รถไฟแรงโน้มถ่วงเป็นวิธีการขนส่ง เชิงทฤษฎี สำหรับการเดินทางระหว่างสองจุดบนพื้นผิวของทรงกลม โดยวิ่งผ่าน อุโมงค์ตรงที่เชื่อมต่อสองจุดนั้นภายในทรงกลม

ในวัตถุขนาดใหญ่เช่นดาวเคราะห์รถไฟนี้สามารถเร่งความเร็วได้โดยใช้เพียงแรงโน้มถ่วง เท่านั้น เนื่องจากในช่วงครึ่งแรกของการเดินทาง (จากจุดเริ่มต้นจนถึงกลางทาง) แรงดึงลงสู่ศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงจะดึงรถไฟไปยังจุดหมายปลายทาง ในช่วงครึ่งหลังของการเดินทาง ความเร่งจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับวิถีโคจร แต่หากไม่คำนึงถึงผลกระทบของแรงเสียดทานโมเมนตัมที่ได้รับในช่วงครึ่งแรกของวิถีโคจรจะเท่ากับการลดความเร็วนี้ และเป็นผลให้ความเร็วของรถไฟจะลดลงเหลือศูนย์โดยประมาณในขณะที่รถไฟถึงจุดหมายปลายทาง^{[ 1 ]}

ในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษโรเบิร์ต ฮุกได้นำเสนอแนวคิดเรื่องวัตถุที่เร่งความเร็วอยู่ภายในดาวเคราะห์ในจดหมายถึงไอแซค นิวตันโครงการรถไฟแรงโน้มถ่วงได้รับการนำเสนออย่างจริงจังต่อสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 19 แนวคิดเดียวกันนี้ได้รับการเสนอโดยลูอิส แคร์รอลในปี 1893 โดยไม่มีการคำนวณ ในหนังสือSylvie and Bruno Concludedแนวคิดนี้ได้รับการค้นพบอีกครั้งในช่วงทศวรรษที่ 1960 เมื่อนักฟิสิกส์ พอล คูเปอร์ ตีพิมพ์บทความในวารสารฟิสิกส์อเมริกันโดยเสนอแนะว่าควรพิจารณารถไฟแรงโน้มถ่วงสำหรับโครงการขนส่งในอนาคต^{[ 2 ]}

ภายใต้สมมติฐานของดาวเคราะห์ทรงกลมที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ และไม่คำนึงถึงผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพรวมถึงแรงเสียดทาน ขบวนแรงโน้มถ่วงจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

• ระยะเวลาในการเดินทางขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของดาวเคราะห์และค่าคงที่แรงโน้มถ่วง เท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของดาวเคราะห์
• ความเร็วสูงสุดจะเกิดขึ้นที่จุดกึ่งกลางของเส้นทางการเคลื่อนที่

สำหรับรถไฟที่วิ่งตามแรงโน้มถ่วงระหว่างจุดที่ไม่ใช่จุดตรงข้ามกัน จะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้:

• เส้นทางเวลาที่สั้นที่สุดที่ผ่านโลกที่เป็นเนื้อเดียวกันคือไฮโปไซคลอยด์ ในกรณีพิเศษของจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกัน ไฮโปไซคลอยด์จะลดรูปเป็นเส้นตรง
• รถไฟที่เคลื่อนที่ด้วยแรงโน้มถ่วงเป็นเส้นตรงบนดาวเคราะห์ดวงเดียวกัน จะใช้เวลาเท่ากันในการเดินทางจนครบระยะทาง (กล่าวคือ ไม่ว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นทางจะอยู่ที่ใดบนพื้นผิวก็ตาม)

โดยเฉพาะ บนโลกเนื่องจากการเคลื่อนที่ของขบวนแรงโน้มถ่วงเป็นการฉายภาพ การเคลื่อนที่ของดาวเทียม วงโคจรต่ำมากลงบนเส้นตรง จึงมีพารามิเตอร์ดังต่อไปนี้:

