ปัญหาข้อที่แปดของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งในรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ซึ่ง เดวิด ฮิลเบิร์ตได้เสนอไว้ในปี ค.ศ. 1900 ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับสาขาต่างๆ ของทฤษฎีจำนวนและที่จริงแล้วเป็นชุดของปัญหาที่แตกต่างกันสามข้อ:

• สมมติฐานดั้งเดิม ของรีมันน์ สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
• ความสามารถในการหาคำตอบของ สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นสองตัวแปรในจำนวนเฉพาะ (โดยที่สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดและสมมติฐานโกลด์บัคเป็นกรณีพิเศษของสมการนี้)
• การขยายวิธีการที่ใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เพื่อประมาณการการกระจายของจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็มไปสู่ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์และการใช้ฟังก์ชันเหล่านั้นเพื่อประมาณการการกระจายของอุดมคติเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนใดๆ

พร้อมกับปัญหาที่สิบหกของฮิลเบิร์ต ปัญหา นี้กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในรายการ โดยมีผลลัพธ์เฉพาะเจาะจงน้อยมากในการแก้ปัญหานี้ หลังจากผ่านไปหนึ่งศตวรรษ สมมติฐานของรีมันน์ถูกจัดอยู่ในรายการปัญหาของสเมลและปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ^{[ 1 ]}สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่และสมมติฐานของโกลด์บัค ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น กลายเป็นสองในสี่ปัญหาของแลนเดา

เมื่อไม่นานมานี้ Hadamard, de la Vallée-Poussin, Von Mangoldt และคนอื่นๆ ได้สร้างความก้าวหน้าสำคัญในทฤษฎีการกระจายของจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ของปัญหาที่ Riemann ตั้งไว้ในบทความเรื่อง "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ยังคงต้องพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความสำคัญยิ่งของ Riemann นั่นคือ จุดศูนย์ของฟังก์ชันซีตาที่กำหนดโดยอนุกรม:

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots }$

ทั้งหมดมีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 ยกเว้นค่าศูนย์จริงที่เป็นจำนวนเต็มลบซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี เมื่อการพิสูจน์นี้สำเร็จแล้ว ปัญหาต่อไปคือการทดสอบอนุกรมอนันต์ของรีมันน์อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับจำนวนเฉพาะที่ต่ำกว่าจำนวนที่กำหนด และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การตัดสินใจว่าผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่ำกว่าจำนวน x และลอการิทึมจำนวนเต็มของ x นั้นกลายเป็นอนันต์ที่มีอันดับไม่เกิน 1/2 ใน x หรือไม่ นอกจากนี้ เราควรพิจารณาว่าการควบแน่นของจำนวนเฉพาะที่สังเกตเห็นได้ในการนับจำนวนเฉพาะนั้นเกิดจากพจน์ในสูตรของรีมันน์ที่ขึ้นอยู่กับค่าศูนย์เชิงซ้อนแรกของฟังก์ชันจริงหรือไม่${\textstyle \zeta (s)}$

หลังจากที่ได้อภิปรายสูตรจำนวนเฉพาะของรีมันน์อย่างละเอียดถี่ถ้วนแล้ว บางทีสักวันหนึ่งเราอาจจะมีโอกาสได้ลองหาคำตอบที่เข้มงวดของปัญหาของโกลด์บัค นั่นคือว่า จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะบวกสองจำนวนหรือไม่ และต่อยอดไปถึงคำถามที่รู้จักกันดีว่า มีจำนวนเฉพาะคู่หนึ่งที่มีผลต่างเท่ากับ 2 เป็นจำนวนอนันต์หรือไม่ หรือแม้แต่ปัญหาทั่วไปกว่านั้น คือ สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น:

${\displaystyle ax+by+c=0}$

(โดยที่สัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่กำหนดแต่ละตัวเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน) สามารถหาคำตอบได้เสมอในจำนวนเฉพาะ x และ y

แต่ปัญหาต่อไปนี้ดูเหมือนจะน่าสนใจไม่แพ้กัน และอาจมีขอบเขตที่กว้างกว่าด้วยซ้ำ นั่นคือ การนำผลลัพธ์ที่ได้จากการแจกแจงจำนวนเฉพาะตรรกยะไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีการแจกแจงจำนวนเฉพาะในอุดมคติในฟิลด์จำนวนที่กำหนดซึ่งเป็นปัญหาที่มุ่งไปสู่การศึกษาฟังก์ชันที่อยู่ในฟิลด์นั้นและถูกกำหนดโดยอนุกรม:${\displaystyle K}$${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum {\frac {1}{n(j)^{s}}}}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมไอเดียล j ทั้งหมดของอาณาจักร K ที่กำหนด และ n(j) หมายถึงค่าบรรทัดฐานของไอเดียล j

หนึ่งศตวรรษหลังจากที่ฮิลเบิร์ตได้กล่าวถึงปัญหาดังกล่าว มีเพียงการประมาณค่าความหนาแน่นที่อ่อนกว่ามาก ซึ่งได้มาอย่างง่ายดายจากสมมติฐานของรีมันน์เท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์:

