ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด^{[ a ]}ของฟังก์ชันคือค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดที่ฟังก์ชันนั้นรับได้ โดยทั่วไปเรียกว่า^ค่าสุดขีด [ ^{b ]}ซึ่งอาจกำหนดได้ภายในช่วง ที่กำหนด (ค่า สุดขีด เฉพาะที่หรือ ค่าสุดขีด สัมพัทธ์ ) หรือบน โดเมนทั้งหมด(ค่า สุดขีด ทั่วโลกหรือ ค่าสุดขีด สัมบูรณ์ ) ของฟังก์ชัน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกที่เสนอเทคนิคทั่วไปที่เรียกว่าadequalityสำหรับการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตามนิยามในทฤษฎีเซตค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเซตคือสมาชิกที่มากที่สุดและน้อยที่สุดในเซตนั้น ตามลำดับ ส่วนเซตอนันต์ ที่ไม่มีขอบเขต เช่น เซตของจำนวนจริง นั้นไม่มีค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด

ในทางสถิติแนวคิดที่เกี่ยวข้องคือค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของตัวอย่าง

ฟังก์ชัน ค่าจริงfที่กำหนดบนโดเมนXมีจุดสูงสุดทั่วโลก (หรือ จุด สูงสุดสัมบูรณ์ )ที่x ^∗ถ้าf ( x ^∗ ) ≥ f ( x )สำหรับทุกxในX ในทำนอง เดียวกัน ฟังก์ชันจะมีจุดต่ำสุดทั่วโลก (หรือ จุดต่ำ สุดสัมบูรณ์ )ที่x ^∗ถ้าf ( x ^∗ ) ≤ f ( x )สำหรับทุกxในXค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle \max(f(x))}$และค่าของฟังก์ชัน ณ จุดต่ำสุดเรียกว่า ค่าคงที่ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (แสดงด้วยสัญลักษณ์)${\displaystyle \min(f(x))}$(เพื่อความชัดเจน) สามารถเขียนในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้:

${\displaystyle x_{0}\in X}$เป็นจุดสูงสุดทั่วโลกของฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ถ้า${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

นิยามของจุดต่ำสุดทั่วโลกก็ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

ถ้าโดเมนXเป็นปริภูมิเมตริก ฟังก์ชัน f จะมี จุดสูงสุด เฉพาะที่ (หรือจุดสูงสุดสัมพัทธ์ )ณ จุดx ^∗ถ้ามีค่าε > 0 บางค่าที่ทำให้f ( x ^∗ ) ≥ f ( x )สำหรับทุกxในXที่อยู่ภายในระยะεจากx ^∗ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันนี้จะมีจุดต่ำสุดเฉพาะที่ที่x ^∗ถ้าf ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) สำหรับทุกxในXภายในระยะεจากx ^∗สามารถใช้นิยามที่คล้ายกันได้เมื่อXเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีเนื่องจากนิยามที่กล่าวมาข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ในแง่ของย่านใกล้เคียง ในทางคณิตศาสตร์ นิยามที่ให้มานั้นเขียนได้ดังนี้:

อนุญาต${\displaystyle (X,d_{X})}$เป็นปริภูมิเมตริกและฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$. แล้ว${\displaystyle x_{0}\in X}$เป็นจุดสูงสุดเฉพาะที่ของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ถ้า${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$โดยที่${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

การกำหนดจุดต่ำสุดเฉพาะที่ก็สามารถดำเนินการได้ในลักษณะเดียวกัน

ทั้งในระดับโลกและระดับท้องถิ่น แนวคิดเรื่องสามารถกำหนดค่า สุดขั้วที่เข้มงวดได้ ตัวอย่างเช่นx^∗คือค่าสุดจุดสูงสุดทั่วโลกที่เข้มงวดถ้าสำหรับทุกxในXที่ x ≠ x ^∗เรามี f ( x ^∗ ) > f ( x )และx^∗เป็นจุดสูงสุดเฉพาะที่แบบเข้มงวด (strict local maximum point) คือจุดที่มีค่า ε > 0อยู่จริงโดยที่สำหรับทุกxในXที่อยู่ภายในระยะεจากx^∗และ x ≠ x ^∗เราจะได้ ว่า f ( x ^∗ ) > f ( x )โปรดทราบว่า จุดจะเป็นจุดสูงสุดทั่วโลกแบบเข้มงวด (strict global maximum point) ก็ต่อเมื่อเป็นจุดสูงสุดทั่วโลกเพียงจุดเดียว และในทำนองเดียวกันสำหรับจุดต่ำสุด