• เวลาในการเดินทางเท่ากับ 2530.30 วินาที (เกือบ 42.2 นาที ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของคาบการโคจรของดาวเทียมในวงโคจรต่ำของโลก) โดยสมมติว่าโลกเป็นทรงกลมที่สมบูรณ์แบบและมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ
• เมื่อพิจารณาถึงการกระจายความหนาแน่นที่สมจริงภายในโลก ตามที่ทราบจากแบบจำลองโลกอ้างอิงเบื้องต้นเวลาที่คาดว่าจะตกลงมาจะลดลงจาก 42 นาทีเหลือ 38 นาที^{[ 4 ]}

เพื่อให้เห็นภาพตัวเลขชัดเจนขึ้น หลุมเจาะที่ลึกที่สุดในปัจจุบันคือหลุมเจาะโคลา ซูเปอร์ดีปซึ่งมีความลึกจริง 12,262 เมตร การจะเจาะหลุมให้ครอบคลุมระยะทางระหว่างลอนดอนและปารีส (350 กิโลเมตร) โดยใช้ เส้นทาง แบบไฮโปไซคลอยด์จะต้องสร้างหลุมที่มีความลึกถึง 111,408 เมตร ซึ่งไม่เพียงแต่จะลึกกว่าถึงเก้าเท่าเท่านั้น แต่ยังต้องสร้างอุโมงค์ที่ทะลุผ่าน ชั้น เนื้อ โลก อีกด้วย

เส้นทางตรงระหว่างลอนดอนและปารีสจะต้องการความลึกสูงสุดเพียง 2.4 กิโลเมตร ซึ่งอยู่ในระดับความลึกที่เหมืองลึกสามารถเข้าถึงได้ อุโมงค์ดังกล่าวจะมีมุมเอียงเริ่มต้นที่ 1.57 องศา

โดยใช้การประมาณว่าโลก เป็น ทรงกลมสมบูรณ์และมีความหนาแน่น สม่ำเสมอ และข้อเท็จจริงที่ว่าภายในทรงกลมกลวงที่มีความสม่ำเสมอนั้นไม่มีแรงโน้มถ่วง ความเร่งโน้มถ่วงที่วัตถุได้รับภายในโลกจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วนของระยะห่างจากศูนย์กลางต่อรัศมีของโลกทั้งนี้เพราะว่าใต้ดินที่ระยะห่างจากศูนย์กลางนั้นเปรียบเสมือนอยู่บนพื้นผิวของดาวเคราะห์ที่มีรัศมี r ภายในทรงกลมกลวงที่ไม่ก่อให้เกิดผลใดๆ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r}$

บนพื้นผิวดังนั้นความเร่งโน้มถ่วงคือดังนั้นความเร่งโน้มถ่วงที่คือ ${\displaystyle r=R}$${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {r}{R}}\,g}$

ในกรณีที่เส้นตรงผ่านศูนย์กลางของโลก ความเร่งของวัตถุจะเท่ากับความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง กล่าวคือ วัตถุจะตกลงมาอย่างอิสระในแนวดิ่ง เราเริ่มตกลงมาจากพื้นผิวโลก ดังนั้น ณ เวลา(โดยถือว่าความเร่งและความเร็วเป็นบวกในทิศทางลง): ${\displaystyle t}$

${\displaystyle r_{t}=R-\int _{0}^{t}v_{t}\,dt=R-\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}a_{t}\,dt\,dt}$

การหาผลต่างสองครั้ง:

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-a_{t}=-{\frac {r}{R}}\,g=-\omega ^{2}\,r}$

โดยที่ . ปัญหา ประเภทนี้ ซึ่งมีแรงดึงกลับที่แปรผันตรงกับการกระจัดที่ห่างจากศูนย์ มีคำตอบทั่วไปในรูปแบบและอธิบายถึงการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเช่น ในสปริงหรือลูกตุ้ม${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$${\displaystyle r=k\cos(\omega t+\varphi )}$

ในกรณีนี้เราเริ่มต้นที่พื้นผิว ณ เวลาศูนย์ และแกว่งไปมาอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ${\displaystyle r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$${\displaystyle r_{0}=R}$

เวลาเดินทางไปยังจุดตรงข้ามคือครึ่งหนึ่งของหนึ่งรอบการสั่นของออสซิลเลเตอร์นี้ นั่นคือเวลาที่อาร์กิวเมนต์ กวาดไปเรเดียน การใช้การประมาณค่าอย่างง่ายของเวลานั้นคือ ${\displaystyle \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$${\displaystyle {\pi }}$${\displaystyle g=10{\text{ m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{ km}}}$

