ในทางเรขาคณิตการพลิกกลับแบบมินิแม็กซ์ (minimax eversion) เป็นการ พลิกกลับทรงกลมประเภทหนึ่งซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้แบบจำลองครึ่งทาง (half-way models )

นี่เป็น วิธี การแปรผันและประกอบด้วยโฮโมโทปีพิเศษ (ซึ่งเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดเมื่อพิจารณาจากพลังงานของวิลล์มอร์ ) ซึ่งแตกต่างจากการแปรผันของเธอร์สตันซึ่งเป็นแบบทั่วไป

วิธีการดั้งเดิมของแบบจำลองครึ่งทางนั้นไม่เหมาะสมที่สุด: โฮโมโทปีปกติผ่านแบบจำลองครึ่งทาง แต่เส้นทางจากทรงกลมไปยังแบบจำลองครึ่งทางนั้นสร้างขึ้นด้วยมือ และไม่ใช่การไล่ระดับความชันขึ้น/ลง

การพลิกกลับผ่านแบบจำลองครึ่งทางเรียกว่าการพลิกกลับแบบถุงยาสูบโดยฟรานซิสและโมริน^{[ 1 ]}

แบบจำลองครึ่งทางคือการจุ่มทรงกลมลงไปในพื้นผิว${\displaystyle S^{2}}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ซึ่งเรียกเช่นนั้นเพราะเป็นจุดกึ่งกลางของการพลิกกลับทรงกลม การพลิกกลับประเภทนี้มีสมมาตรเชิงเวลา: ครึ่งแรกของการโฮโมโทปีปกติจะเปลี่ยนจากทรงกลมกลมมาตรฐานไปเป็นแบบจำลองครึ่งทาง และครึ่งหลัง (ซึ่งจะเปลี่ยนจากแบบจำลองครึ่งทางไปเป็นทรงกลมกลับด้าน) คือกระบวนการเดียวกันในทางกลับกัน

ร็อบ คุสเนอร์เสนอการพลิกกลับที่เหมาะสมที่สุดโดยใช้พลังงานวิลล์มอร์ในพื้นที่ของการจุ่ม ทั้งหมด ของทรงกลม${\displaystyle S^{2}}$ใน${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ทรงกลมและทรงกลมกลับด้านเป็นจุดต่ำสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันสำหรับพลังงาน Willmore และการพลิกกลับแบบมินิแม็กซ์เป็นเส้นทางที่เชื่อมต่อสิ่งเหล่านี้โดยผ่านจุดอานม้า (เช่น การเดินทางระหว่างหุบเขาสองแห่งผ่านช่องเขา) ^{[ 2 ]}

แบบจำลองครึ่งทางของคุสเนอร์เป็นจุดอานม้าสำหรับพลังงานวิลล์มอร์ ซึ่งเกิดขึ้น (ตามทฤษฎีบทของไบรอันต์) จากพื้นผิวขั้นต่ำที่สมบูรณ์บางอย่างในปริภูมิ 3 มิติ การพลิกกลับมินิแม็กซ์ประกอบด้วยการเพิ่มขึ้นของความชันจากทรงกลมไปยังแบบจำลองครึ่งทาง จากนั้นลดระดับความชันลง (การลดระดับความชันสำหรับพลังงานวิลล์มอร์เรียกว่าการไหลของวิลล์มอร์ ) ในทางสมมาตรมากขึ้น เริ่มต้นที่แบบจำลองครึ่งทาง ผลักไปในทิศทางหนึ่งและติดตามการไหลของวิลล์มอร์ลงไปยังทรงกลม ผลักไปในทิศทางตรงกันข้ามและติดตามการไหลของวิลล์มอร์ลงไปยังทรงกลมที่กลับด้าน

มีแบบจำลองทางครึ่งทางอยู่สองตระกูล (ข้อสังเกตนี้มาจากฟรานซิสและโมริน):

• ลำดับคี่: การขยายความพื้นผิวของบอย : สมมาตรแบบ 3 เท่า, 5 เท่า ฯลฯ; แบบจำลองครึ่งทางคือระนาบเชิงฉาย ที่ปกคลุมด้วยสองชั้น (โดยทั่วไปคือทรงกลมที่ฝังตัวแบบ 2-1)
• ลำดับคู่: การขยายความพื้นผิวโมริน : สมมาตร 2 เท่า, 4 เท่า ฯลฯ; แบบจำลองครึ่งทางเป็นทรงกลมที่ฝังตัวแบบ 1 ต่อ 1 ทั่วไป และการบิดด้วยสมมาตรครึ่งหนึ่งจะสลับแผ่นของทรงกลม

การพลิกกลับทรงกลมแบบชัดเจนครั้งแรกเกิดขึ้นโดย Shapiro และ Phillips ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 โดยใช้พื้นผิวของ Boyเป็นแบบจำลองกึ่งกลาง ต่อมา Morin ค้นพบพื้นผิว Morinและใช้มันในการสร้างการพลิกกลับทรงกลมอื่นๆ Kusner คิดค้นการพลิกกลับแบบมินิแม็กซ์ในช่วงต้นทศวรรษ 1980: รายละเอียดทางประวัติศาสตร์