ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์แฮมิลโทเนียนคือเมทริกซ์A ขนาด 2n x 2n โดยที่ JA เป็นเมทริกซ์สมมาตรโดยที่Jเป็นเมทริกซ์สมมาตรแบบเฉียง และI _nเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด n x nกล่าวอีกนัยหนึ่งAเป็นเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนก็ต่อเมื่อ( JA ) ^T = JAโดยที่( ) ^Tหมายถึงการสลับเปลี่ยน [ ^{1 ] ชุด} ของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนทั้งหมดก่อให้เกิดพีชคณิตลี ( พีชคณิตลีเชิงซิมเพล็กติก ) กลุ่มลี ที่เกี่ยวข้อง คือกลุ่มเชิงซิมเพล็กติกซึ่งองค์ประกอบคือเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติก $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\end{bmatrix}}}$$

สมมติว่าเมทริกซ์Aขนาด 2n x 2n ถูกเขียนในรูปเมทริกซ์บล็อก

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

โดยที่a , b , cและdเป็น เมทริกซ์ ขนาดn x nเงื่อนไขที่ว่าAเป็นแฮมิลโทเนียนเทียบเท่ากับการกำหนดให้เมทริกซ์bและcเป็นเมทริกซ์สมมาตร และa + d ^T = 0 [ ^{1 ] [ 2 ] เงื่อนไข}ที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งคือAอยู่ในรูปแบบA = JSโดยที่S เป็นเมทริกซ์ สมมาตร^{[ 2 ] : 34}

จากนิยามจะเห็นได้ง่ายว่าเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนเป็นเมทริกซ์แฮมิล โทเนียน ยิ่งไปกว่านั้น ผลรวม (และ ผลรวมเชิงเส้น ใดๆ ) ของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนสองเมทริกซ์ก็เป็นเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนเช่นกัน เช่นเดียวกับตัวสลับตำแหน่งของเมทริกซ์ทั้งสอง ดังนั้น พื้นที่ของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนทั้งหมดจึงเป็นพีชคณิตลีซึ่งเขียนแทนด้วยsp(2 n )มิติของsp(2 n )คือ2 n ² + nกลุ่มลีที่สอดคล้องกันคือกลุ่มซิมเพล็กติกSp(2 n )กลุ่มนี้ประกอบด้วยเมทริกซ์ซิม เพล็ก ติก เมทริกซ์Aที่สอดคล้องกับA ^T JA = Jดังนั้นเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนจึงเป็นเมทริกซ์ซิมเพล็กติก อย่างไรก็ตาม ลอการิทึมของเมทริกซ์ซิมเพล็กติกไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนเสมอไป เพราะแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจากพีชคณิตลีไปยังกลุ่มนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง^{[ 2 ] : 34–36 [ 3 ]}

พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนจริงเป็นพหุนามคู่ดังนั้น ถ้าเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนมีλเป็นค่าลักษณะเฉพาะ−λ , λ ^*และ−λ ^*ก็เป็นค่าลักษณะเฉพาะเช่นกัน^{[ 2 ] : 45} เป็นผลให้ร่องรอยของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนเป็นศูนย์

กำลังสองของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนคือเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนแบบเฉียง (เมทริกซ์Aเป็นเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนแบบเฉียงถ้า( JA ) ^T = − JA ) ในทางกลับกัน เมทริกซ์แฮมิลโทเนียนแบบเฉียงทุกตัวเกิดขึ้นจากกำลังสองของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียน^{[ 4 ]}

สำหรับเมทริกซ์ซิมเพล็กติก นิยามของเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนสามารถขยายไปยังเมทริกซ์เชิงซ้อนได้สองวิธี วิธีหนึ่งคือการกล่าวว่าเมทริกซ์Aเป็นเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนถ้า( JA ) ^T = JAดังที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 1 ] [ 4 ]}อีกวิธีหนึ่งคือการใช้เงื่อนไข( JA ) ^* = JAโดยที่เครื่องหมายดอกจันยกกำลัง ( (⋅) ^* ) หมายถึง การสลับตำแหน่ง แบบสังยุค^{[ 5 ]}

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกΩแผนที่เชิงเส้นเรียกว่าตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนเทียบกับΩถ้าฟอร์มนั้น สมมาตร หรือเทียบเท่ากันคือต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$${\displaystyle x,y\mapsto \โอเมก้า (A(x),y)}$

${\displaystyle \โอเมก้า (A(x),y)=-\โอเมก้า (x,A(y))}$

เลือกฐานe ₁ , …, e _{2 n}ในVโดยที่Ωเขียนเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นเป็นแฮมิลโทเนียนเมื่อเทียบกับΩก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของมันในฐานนี้เป็นแฮมิลโทเนียน^{[ 4 ]}${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$