${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {\frac {g}{R}}}}\approx {\frac {3.1415926}{\sqrt {\frac {10}{6500000}}}}\approx 2532{\text{ s}}}$

สำหรับกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ตามเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนพื้นผิวของทรงกลม เราจะคำนวณความเร่งของวัตถุขณะที่มันเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรง โดยไม่มีแรงเสียดทาน

วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทาง AOB โดยที่ O เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทาง และเป็นจุดที่ใกล้ที่สุดกับศูนย์กลางของโลกบนเส้นทางนี้ ที่ระยะทางตามเส้นทางนี้ แรงโน้มถ่วง(ที่พุ่งจากจุด X ไปยังศูนย์กลางของโลก ตามแนวเส้นทาง) จะขึ้นอยู่กับระยะทางไปยังศูนย์กลางของโลกแบบเชิงเส้นดังที่กล่าวมาข้างต้น (แสดงในรูปของและใช้สัญลักษณ์ย่อสำหรับความยาว OC, ) เราจะได้ว่า: ${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{r}}$${\displaystyle XC}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle b=R\sin \theta }$${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle g_{r}={\frac {x}{R}}\,g}$

ความเร่งที่เกิดขึ้นกับวัตถุ เนื่องจากวัตถุอยู่บน พื้นผิวเอียง ที่ไม่มีแรงเสียดทาน คือ: ${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$

${\displaystyle a_{r}=g_{r}\cos \varphi }$

แต่ถ้าแทนทั้งสองอย่าง: ${\displaystyle \cos \varphi =r/x}$

${\displaystyle a_{r}=({\frac {x}{R}}\,g)\,{\frac {r}{x}}={\frac {r}{R}}\,g}$

ซึ่งเหมือนกันทุกประการสำหรับระยะทางใหม่นี้ตามแนว AOB ที่ห่างจาก O เช่นเดียวกับใน กรณี เส้นผ่านศูนย์กลางตามแนว ACD ดังนั้นการวิเคราะห์ที่เหลือจึงเหมือนกัน โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นที่ว่าค่าสูงสุดคือสมการการเคลื่อนที่ที่สมบูรณ์ ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R\cos \theta =AO}$

${\displaystyle r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$

ค่าคงที่เวลาเท่ากับกรณีตรงข้าม ดังนั้นเวลาในการเดินทางจึงยังคงเป็น 42 นาที เพียงแต่ระยะทางและความเร็วทั้งหมดถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่นั้น ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$${\displaystyle \cos \theta }$

ค่าคงที่เวลาขึ้นอยู่กับเท่านั้นดังนั้นถ้าเราขยายออกไป เราจะได้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\frac {g}{R}}}$

${\displaystyle {\frac {g}{R}}={\frac {GM/R^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,V}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}}{R^{3}}}=G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi }$

ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าคงที่แรงโน้มถ่วงและความหนาแน่นของดาวเคราะห์เท่านั้น ขนาดของดาวเคราะห์ไม่มีผลต่อเวลาในการเดินทาง หากความหนาแน่นเท่ากัน เวลาในการเดินทางก็จะเท่ากัน ${\displaystyle \rho }$

ในภาพยนตร์เรื่องTotal Recall ปี 2012 รถไฟแรงโน้มถ่วงที่ชื่อว่า "The Fall" วิ่งผ่านใจกลางโลกเพื่อเดินทางระหว่างยุโรปตะวันตกและออสเตรเลีย^{[ 5 ] [ 6 ]}

• เส้นโค้งบราคิสโตโครน
• รถกระเช้าไฟฟ้า
• ไฮเปอร์ลูป
• ระบบกักเก็บพลังงานราง
• การปรับแต่งชูลเลอร์
• การตั้งถิ่นฐานในแถบดาวเคราะห์น้อย
• ลิฟต์อวกาศ

• ภาพจำลองการเคลื่อนที่นี้ รวมถึงอุโมงค์ที่ไม่ผ่านใจกลางโลก นอกจากนี้ยังแสดงภาพดาวเทียมที่มีคาบการโคจรเดียวกันด้วย
• แรงโน้มถ่วงเอ็กซ์เพรส
• เดินทางไปได้ทุกที่ภายใน 42 นาที