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง ที่มีโดเมน กระชับจะมีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเสมอ ตัวอย่างที่สำคัญคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นช่วง ปิดและมีขอบเขต ของจำนวนจริง (ดูแผนภาพด้านบน)

เป้าหมายของการหาค่าสูงสุดและต่ำสุดทั่วโลกคือเป้าหมายของการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องบนช่วงปิด ตามทฤษฎีบทค่าสุดขีด ค่าสูงสุดและต่ำสุดทั่วโลกจะมีอยู่จริง ยิ่งไปกว่านั้น ค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ทั่วโลกจะต้องเป็นค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) เฉพาะที่ภายในโดเมน หรือต้องอยู่บนขอบของโดเมน ดังนั้น วิธีการค้นหาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ทั่วโลกคือการพิจารณาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) เฉพาะที่ทั้งหมดภายในโดเมน และพิจารณาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของจุดบนขอบ แล้วเลือกค่าที่มากที่สุด (หรือน้อยที่สุด)

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ระบุว่าค่าสุดขีดเฉพาะที่ภายในโดเมนจะต้องเกิดขึ้นที่จุดวิกฤต (หรือจุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์) ^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม จุดวิกฤตทั้งหมดไม่ได้เป็นค่าสุดขีดเสมอไป บ่อยครั้งที่เราสามารถแยกแยะได้ว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่ ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง โดยใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับแรกการทดสอบอนุพันธ์อันดับสองหรือการทดสอบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าหากฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอ^{[ 5 ]}

สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดแบบเป็นช่วงๆเราสามารถหาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ได้โดยการหาค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของแต่ละช่วงแยกกัน แล้วจึงดูว่าค่าใดมากที่สุด (หรือน้อยที่สุด)

การทำงาน	ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
x 2	จุดต่ำสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันอยู่ที่x = 0
x 3	ไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดทั่วโลก แม้ว่าอนุพันธ์อันดับแรก (3 x 2 ) จะเป็น 0 ที่x = 0 แต่จุดนี้เป็นจุดเปลี่ยนเว้า (อนุพันธ์อันดับสองเป็น 0 ที่จุดนั้น)
${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$	ค่าสูงสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันอยู่ที่x = e (ดูรูปด้านขวา) (ดูโจทย์แคลคูลัสของสไตเนอร์ ด้วย )
x − x	ค่าสูงสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันเหนือจำนวนจริงบวกที่x = 1/ e
x 3 /3 − x	อนุพันธ์อันดับแรกคือx² - 1 และอนุพันธ์อันดับสองคือ 2xเมื่อกำหนดให้อนุพันธ์อันดับแรกเท่ากับ 0 แล้วแก้หาค่าxจะได้จุดวิเคราะห์ที่ −1 และ +1 จากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง เราจะเห็นว่า −1 เป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่ และ +1 เป็นค่าต่ำสุดเฉพาะที่ ฟังก์ชันนี้ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยรวม
| x |	ค่าต่ำสุดทั่วโลกที่x = 0 ซึ่งไม่สามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ เนื่องจากอนุพันธ์ไม่มีอยู่จริงที่x = 0
cos( x )	ค่าสูงสุดโกลบอลอนันต์จำนวนมากที่ 0, ±2 π , ±4 π , ... และค่าต่ำสุดโกลบอลจำนวนมากอนันต์ที่ ± π , ±3 π , ±5 π , ....
2 cos( x ) − x	มีค่าสูงสุดและต่ำสุดเฉพาะที่มากมายนับไม่ถ้วน แต่ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยรวม
cos(3 π x )/ xโดยที่0.1 ≤ x ≤ 1.1	จุดสูงสุดทั่วโลกอยู่ที่x  = 0.1 (ขอบเขต) จุดต่ำสุดทั่วโลกอยู่ใกล้x  = 0.3 จุดสูงสุดเฉพาะที่อยู่ใกล้x  = 0.6 และจุดต่ำสุดเฉพาะที่อยู่ใกล้x  = 1.0 (ดูรูปที่ด้านบนของหน้า)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 กำหนดไว้บนช่วงปิด (ส่วน) [−4,2]	ค่าสูงสุดเฉพาะที่อยู่ที่x  = −1− √ 15 /3, ค่าต่ำสุดเฉพาะที่อยู่ที่x  = −1+ √ 15 /3, ค่าสูงสุดทั่วโลกอยู่ที่x  = 2 และค่าต่ำสุดทั่วโลกอยู่ที่x  = −4

