ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาพีชคณิตนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเรียงลำดับบนกลุ่มอาเบลทฤษฎีบทการฝังตัวของฮาห์นให้คำอธิบายที่เรียบง่ายของกลุ่มอาเบลเรียงลำดับเชิงเส้น ทั้งหมด ทฤษฎีบท นี้ตั้งชื่อตามฮันส์ ฮาห์น^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทกล่าวว่า กลุ่มอาเบเลียนG ที่เรียงลำดับเชิงเส้นทุกกลุ่ม สามารถฝังตัวเป็นกลุ่มย่อย ที่เรียงลำดับ ของกลุ่มบวกที่มีลำดับแบบพจนานุกรมได้โดยที่เป็นกลุ่มบวกของจำนวนจริง (ที่มีลำดับมาตรฐาน) Ωคือเซตของชั้นสมมูลอาร์คิมีเดียนของGและคือเซตของฟังก์ชัน ทั้งหมด จากΩไปยังซึ่งหายไปนอกเซตที่เรียงลำดับอย่างดี ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ให้ 0 แทนสมาชิกเอกลักษณ์ของGสำหรับสมาชิกg ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ในGจะมีสมาชิกgหรือ −g เพียง ตัวเดียวเท่านั้น ที่มากกว่า 0 ให้แทนสมาชิกนั้นด้วย | g | สมาชิก gและhที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวในGจะสมมูลกันแบบอาร์คิมีเดีย น ถ้ามีจำนวนธรรมชาติNและMที่ทำให้N | g | > | h | และM | h | > | g | โดยสัญชาตญาณแล้ว หมายความว่าทั้งgและhไม่ใช่ "อนันต์เล็ก" เมื่อเทียบกับอีกตัวหนึ่ง กลุ่มGเป็นกลุ่มอาร์คิมีเดียน ก็ต่อ เมื่อ สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ ทั้งหมดสมมูลกันแบบอาร์คิมีเดียน ในกรณีนี้Ωเป็นกลุ่มเอกฐานดังนั้น Ω จึงเป็นกลุ่มของจำนวนจริง จากนั้นทฤษฎีบทการฝังตัวของฮาห์นจะลดลงเหลือทฤษฎีบทของโฮลเดอร์ ซึ่งกล่าวว่ากลุ่มอาเบเลียนที่มีลำดับเชิงเส้นจะเป็นกลุ่ม อาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มบวกที่มีลำดับของจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$

Gravett (1956)ให้คำแถลงและพิสูจน์ทฤษฎีบท อย่างชัดเจน ^{[ 2 ]} เอกสารของClifford (1954) ^{[ 3 ]}และHausner & Wendel (1952) ^{[ 4 ]}ร่วมกันให้การพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง^{[ 3 ] [ 4 ]}ดูเพิ่มเติมที่Fuchs & Salce (2001 , หน้า 62)

• กลุ่มอาร์คิมีเดียน