สัมประสิทธิ์การแพร่ตามขอบเกรนคือสัมประสิทธิ์การแพร่ของสารที่แพร่ไปตามขอบเกรนในของแข็งผลึกหลายเหลี่ยม^{[ 1 ]} เป็นค่าคงที่ทางฟิสิกส์ที่ ใช้สัญลักษณ์ และมีความสำคัญในการทำความเข้าใจว่าขอบเกรนส่งผลต่อการแพร่ของอะตอม อย่างไร การแพร่ตามขอบเกรนเป็นเส้นทางที่พบได้ทั่วไปสำหรับการเคลื่อนย้ายของสารละลายในวัสดุผลึกหลายเหลี่ยม มันมีอิทธิพลเหนืออัตราการแพร่ที่มีประสิทธิภาพที่อุณหภูมิต่ำในโลหะและโลหะผสมยกตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์ การแพร่ด้วยตนเอง ที่ปรากฏสำหรับเงินผลึกเดี่ยวและเงินผลึกหลายเหลี่ยม ที่อุณหภูมิสูง สัมประสิทธิ์ จะมีค่าเท่ากันในตัวอย่างทั้งสองประเภท อย่างไรก็ตาม ที่อุณหภูมิต่ำกว่า 700 °C ค่าของเงินผลึกหลายเหลี่ยมจะสูงกว่าค่าของเงินผลึกเดี่ยวอย่างสม่ำเสมอ^{[ 2 ]}${\displaystyle D_{b}}$${\displaystyle D_{b}}$${\displaystyle D_{b}}$${\displaystyle D_{b}}$

ฟิชเชอร์เสนอแนะวิธีการทั่วไปในการวัดค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของขอบเกรน^{[ 3 ]}ในแบบจำลองของฟิชเชอร์ ขอบเกรนจะถูกแทนด้วยชั้นบางๆ ของแผ่นที่มีการแพร่กระจายสูงสม่ำเสมอและเป็นไอโซโทรปิกฝังอยู่ในผลึกไอโซโทรปิกที่มีการแพร่กระจายต่ำ สมมติว่าความหนาของแผ่นคือความยาวคือและความลึกคือความยาวหนึ่งหน่วย กระบวนการแพร่สามารถอธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้ สมการแรกแสดงถึงการแพร่ในปริมาตร ในขณะที่สมการที่สองแสดงถึงการแพร่ตามขอบเกรน ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\left({\partial ^{2}c \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}c \over \partial y^{2}}\right)}$ที่ไหน${\displaystyle |x|>\delta /2}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{b}}{\partial t}}=D_{b}\left({\partial ^{2}c_{b} \over \partial y^{2}}\right)+{\frac {2D}{\delta }}\left({\frac {\partial c}{\partial x}}\right)_{x=\delta /2}}$

โดยที่คือความเข้มข้นเชิงปริมาตรของอะตอมที่แพร่กระจาย และคือความเข้มข้นของอะตอมเหล่านั้นที่ขอบเกรน ${\displaystyle c(x,y,t)}$${\displaystyle c_{b}(y,t)}$

เพื่อแก้สมการ Whipple ได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำ เขาตั้งสมมติฐานว่าองค์ประกอบพื้นผิวคงที่ และใช้การแปลงฟูริเยร์-ลาปลาสเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาในรูปแบบอินทิกรัล^{[ 4 ]}ดังนั้นโปรไฟล์การแพร่กระจายจึงสามารถแสดงได้ด้วยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle (dln{\bar {c}}/dy^{6/5})^{5/3}=0.66(D_{1}/t)^{1/2}(1/D_{b}\delta )}$

เพื่อตรวจสอบเพิ่มเติมจึงใช้สองวิธีทั่วไป วิธีแรกใช้สำหรับการกำหนดค่าที่แม่นยำวิธีที่สองมีประโยชน์สำหรับการเปรียบเทียบค่าสัมพัทธ์ของขอบเขตต่างๆ ${\displaystyle D_{b}}$${\displaystyle D_{b}\delta }$${\displaystyle D_{b}\delta }$

• วิธีที่ 1: สมมติว่าแผ่นตัวอย่างถูกตัดเป็นชิ้นบางๆ หลายชิ้นขนานกับพื้นผิวของตัวอย่าง เราวัดการกระจายตัวของสารละลายที่แพร่เข้าไปในชิ้นบางๆ เหล่านั้นจากนั้นเราใช้สูตรข้างต้นที่พัฒนาโดยวิปเปิลเพื่อหาค่า${\displaystyle c(y)}$${\displaystyle D_{b}\delta }$
• วิธีที่ 2: เปรียบเทียบความยาวของการแทรกซึมของความเข้มข้นที่กำหนด ณ ขอบเขตกับความยาวของการแทรกซึมของโครงตาข่ายจากพื้นผิวที่อยู่ห่างจากขอบเขต${\displaystyle \ \Delta y}$

• ปรากฏการณ์เคิร์กเคนดอลล์
• การเปลี่ยนแปลงสถานะในของแข็ง
• การแพร่ของมวล