สำหรับตัวอย่างเชิงปฏิบัติ^{[ 6 ]}สมมติสถานการณ์ที่ใครบางคนมี${\displaystyle 200}$มีรั้วยาวหลายฟุต และพยายามใช้พื้นที่ให้เกิดประโยชน์สูงสุดในพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยที่${\displaystyle x}$คือความยาว${\displaystyle y}$คือความกว้าง และ${\displaystyle xy}$คือพื้นที่:

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

อนุพันธ์เทียบกับ${\displaystyle x}$เป็น:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

กำหนดให้เท่ากับ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

เผยให้เห็นว่า${\displaystyle x=50}$เป็นจุดสำคัญ เพียงจุดเดียวของเรา ตอนนี้ให้ดึงค่าปลายทางโดยการกำหนดช่วงเวลาที่${\displaystyle x}$มีข้อจำกัด เนื่องจากความกว้างเป็นค่าบวก ดังนั้น${\displaystyle x>0}$และนับตั้งแต่นั้นมา${\displaystyle x=100-y}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle x<100}$เสียบ จุดวิกฤตเข้าไป${\displaystyle 50}$รวมถึงจุดสิ้นสุดด้วย${\displaystyle 0}$และ${\displaystyle 100}$,เข้าไปข้างใน${\displaystyle xy=x(100-x)}$และผลลัพธ์ก็คือ${\displaystyle 2500,0,}$และ${\displaystyle 0}$ตามลำดับ

ดังนั้น พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถทำได้ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ${\displaystyle 200}$รั้วยาวกี่ฟุต${\displaystyle 50\times 50=2500}$[ ^{6 ]​}

สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว เงื่อนไขที่คล้ายกันก็ใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ในรูป (ที่ขยายได้) ทางด้านขวา เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ ค่าสูงสุด เฉพาะที่นั้นคล้ายกับเงื่อนไขของฟังก์ชันที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวอนุพันธ์ย่อยอันดับ แรก เทียบกับz (ตัวแปรที่จะหาค่าสูงสุด) จะเป็นศูนย์ที่ค่าสูงสุด (จุดเรืองแสงด้านบนในรูป) อนุพันธ์ย่อยอันดับสองจะเป็นลบ เงื่อนไขเหล่านี้เป็นเพียงเงื่อนไขที่จำเป็น ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดเฉพาะที่ เนื่องจากอาจมีจุดอานม้าเกิดขึ้น ได้ ในการใช้เงื่อนไขเหล่านี้เพื่อหาค่าสูงสุด ฟังก์ชันzจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ตลอดทั้งช่วงการทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสองสามารถช่วยจำแนกจุดนั้นว่าเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ในทางตรงกันข้าม มีความแตกต่างอย่างมากระหว่างฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและฟังก์ชันที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวในการระบุค่าสุดขั้วโดยรวม ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันf ที่มีขอบเขตและหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งกำหนดบนช่วงปิดในเส้นจำนวนจริง มีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดเฉพาะที่แล้ว ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นค่าต่ำสุดทั่วโลกด้วย (ใช้ทฤษฎีบทค่ากลางและทฤษฎีบทของโรลล์เพื่อพิสูจน์โดยการขัดแย้ง ) อย่างไรก็ตาม ในสองมิติขึ้นไป ข้อโต้แย้งนี้ใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f(x)

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

จุดวิกฤตเพียงจุดเดียวอยู่ที่ (0,0) ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดเฉพาะที่โดยมีf (0,0)  =  0 อย่างไรก็ตาม มันไม่สามารถเป็นจุดต่ำสุดทั่วโลกได้ เพราะf (2,3)  =  −5

