ฟังก์ชันHannตั้งชื่อตามนักอุตุนิยมวิทยาชาวออสเตรียJulius von Hannเป็นฟังก์ชันหน้าต่างที่ใช้ในการปรับเรียบHannหรือhanning ^{[ 1 ] [ 2 ]}ฟังก์ชันที่มีความยาวและแอมพลิจูดกำหนดโดย: ${\displaystyle L}$${\displaystyle 1/L,}$

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$   ^[ก]

สำหรับการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลฟังก์ชันจะถูกสุ่มตัวอย่างแบบสมมาตร (โดยมีระยะห่างและแอมพลิจูด) :${\displaystyle L/N}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

ซึ่งเป็นลำดับของตัวอย่าง และอาจเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อหน้าต่างโคไซน์ยกกำลังตัวกรองฮันน์หน้าต่างฟอนฮันน์หน้าต่างฮันนิงเป็นต้น^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N}$

การแปลงฟูริเยร์ของมีค่าดังนี้: ${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$   ^[ข]

การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ของลำดับที่มีความยาวและเลื่อนเวลาจะถูกกำหนดโดยอนุกรมฟูริเยร์ซึ่งมีรูปแบบเทียบเท่า 3 เทอมที่ได้มาในลักษณะเดียวกันกับการหาอนุพันธ์ของการแปลงฟูริเยร์: ${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

ลำดับที่ถูกตัดทอนคือ หน้าต่าง Hann ที่เป็นคู่ DFT (หรือที่เรียกว่าเป็นคาบ ) เนื่องจากตัวอย่างที่ถูกตัดทอนมีค่าเป็นศูนย์ จึงเห็นได้ชัดจากนิยามของอนุกรมฟูริเยร์ว่า DTFT นั้นเทียบเท่ากัน อย่างไรก็ตาม วิธีการที่ใช้ข้างต้นส่งผลให้ได้นิพจน์ 3 เทอมที่มีลักษณะแตกต่างกันอย่างมาก แต่เทียบเท่ากัน: ${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

การ แปลง DFT ความยาว Nของฟังก์ชันหน้าต่างจะสุ่มตัวอย่าง DTFT ที่ความถี่สำหรับค่าจำนวนเต็ม ของ จากนิพจน์ข้างต้น จะเห็นได้ง่ายว่าสัมประสิทธิ์ DFT เพียง 3 ใน N ตัวเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ และจากนิพจน์อื่น จะเห็นได้ชัดว่าทั้งหมดเป็นค่าจริง คุณสมบัติเหล่านี้มีความน่าสนใจสำหรับแอปพลิเคชันแบบเรียลไทม์ที่ต้องการทั้งการแปลงแบบมีหน้าต่างและไม่มีหน้าต่าง (แบบมีหน้าต่างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) เนื่องจากการแปลงแบบมีหน้าต่างสามารถหาได้อย่างมีประสิทธิภาพจากการแปลงแบบไม่มีหน้าต่างโดยการสังเคราะห์^{[ 5 ] [ c ] [ d ]}${\displaystyle f=k/N,}$${\displaystyle k.}$

ฟังก์ชันนี้ตั้งชื่อตาม von Hann ซึ่งใช้เทคนิคการปรับเรียบค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักสามเทอมกับข้อมูลทางอุตุนิยมวิทยา^{[ 6 ] [ 2 ]} อย่างไรก็ตาม คำว่าHanning function ก็ถูกใช้ตามธรรมเนียมเช่นกัน^{[ 7 ]}ซึ่งมาจากบทความที่ใช้คำว่าhanning a signalเพื่อหมายถึงการใช้หน้าต่าง Hann กับสัญญาณนั้น^{[ 4 ] [ 8 ]} มันแตกต่างจาก Hamming functionที่มีชื่อคล้ายกันซึ่งตั้งชื่อตามRichard Hamming

• ฟังก์ชันหน้าต่าง
• การลดสัญญาณรบกวน
• การกระจายโคไซน์ยกกำลัง
• ตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง

• ฟังก์ชัน Hannที่MathWorld