ไอโซเมทรีจะรักษาค่ามุมและระยะทาง (เช่นการแปลงแบบยุคลิด ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• ความคล้ายคลึงกันจะรักษามุมและอัตราส่วนระหว่างระยะทาง (เช่น การปรับขนาด) ^{[ 6 ]}
• การแปลงเชิงเส้นจะรักษาความขนาน (เช่นการปรับขนาดการเฉือน ) ^{[ 5 ] [ 7 ]}
• การแปลงเชิงโปรเจกทีฟรักษาความเป็นเส้นตรง ; ^{[ 8 ]}

แต่ละคลาสเหล่านี้ประกอบด้วยคลาสก่อนหน้า^{[ 8 ]}

• การแปลงโมเบียสโดยใช้พิกัดเชิงซ้อนบนระนาบ (รวมถึงการผกผันวงกลม ) จะรักษาเซตของเส้นตรงและวงกลมทั้งหมดไว้ แต่สามารถสลับตำแหน่งของเส้นตรงและวงกลมได้

• 
  ภาพต้นฉบับ (อ้างอิงจากแผนที่ประเทศฝรั่งเศส)
• 
  ไอโซเมตรี
• 
  ความคล้ายคลึงกัน
• 
  การแปลงเชิงเส้น
• 
  การแปลงเชิงฉาย
• 
  การผกผัน

• การแปลงแบบคอนฟอร์มอลจะรักษาค่ามุม และในลำดับแรกคือความคล้ายคลึงกัน
• การแปลงแบบ Equiarealจะรักษาพื้นที่ในกรณีระนาบหรือปริมาตรในกรณีสามมิติ^{[ 9 ]}และในลำดับแรกจะเป็นการแปลงแบบแอฟฟินที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1
• การแปลง แบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (การแปลงแบบไบคอนทินิวอัส) จะรักษาความสัมพันธ์ระหว่างบริเวณใกล้เคียงของจุดต่างๆ ไว้
• ดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม (การแปลงที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองทาง) คือการแปลงที่เป็นเชิงเส้นตรงในอันดับแรก โดยจะครอบคลุมการแปลงก่อนหน้าเป็นกรณีพิเศษ และสามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นได้อีก

• 
  การแปลงคอนฟอร์มอล
• 
  การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน
• 
  โฮมีโอมอร์ฟิซึม
• 
  ดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม

การแปลงประเภทเดียวกันจะก่อตัวเป็นกลุ่มซึ่งอาจเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มการแปลงอื่นๆ ได้

การแปลงทางเรขาคณิตหลายอย่างสามารถแสดงได้ด้วยพีชคณิตเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเป็นสมาชิกของกลุ่ม เชิงเส้นทั่วไปการแปลงเชิงเส้นAเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน สำหรับเวกเตอร์แถวvผลคูณเมทริกซ์vAจะให้เวกเตอร์แถวอีกตัวหนึ่งw = vA

เวกเตอร์แถวv ที่เป็น ทรานสโพสคือเวกเตอร์คอลัมน์v ^Tและทรานสโพสของสมการข้างต้นคือโดยที่A ^Tให้การกระทำทางซ้ายบนเวกเตอร์คอลัมน์ ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

ในเรขาคณิตการแปลง มีการประกอบกันของ ABโดยเริ่มจากเวกเตอร์แถวvการกระทำด้านขวาของการแปลงที่ประกอบกันคือw = vABหลังจากสลับตำแหน่งแล้ว

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

ดังนั้นสำหรับAB การกระทำของกลุ่มซ้ายที่เกี่ยวข้องคือในการศึกษากลุ่มตรงข้ามความแตกต่างระหว่างการกระทำของกลุ่มตรงข้ามเกิดขึ้นเนื่องจากกลุ่มสลับที่เป็นกลุ่มเดียวที่การกระทำตรงข้ามเหล่านี้เท่ากัน ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

การแปลงทางเรขาคณิตสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท: การแปลง แบบแอคทีฟหรือการแปลงแบบอ้างสิทธิ์ ซึ่งเปลี่ยนตำแหน่งทางกายภาพของชุดจุดเทียบกับกรอบอ้างอิงหรือระบบพิกัด คงที่ ( อ้างสิทธิ์หมายถึง "อยู่ที่อื่นในเวลาเดียวกัน") และการแปลงแบบพาสซีฟหรือการแปลงแบบอ้างสิทธิ์ ซึ่งทำให้จุดคงที่ แต่เปลี่ยนกรอบอ้างอิงหรือระบบพิกัดที่ใช้อธิบายจุดเหล่านั้น ( อ้างสิทธิ์หมายถึง "ใช้ชื่ออื่น") ^{[ 10 ] [ 11 ]}

ตัวอย่างเช่น การแปลงแบบแอคทีฟมีประโยชน์ในการอธิบายตำแหน่งต่อเนื่องของวัตถุแข็งในทางกลับกัน การแปลงแบบพาสซีฟอาจมีประโยชน์ในการวิเคราะห์การเคลื่อนไหวของมนุษย์เพื่อสังเกตการเคลื่อนไหวของกระดูกหน้าแข้งเทียบกับกระดูกต้นขานั่นคือ การเคลื่อนไหวเทียบกับระบบพิกัด ( ท้องถิ่น ) ซึ่งเคลื่อนที่ไปพร้อมกับกระดูกต้นขา แทนที่จะเป็นระบบพิกัด ( ทั่วโลก ) ซึ่งยึดอยู่กับพื้น^{[ 11 ]}

ในปริภูมิยูคลิดสามมิติการแปลงแบบแข็งเกร็งที่เหมาะสมใดๆไม่ว่าจะเป็นแบบแอคทีฟหรือแบบพาสซีฟ สามารถแสดงได้ด้วยการกระจัดแบบเกลียวซึ่งเป็นการประกอบกันของการเลื่อนไปตามแกนและการหมุนรอบแกนนั้น

คำว่าการแปลงแบบแอคทีฟและการแปลงแบบพาสซีฟได้รับการแนะนำครั้งแรกในปี พ.ศ. 2490 โดยValentine Bargmannเพื่ออธิบายการแปลงลอเรนซ์ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 12 ]}

• การแปลงพิกัด
• โครงการเออร์ลังเงน
• ความสมมาตร (เรขาคณิต)
• การเคลื่อนไหว
• การสะท้อนความคิด
• การแปลงแบบแข็ง
• การหมุน
• โทโพโลยี
• เมทริกซ์การแปลง

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ การ แปลงรูปทรงเรขาคณิต

• Adler, Irving (2012) [1966], มุมมองใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิต , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967) . เรขาคณิตผ่านการแปลง (3 เล่ม): เรขาคณิตของการบิดเบี้ยวเรขาคณิตของการสอดคล้องและกลุ่มและพิกัดนิวยอร์ก: Herder and Herder.
• เดวิด แกนส์ – การแปลงรูปและเรขาคณิต
• ฮิลเบิร์ต, เดวิด ; โคห์น-วอสเซน, สเตฟาน (1952). เรขาคณิตและจินตนาการ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2). เชลซี. ISBN 0-8284-1087-9.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• จอห์น แมคเคลียรี (2013) เรขาคณิต จากมุมมองเชิงอนุพันธ์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-11607-7
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965) . การแปลงทางเรขาคณิต (2 เล่ม): การแปลงแบบยุคลิดและแบบแอฟฟินและการแปลงแบบโปรเจคทีฟ . นิวยอร์ก: Academic Press.
• AN Pressley – เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009) . การแปลงทางเรขาคณิต (4 เล่ม) Random House (เล่ม I, II และ III), MAA (เล่ม I, II, III และ IV)