ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันcของ Harish-Chandraเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชื่อมโยงระหว่างการแสดงอนุกรมหลักสองชุดซึ่งปรากฏในการวัด Plancherelสำหรับกลุ่ม Lie กึ่งง่ายHarish-Chandra  ( 1958a , 1958b ) ได้นำเสนอกรณีพิเศษของฟังก์ชันนี้ โดยกำหนดในแง่ของพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันทรงกลมโซนัลของกลุ่ม Lieและ Harish-Chandra ( 1970 ) ได้นำเสนอฟังก์ชัน cที่ทั่วไปกว่าเรียกว่าฟังก์ชันC ( ทั่วไป ) ของ Harish-Chandra Gindikin และ Karpelevich (  1962 , 1969 )ได้นำเสนอสูตร Gindikin–Karpelevich ซึ่งเป็นสูตรผลคูณสำหรับ ฟังก์ชัน cของ Harish-Chandra

ฟังก์ชัน c มีการวางนัยทั่วไปเป็นc (λ) ซึ่งขึ้นอยู่กับองค์ประกอบwของกลุ่ม Weylองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันที่มีความยาวมากที่สุด s คือองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันที่นำห้อง Weyl ไปยังตามสูตรปริพันธ์ของ Harish-Chandra ฟังก์ชัน c คือ ฟังก์ชัน c ของ Harish-Chandra : ${\displaystyle {\mathfrak {a}__{+}^{*}}$${\displaystyle -{\mathfrak {a}__{+}^{*}}$

${\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันcจะถูกกำหนดโดยสมการ

${\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},}$

โดยที่ ξ คือฟังก์ชันคงที่ 1 ใน L ² ( K / M ) คุณสมบัติโคไซเคิลของตัวดำเนินการที่เกี่ยวพันกันบ่งบอกถึงคุณสมบัติการคูณที่คล้ายกันสำหรับ ฟังก์ชัน c :

${\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}$

ที่ให้ไว้

${\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).}$

วิธีนี้ช่วยลดการคำนวณc เหลือเพียงกรณีที่s = s ซึ่งเป็นการสะท้อนในราก α (แบบง่าย) หรือที่เรียกว่า "การลดอันดับหนึ่ง" ของGindikin & Karpelevich (1962)อันที่จริงแล้ว อินทิกรัลนี้เกี่ยวข้องเฉพาะกลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันแบบปิดG ^αที่สอดคล้องกับพีชคณิตย่อย Lie ที่สร้างขึ้นโดยที่ α อยู่ใน Σ ⁺ดังนั้นG ^αจึงเป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่ายจริงที่มีอันดับจริงหนึ่ง กล่าวคือ dim A ^α = 1 และc ก็คือฟังก์ชัน cของ Harish-Chandra ของG ^αในกรณีนี้ ฟังก์ชัน cสามารถคำนวณได้โดยตรงและกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$

${\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

ที่ไหน

${\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)}$

และ α =α/〈α,α〉

สูตรทั่วไปของ Gindikin–Karpelevich สำหรับc (λ) เป็นผลโดยตรงจากสูตรนี้และคุณสมบัติการคูณของc (λ) ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}$

โดย เลือกค่าคงที่c c (–iρ)=1 ( Helgason 2000 , หน้า 447)

ฟังก์ชันcปรากฏในทฤษฎีบทของ Plancherel สำหรับฟังก์ชันทรงกลมและมาตรวัด Plancherel คือ 1/ c² เท่า^ของมาตรวัด Lebesgue

มี ฟังก์ชัน c ที่คล้ายกัน สำหรับ กลุ่ม Lie แบบ p -adic Macdonald ( 1968 , 1971 ) และLanglands (1971)พบสูตรผลคูณที่คล้ายคลึงกันสำหรับ ฟังก์ชัน cของกลุ่ม Lie แบบ p -adic