• Hardy & Littlewood (1921)พิสูจน์ว่าศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ธรรมดาจำนวนอนันต์นั้นสอดคล้องกับสมมติฐานของ Riemann ผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงหลายครั้ง: Selberg (1942)แสดงให้เห็นว่าสัดส่วนบวกบางส่วนของศูนย์สอดคล้อง กับสมมติฐานนี้ Levinson (1974)ปรับปรุงการประมาณค่านี้เป็น 1/3 Conrey (1989)เป็น 2/5 ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดมาจากPratt et al. (2020)ซึ่งได้การประมาณค่าเป็น 5/12
• Bohr & Landau (1914)แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่าส่วนจินตนาการที่เล็กและไม่จำกัดจำนวนของศูนย์ที่มีส่วนจริงอยู่ในคือ เมื่อรวมข้อเท็จจริงนี้กับจำนวนศูนย์ที่มีส่วนจินตนาการดังกล่าว คือและเมื่อพิจารณา T ที่มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ จะได้ว่าศูนย์เกือบทั้งหมดอยู่ใกล้กับเส้นวิกฤตมากเพียงใด${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle -T<\ชื่อผู้ดำเนินการ {Im} (z)<T}$${\displaystyle |\ชื่อผู้ดำเนินการ {Re} (z)-{\tfrac {1}{2}}|\leq \epsilon }$${\displaystyle O(T)}$${\displaystyle O(T\log T)}$

ในหนึ่งศตวรรษหลังจากที่ปรากฏในรายการของฮิลเบิร์ต มีการเสนอแนวคิดที่เทียบเท่ากันมากมาย เช่นเกณฑ์ของลีการหายไปของค่าคงที่เดอ บรูอิน-นิวแมนหรืออัตราการเติบโตของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ สมมติฐานของรีมันน์ดั้งเดิมได้รับการขยายความไปสู่กลุ่มฟังก์ชันที่กว้างขึ้น ซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบอัตโนมัติและโปรแกรมของแลงแลนด์ได้แม้ว่ามันจะไม่ใช่คำตอบของปัญหา และโปรแกรมของแลงแลนด์เองก็ยังคงเป็นเพียงข้อสันนิษฐาน แต่ก็เปิดทางให้มีการพยายามในอนาคตมากขึ้น

กรณีทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ที่ฮิลเบิร์ตเสนอ ดูเหมือนจะไม่สามารถแก้ได้ด้วยเครื่องมือที่มีอยู่ในทฤษฎีจำนวนในปัจจุบัน

ผลลัพธ์เกี่ยวกับขอบเขตล่างของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่ได้จากYitang Zhangและได้รับการปรับปรุงในภายหลังโดยโครงการ Polymathให้ผลลัพธ์เพียงบางส่วนสำหรับกรณีพิเศษมาก ๆ:

${\displaystyle x-y+c=0}$

ขอบล่างของช่องว่างจำนวนเฉพาะกล่าวว่า มี จำนวน เฉพาะอยู่จำนวนหนึ่ง ที่ทำให้สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ไม่จำกัดจำนวน สมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดเทียบเท่ากับ การเป็นจำนวนเฉพาะดังกล่าว แต่จาก สมมติฐานของดิกสันที่ทั่วไปกว่านั้นสรุปได้ว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนควรเป็นจำนวนเฉพาะดังกล่าว ${\displaystyle c\leq 246}$${\displaystyle c=2}$

ผลลัพธ์ที่อ่อนกว่ามากบางประการที่ได้มาจากสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่และสมมติฐานของโกลด์บัค เช่นทฤษฎีบทของเฉินหรือความพยายามพิสูจน์สมมติฐานที่อ่อนของโกลด์บัคโดยฮาราลด์ เฮลฟ์ก็อตต์ (ซึ่งอยู่ระหว่างการตรวจสอบ) ทำให้มีเหตุผลให้เชื่อในความจริงของสมมติฐานดั้งเดิม แต่ไม่ได้ให้คำตอบเกี่ยวกับคำตอบจำนวนเฉพาะของสมการที่ฮิลเบิร์ตกำหนด

สำหรับฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์ สถานะของปัญหานั้นขึ้นอยู่กับว่าเราคาดหวังผลลัพธ์แบบใดจากฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์

การมีอยู่ของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์สำหรับพวกเขาได้รับการพิสูจน์โดย Erich Hecke พร้อมกับสมการเชิงฟังก์ชัน^{[ 2 ]}สิ่งนี้ทำให้สามารถได้รับผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับอุดมคติเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มเช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะทั่วไปด้วยความรู้ปัจจุบันเกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ อย่างไรก็ตาม หากตีความสิ่งนี้ในบริบทของประเด็นแรกของปัญหาว่าเป็นความท้าทายในการพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์แบบขยายและด้วยเหตุนี้จึงได้รับผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่ามากที่ตามมา ส่วนนี้ของปัญหายังคงไม่ได้รับการแก้ไข

• คำแปลภาษาอังกฤษของสุนทรพจน์ต้นฉบับของฮิลเบิร์ต