ในทางคณิตศาสตร์แผนที่พลูเกอร์ (Plücker map)ฝัง กรา สส์มันเนียน (Grassmannian ) ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นปริภูมิย่อยk มิติของปริภูมิเวกเตอร์nมิติVไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ลงใน ปริภูมิ เชิงโปรเจกทีฟ (projective space ) ทำให้เกิดเป็นวาไร ตีพีชคณิต เชิงโปรเจกทีฟ (projective algebraic variety ) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น แผนที่พลูเกอร์ฝังลงในการทำให้เป็นโปรเจกทีฟของกำลังภายนอก ลำดับ ที่ n ของภาพที่ได้เป็นพีชคณิต ประกอบด้วยจุดตัดของควอดริกจำนวนหนึ่งที่กำหนดโดยความสัมพันธ์พลูเกอร์ (§ Plücker relations) (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

การฝังตัวของพลูเกอร์ (Plücker embedding) ได้รับการนิยามครั้งแรกโดย จูเลียส พลูเกอร์ (Julius Plücker)ใน กรณี นี้ เป็นวิธีหนึ่งในการอธิบายเส้นในปริภูมิสามมิติ (ซึ่งในฐานะเส้นเชิงโปรเจก ทีฟ ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงจะสอดคล้องกับปริภูมิย่อยสองมิติของปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติ) ภาพของการฝังตัวนั้นคือควอดริกของไคลน์ (Klein quadric)ในRP ⁵${\displaystyle k=2,n=4}$

เฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ ได้ขยายการฝังตัวของพลูเกอร์ไปสู่ค่าkและnใดๆ พิกัดเอกพันธุ์ของภาพของกราสส์มันน์ภายใต้การฝังตัวของพลูเกอร์ สัมพันธ์กับฐานในปริภูมิภายนอกที่สอดคล้องกับฐานธรรมชาติใน(โดยที่คือฟิลด์ ฐาน ) เรียกว่าพิกัดพลูเกอร์ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$${\displaystyle V=K^{n}}$${\displaystyle K}$

โดยกำหนดให้ เป็น ปริภูมิเวกเตอร์มิติ บนฟิลด์และ เป็น กราสส์มันเนียนของปริภูมิย่อยมิติ ของการฝังตัวแบบพลึกเกอร์คือแผนที่ιที่กำหนดโดย ${\displaystyle V=K^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\iota :\ &\mathrm {Gr} (k,V)&\longrightarrow &\mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\&{W}:=\operatorname {Span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&\longmapsto &[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{array}}}$

โดยที่เป็นฐานสำหรับองค์ประกอบ และเป็นชั้นสมมูล เชิงฉาย ขององค์ประกอบของกำลังภายนอกลำดับที่ของ ${\displaystyle (w_{1},\จุด ,w_{k})}$${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]}$${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

นี่คือการฝังตัวของกราสส์มันน์ลงในการทำให้เป็นเชิงโปรเจกทีฟภาพนี้สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ว่าเป็นจุดตัดของควอดริกจำนวนหนึ่ง ซึ่งก็คือควอดริกของพลึกเกอร์ (ดูด้านล่าง) ซึ่งแสดงโดยความสัมพันธ์กำลังสองเอกพันธุ์บนพิกัดของพลึกเกอร์ (ดูด้านล่าง) ที่ได้มาจากพีชคณิต เชิงเส้น${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

วงแหวนวงเล็บปรากฏเป็นวงแหวนของฟังก์ชันพหุนามบน^{[ 1 ]}${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

ภาพภายใต้การฝังแบบ Plücker สอดคล้องกับชุดความสัมพันธ์กำลังสองเอกพันธุ์อย่างง่าย ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าความสัมพันธ์ Plückerหรือความสัมพันธ์ Grassmann–Plückerซึ่งกำหนดจุดตัดของจำนวนควอดริกในสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า Grassmannian ฝังตัวเป็นวาไรตีย่อยเชิงพีชคณิตของและให้วิธีการสร้าง Grassmannian อีกวิธีหนึ่ง ในการกล่าวถึงความสัมพันธ์ Grassmann–Plücker ให้เป็นปริภูมิย่อยมิติ ที่สร้างขึ้นโดยฐานที่แสดงด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ให้เป็นเมท ริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็น ; เมทริกซ์ของเทียบกับฐานที่แตกต่างกันคือสำหรับเมทริก ซ์ผกผันใดๆ สำหรับ ลำดับจำนวนเต็ม ใดๆให้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยของบนแถว ; ดีเทอร์มิแน นต์นี้เรียกว่าไมเนอร์จากนั้นคือพิกัด Plückerขององค์ประกอบพิกัดเชิงเส้นของภาพเทียบกับฐานมาตรฐานของการเปลี่ยนฐานของเมทริกซ์จะเปลี่ยนพิกัด Plücker ด้วยปัจจัยที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งก็คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การเปลี่ยนฐาน ทำให้ได้จุดเดียวกันในเมทริกซ์ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$${\displaystyle [W]}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [W]A}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle [W]}$${\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})}$${\displaystyle \{\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \iota ({W})\in \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

สำหรับลำดับสองลำดับใดๆ:

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

สำหรับจำนวนเต็มบวก สมการเอกพันธุ์ต่อไปนี้ใช้ได้ และกำหนดภาพของ ภายใต้แผนที่ Plücker: ^{[ 2 ]}${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}\Delta _{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,}$

โดยที่ หมายถึง การละเว้นพจน์ นั้น นี่คือ ความสัมพันธ์ของพลุคเกอร์ (Plücker relations ) ${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}$${\displaystyle j_{l}}$

เมื่อdim( V ) = 4และk = 2เราจะได้Grassmannian ที่ง่ายที่สุดซึ่งไม่ใช่ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ และข้างต้นจะลดลงเหลือสมการเดียว โดยกำหนดพิกัดของด้วย ${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}$

${\displaystyle \Delta _{ij}=-\Delta _{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}$

ภาพภายใต้แผนที่ของ Plücker ถูกกำหนดโดยสมการเดียว ${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$

${\displaystyle \Delta _{12}\Delta _{34}-\Delta _{13}\Delta _{24}+\Delta _{14}\Delta _{23}=0.}$

โดยทั่วไป จำเป็นต้องใช้สมการอีกมากมายเพื่อกำหนดภาพของการฝัง Plücker ดังใน ( 1 ) แต่สมการเหล่านี้โดยทั่วไปไม่ได้เป็นอิสระทางพีชคณิตจำนวนความสัมพันธ์ที่เป็นอิสระทางพีชคณิตสูงสุด (บนเซตเปิด Zariski) กำหนดโดยความแตกต่างของมิติระหว่างและซึ่งคือ${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(nk)-1.}$

• มิลเลอร์, เอซรา; สตอร์มเฟลส์, แบร์นด์ (2005) พีชคณิตสลับเชิงเชิงผสมตำราบัณฑิตสาขาคณิตศาสตร์ . ฉบับที่ 227. นิวยอร์ก รัฐนิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลก . ไอเอสบีเอ็น 0-387-23707-0. Zbl  1090.13001 .