ในวิชาฟิสิกส์หลักการของแฮมิลตันคือหลักการของการกระทำที่คงที่ซึ่งคิดค้นโดยวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันหลักการนี้กล่าวว่าพลวัตของระบบทางกายภาพถูกกำหนดโดยปัญหาแปรผันสำหรับฟังก์ชันที่อิงตามฟังก์ชันเดียวคือลากรางจ์ซึ่งอาจบรรจุข้อมูลทางกายภาพทั้งหมดเกี่ยวกับระบบและแรงที่กระทำต่อระบบนั้น ปัญหาแปรผันนี้เทียบเท่ากับและช่วยให้สามารถหาอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่ของระบบทางกายภาพได้ แม้ว่าเดิมทีจะถูกกำหนดขึ้นสำหรับกลศาสตร์คลาสสิก แต่ หลักการของแฮมิลตันก็ยังใช้ได้กับสาขา คลาสสิก เช่น สนาม แม่เหล็กไฟฟ้าและสนามโน้มถ่วงและมีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัมทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีวิกฤต

ตันกล่าวว่า การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงq ( t )ของระบบที่อธิบายโดยพิกัดทั่วไปN q ( q1 , q2 ..., qN )ระหว่างสถานะสองสถานะที่กำหนดq1 = ( t1 )และq2 = q ( t2 ณ เวลาสองเวลาที่กำหนดt1 และ t2 คือจุดนิ่ง (จุดที่การเปลี่ยนแปลง เป็นศูนย์ ของฟังก์ชันการกระทำ ที่คือฟังก์ชันลากรางจ์สำหรับระบบ กล่าวอีก นัยหนึ่ง การรบกวน อันดับแรก ใดๆ ของการเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงจะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอันดับสอง (อย่างมากที่สุด) ใน ฟังก์ชัน การกระทำเป็นฟังก์ชัน กล่าวคือสิ่งที่รับฟังก์ชันเป็นอินพุตและส่งคืนค่าตัวเลขเดียว ซึ่งเป็นสเกลาร์ในแง่ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันหลักการของแฮมิลตันกล่าวว่า การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงของระบบทางกายภาพคือคำตอบของสมการเชิงฟังก์ชัน $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt}$$${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

กล่าวคือ ระบบจะเลือกเส้นทางในปริภูมิการกำหนดค่าซึ่งการกระทำนั้นคงที่ โดยมีเงื่อนไขขอบเขตคงที่ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นทาง

แม้ว่าหลักการของแฮมิลตันจะถือได้ว่าเป็นสมมติฐานที่ใช้แทนกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 2 ]}แต่ก็สามารถอนุมานได้จากกฎของนิวตันเช่นกัน^{[ 3 ] : 44} เริ่มต้นด้วยหลักการของดาล็องแบร์ ​​:

$${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

โดยที่คือดัชนีของมวลคือแรงที่กระทำ (ไม่รวมแรงยึดเหนี่ยว) คือความเร่งของมวล และคือการกระจัดเสมือนของมวลที่ ซึ่งสอดคล้องกับข้อจำกัด สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุกช่วงเวลาดังนั้นปริพันธ์จำกัดเทียบกับจะต้องเป็น 0 เช่นกัน: ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$${\displaystyle {\textbf {a}__{i}}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0.}$$

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ผลรวมและปริพันธ์ทั้งหมดสามารถกระจายได้:

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0}$$

เมื่อพิจารณาพจน์ที่สอง เราสามารถใช้กฎการคูณเพื่อหาความสัมพันธ์ได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})=m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}(\delta \mathbf {r} _{i})}$$

ความแปรผันและอนุพันธ์เทียบกับเวลาสามารถสลับที่กันได้ (หมายความว่า) ดังนั้นเราจึงสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อแยกพจน์ความเร่งออกมาได้: ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} =\delta {\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}={\frac {d}{dt}}(m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})-m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$$

เมื่อแทนค่านี้ลงในอินทิกรัล เราจะได้:

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\,dt=\sum _{i}\left[m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\,dt}$$