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าสุดขีดประกอบด้วยฟังก์ชันอื่นๆ (กล่าวคือ ถ้าต้องการหาค่าสุดขีดของฟังก์ชัน ) จะสามารถหาค่าสุดขีดได้โดยใช้แคลคูลัสของการแปรผัน

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสำหรับเซตได้ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเซตเรียงลำดับSมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด คือ mแล้วmจะเป็นสมาชิกสูงสุดของเซตนั้น ซึ่งอาจเขียนแทนด้วย m ก็ได้${\displaystyle \max(S)}$นอกจากนี้ ถ้าSเป็นเซตย่อยของเซตที่มีลำดับTและmเป็นสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของS (โดยสัมพันธ์กับลำดับที่กำหนดโดยT ) แล้วmจะเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของSในTผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับสมาชิกที่น้อยที่สุดสมาชิกที่น้อยที่สุดและขอบเขตล่างที่มากที่สุดฟังก์ชันค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสำหรับเซตถูกใช้ในฐานข้อมูลและสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ของเซตสามารถคำนวณได้จากค่าสูงสุดของพาร์ติชัน กล่าวคือ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันการรวมที่สามารถแยกส่วนได้ด้วย ตนเอง

ในกรณีของลำดับบางส่วน ทั่วไป สมาชิกที่เล็กที่สุด (กล่าวคือ สมาชิกที่น้อยกว่าสมาชิกอื่นๆ ทั้งหมด) ไม่ควรสับสนกับสมาชิกที่เล็กที่สุด (ไม่มีสมาชิกใดเล็กกว่า) ในทำนองเดียวกันสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของเซตที่มีลำดับบางส่วน (poset) คือขอบเขตบนของเซตซึ่งบรรจุอยู่ภายในเซตนั้น ในขณะที่สมาชิกสูงสุดmของ poset AคือสมาชิกของAที่ถ้าm ≤ b (สำหรับb ใดๆ ในA ) แล้วm = bสมาชิกที่เล็กที่สุดหรือสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของ poset นั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะ แต่ poset สามารถมีสมาชิกที่เล็กที่สุดหรือสมาชิกสูงสุดได้หลายตัว หาก poset มีสมาชิกสูงสุดมากกว่าหนึ่งตัว สมาชิกเหล่านั้นจะไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้

ใน เซต ที่มีลำดับสมบูรณ์หรือลำดับ ต่อเนื่อง นั้น สมาชิกทุกตัวสามารถเปรียบเทียบกันได้ ดังนั้นเซตดังกล่าวจะมีสมาชิกที่เล็กที่สุดได้มากที่สุดหนึ่งตัว และสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดได้มากที่สุดหนึ่งตัว เนื่องจากการเปรียบเทียบกันได้ สมาชิกที่เล็กที่สุดจึงจะเป็นสมาชิกที่น้อยที่สุด และสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดก็จะเป็นสมาชิกที่มากที่สุดเช่นกัน ดังนั้นในเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ เราจึงสามารถใช้คำว่าเล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดได้ โดยตรง

ถ้าสายโซ่จำกัด จะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเสมอ แต่ถ้าสายโซ่ไม่จำกัด อาจไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติไม่มีค่าสูงสุด แต่มีค่าต่ำสุด ถ้าสายโซ่ไม่จำกัดSมีขอบเขตส่วนปิดCl ( S ) ของเซตนั้น อาจมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าขอบเขตล่างที่มากที่สุดและขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตSตามลำดับ

• การทดสอบอนุพันธ์
• อินฟิมัมและซูพรีมัม
• จำกัดด้านบนและจำกัดด้านล่าง
• เอกลักษณ์ค่าสูงสุด-ค่าต่ำสุด
• สมดุลเชิงกล
• เม็กซ์ (คณิตศาสตร์)
• จุดอานม้า
• ตัวอย่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

• ผลงานของ Thomas Simpson เกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดที่จุดบรรจบกัน
• การประยุกต์ใช้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด พร้อมหน้าย่อยที่แสดงวิธีแก้ปัญหา
• จอลลิฟฟ์, อาเธอร์ เออร์เนสต์ (1911) "แม็กซิมาและมินิมา"  . สารานุกรมบริแทนนิกา . ฉบับที่ 17 (  ฉบับที่ 11). หน้า918–920 .