ในหลักการของแฮมิลตัน เรากำหนดรูปแบบการเปลี่ยนแปลงให้มีค่าเป็นศูนย์ที่จุดปลาย: ซึ่งทำให้พจน์แรกทางด้านขวาหายไปอย่างสมบูรณ์ และพจน์ที่เหลือก็คือ: ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t_{1})=\delta \mathbf {r} _{i}(t_{2})=0}$${\displaystyle \delta ({\dot {\mathbf {r} }}^{2})=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta \left(\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta T\,dt}$$

พลังงานจลน์รวมอยู่ที่ไหน เมื่อพิจารณาจากพจน์แรงที่กระทำ หากแรงเหล่านั้นเป็นแรงอนุรักษ์ ก็สามารถหาได้จากพลังงานศักย์ งานที่ทำโดยแรงเหล่านี้ในระหว่างการเคลื่อนที่เสมือนคือ: ${\displaystyle T}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots )}$

$${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=-\sum _{i}\nabla _{i}V\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=-\delta V}$$

เมื่อแทนค่าทุกอย่างกลับเข้าไปในอินทิกรัลจะได้:

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}(-\delta V-(-\delta T))\,dt=0}$$$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}(T-V)\,dt=0}$$

นี่คือลากรางเจียนนี่คือหลักการของแฮมิลตันสำหรับระบบมวลที่ไม่สัมพัทธภาพในกรณีที่ไม่มีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 4 ]}${\displaystyle L=T-V}$

การกำหนดให้วิถีการเคลื่อนที่จริงq ( t )เป็นจุดนิ่งของฟังก์ชันการกระทำนั้นเทียบเท่ากับชุดสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับq ( t ) ( สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ ) ซึ่งสามารถหาได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ให้q ( t ) แทนการเปลี่ยนแปลง ที่แท้จริงของระบบระหว่างสถานะสองสถานะที่กำหนด= ( t1 )และ q2 = q ( t2 ) เวลาสองเวลาที่กำหนดt1และt2และให้ε ( t ) เป็นการรบกวนเล็กน้อยที่เป็นศูนย์ ณจุดปลายของ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$

เมื่อพิจารณาการรบกวนε ( t ) ในอันดับแรก การเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันการกระทำจะเป็น ดังที่เราได้ขยายLagrangian Lไปถึงอันดับแรกในการรบกวนε ( t )แล้ว ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\end{aligned}}}$$

การนำวิธีการอินทิเกรตโดยส่วนมาใช้กับพจน์สุดท้ายจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

เงื่อนไขขอบเขตทำให้พจน์แรกหายไป ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

หลักการของแฮมิลตันกำหนดให้การเปลี่ยนแปลงอันดับแรกนี้เป็นศูนย์สำหรับการรบกวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดε ( t )กล่าวคือ เส้นทางที่แท้จริงเป็นจุดนิ่งของฟังก์ชันการกระทำ(ไม่ว่าจะเป็นจุดต่ำสุด จุดสูงสุด หรือจุดอานม้า) ข้อกำหนดนี้สามารถเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับปัญหาแปรผัน

ตัวอย่างง่ายๆ ช่วยให้เข้าใจการใช้หลักการของการกระทำผ่านสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ได้ดียิ่งขึ้น อนุภาคอิสระ (มวลmและความเร็วv ) ในปริภูมิยูคลิดเคลื่อนที่ในเส้นตรง การใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ สามารถแสดงในพิกัดเชิงขั้วได้ดังนี้ ในกรณีที่ไม่มีศักย์ ลากรางจ์จะมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ ในพิกัดตั้งฉาก ( x , y ) โดยที่จุดแสดงถึงการอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง (โดยปกติคือเวลาt ) ดังนั้น เมื่อใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0}$$

และเช่นเดียวกันสำหรับyด้วย ดังนั้นจึงสามารถใช้สูตรของออยเลอร์-ลากรางจ์เพื่อพิสูจน์กฎของนิวตันได้

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว( r , φ )พลังงานจลน์และดังนั้นลากรางเจียนจึงกลายเป็น $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$$

ส่วนประกอบ แนวรัศมีrและφของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ จะกลายเป็นดังนี้ ตามลำดับ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$$

โปรดจำไว้ว่า r นั้นขึ้นอยู่กับเวลาด้วย และจำเป็นต้องใช้กฎผลคูณในการคำนวณอนุพันธ์รวมเทียบกับเวลา ${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$

คำตอบของสมการทั้งสองนี้หาได้จาก ชุดค่าคงที่a , b , c , dที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น ดังนั้นคำตอบจึงเป็นเส้นตรงในพิกัดเชิงขั้ว โดยที่aคือความเร็วcคือระยะห่างที่ใกล้ที่สุดจากจุดกำเนิด และdคือมุมของการเคลื่อนที่ $${\displaystyle r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}}$$$${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d}$$

หลักการของแฮมิลตันเป็นหลักการแปรผันที่สำคัญในพลศาสตร์ของวัสดุยืดหยุ่นตรงกันข้ามกับระบบที่ประกอบด้วยวัตถุแข็ง วัตถุที่เปลี่ยนรูปได้มีจำนวนองศาอิสระอนันต์และครอบครองพื้นที่ต่อเนื่อง ดังนั้นสถานะของระบบจึงถูกอธิบายโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องของพื้นที่และเวลา หลักการของแฮมิลตันแบบขยายสำหรับวัตถุดังกล่าวมีดังนี้ โดย T คือพลังงานจลน์Uคือพลังงานยืดหยุ่นWeคืองานที่ทำโดยแรงภายนอกบนวัตถุ และt1 t2คือ เวลาเริ่มต้นและ สิ้นสุด หากระบบเป็นระบบอนุรักษ์ งานที่ทำโดยแรงภายนอกอาจได้มาจากศักย์สเกลาร์Vในกรณีนี้ นี่เรียกว่าหลักการของแฮมิลตันและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงพิกัด $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0}$$$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.}$$

หลักการของแฮมิลตันและหลักการของโมแปร์ตุยส์มักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นสิ่งเดียวกัน และทั้งสองหลักการต่างก็ถูกเรียกว่าหลักการกระทำน้อยที่สุด แต่ ทั้งสอง หลักการแตกต่างกันในสามประเด็นสำคัญ:

• คำจำกัดความของการกระทำ นั้น ...
  หลักการของ Maupertuis ใช้ปริพันธ์เหนือพิกัดทั่วไปที่เรียกว่าแอคชั่นแบบย่อหรือแอคชั่นแบบลดรูป โดยที่p = ( p , p , ..., p ) คือโมเมนตัมคู่ควบที่กำหนดไว้ข้างต้น ในทางตรงกันข้าม หลักการของ Hamilton ใช้ปริพันธ์ของLagrangianเหนือเวลา$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• วิธีแก้ปัญหาที่พวกเขากำหนด...
  หลักการของแฮมิลตันกำหนดวิถีการเคลื่อนที่q ( t ) เป็นฟังก์ชันของเวลา ในขณะที่หลักการของโมแปร์ตุยส์กำหนดเพียงรูปร่างของวิถีการเคลื่อนที่ในพิกัดทั่วไปเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หลักการของโมแปร์ตุยส์กำหนดรูปร่างของวงรีที่อนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของแรงศูนย์กลางผกผันกำลังสอง เช่นแรงโน้มถ่วงแต่ไม่ได้อธิบายโดยตรงว่าอนุภาคเคลื่อนที่ไปตามวิถีการเคลื่อนที่นั้นอย่างไร (อย่างไรก็ตาม การกำหนดพารามิเตอร์เวลานี้อาจกำหนดได้จากวิถีการเคลื่อนที่เองในการคำนวณในภายหลังโดยใช้การอนุรักษ์พลังงาน ) ในทางตรงกันข้าม หลักการของแฮมิลตันระบุการเคลื่อนที่ไปตามวงรีโดยตรงเป็นฟังก์ชันของเวลา
• ...และข้อจำกัดเกี่ยวกับความแปรผัน
  หลักการของโมแปร์ตุยส์กำหนดให้ต้องระบุสถานะปลายทางทั้งสองq และq และต้องอนุรักษ์พลังงานตลอดทุกวิถีการเคลื่อนที่ (พลังงานเท่ากันสำหรับทุกวิถีการเคลื่อนที่) ซึ่งทำให้เวลาปลายทางต้องเปลี่ยนแปลงไปด้วย ในทางตรงกันข้าม หลักการของแฮมิลตันไม่กำหนดให้มีการอนุรักษ์พลังงาน แต่กำหนดให้ต้องระบุเวลาปลายทางt และt รวมถึงสถานะปลายทางq และq ด้วย

หลักการกระทำสามารถขยายไปใช้เพื่อหาสมการการเคลื่อนที่สำหรับสนามต่างๆเช่นสนามแม่เหล็กไฟฟ้าหรือแรงโน้มถ่วงได้

สมการของไอน์สไตน์ใช้แอคชั่นของไอ น์สไตน์-ฮิลเบิร์ตภายใต้ข้อจำกัดของหลักการแปรผัน

เส้นทางของวัตถุในสนามโน้มถ่วง (เช่น การตกอย่างอิสระในปริภูมิเวลา หรือที่เรียกว่าเส้นทางจีโอเดสิก ) สามารถหาได้โดยใช้หลักการของการกระทำ

ในกลศาสตร์ควอนตัมระบบไม่ได้ดำเนินไปตามเส้นทางเดียวที่มีการกระทำคงที่ แต่พฤติกรรมของระบบขึ้นอยู่กับเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดและค่าของการกระทำของแต่ละเส้นทาง การกระทำที่สอดคล้องกับเส้นทางต่างๆ จะถูกนำมาใช้ในการคำนวณปริพันธ์เส้นทางซึ่งจะให้ค่าแอมพลิจูดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ต่างๆ

แม้ว่าในกลศาสตร์คลาสสิก หลักการของการกระทำจะเทียบเท่ากับกฎของนิวตันแต่หลักการของการกระทำนั้นเหมาะสมกว่าสำหรับการสรุปทั่วไปและมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่ อันที่จริง หลักการนี้เป็นหนึ่งในข้อสรุปทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ในวิทยาศาสตร์กายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หลักการนี้ได้รับการยอมรับและเข้าใจอย่างถ่องแท้ที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัมสูตรการคำนวณปริพันธ์เส้นทางของริชาร์ด ไฟน์แมน ในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นอิงอยู่กับหลักการของ การกระทำที่อยู่กับที่ โดยใช้ปริพันธ์เส้นทาง สมการของแม็กซ์เวลล์สามารถอนุมานได้ว่าเป็นเงื่อนไขของการกระทำที่อยู่กับที่

• กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์
• พื้นที่การกำหนดค่า
• สมการแฮมิลตัน-จาโคบี
• เส้นทางจีโอเดสิกในฐานะการไหลแบบแฮมิลโทเนียน
• หลักการแปรผันของเฮอร์กลอตซ์
• ปริภูมิเฟส
• หลักการแปรผัน

• WR Hamilton, "ว่าด้วยวิธีการทั่วไปในพลศาสตร์", วารสารปรัชญาของราชสมาคมภาคที่ 2 (1834) หน้า 247–308 ; ภาคที่ 1 (1835) หน้า 95–144 ( จากชุดรวมบทความของเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (1805–1865): บทความทางคณิตศาสตร์เรียบเรียงโดยเดวิด อาร์. วิลกินส์, โรงเรียนคณิตศาสตร์, วิทยาลัยทรินิตี้, ดับลิน 2, ไอร์แลนด์ (2000); และได้รับการวิจารณ์ในชื่อ "ว่าด้วยวิธีการทั่วไปในพลศาสตร์" )
• Landau LD และ Lifshitz EM (1976) กลศาสตร์ฉบับที่ 3 สำนักพิมพ์ Pergamon Press ISBN 0-08-021022-8(ปกแข็ง) และISBN 0-08-029141-4(ปกอ่อน), หน้า 2–4.
• Arnold VI. (1989) วิธีการทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิกฉบับที่ 2 สำนักพิมพ์ Springer Verlag หน้า 59–61
• Cassel, Kevin W.: วิธีการแปรผันพร้อมการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2013
• Bedford A.: หลักการของแฮมิลตันในกลศาสตร์ต่อเนื่อง. Pitman, 1985. Springer 2001, ISBN 978-3-030-90305-3 ISBN 978-3-030-90306-0 (eBook), https://doi.org/10.1007/978-3-030-90306-0