ปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งในรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังเปิดอยู่ของเดวิด ฮิลเบิร์ตซึ่งตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2443 เกี่ยวข้องกับความไม่เป็นจำนวนตรรกยะและความเป็นจำนวนอดิศัยของจำนวนบางจำนวน^{[ 1 ]}

ในปี พ.ศ. 2462 ฮิลเบิร์ตได้บรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนและพูดถึงสมมติฐานสามประการ ได้แก่สมมติฐานของรีมันน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และความเป็นจำนวนอดิศัยของ จำนวนอดิศัย เขาได้กล่าวกับผู้ฟังว่าเขาไม่คาดหวังว่าจะมีใครในห้องประชุมมีชีวิตอยู่ได้นานพอที่จะเห็นการพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ในปัญหาข้อที่เจ็ดของเขา ภายใต้หัวข้อ "ความไม่เป็นจำนวนตรรกยะและความเป็นจำนวนอดิศัยของจำนวนบางจำนวน" ( Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlenในภาษาเยอรมัน) ^{[ 1 ]}มีคำถามที่เทียบเท่ากันสองข้อโดยเฉพาะ: ^{[ 2 ]}${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$

1. ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าอัตราส่วนของมุม ที่ฐาน ต่อมุมที่จุดยอดเป็นจำนวนพีชคณิตแต่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะอัตราส่วนระหว่างฐานกับด้านจะเป็นจำนวนอดิศัย เสมอ หรือไม่?
2. เป็นจำนวนอดิศัยเสมอหรือไม่ สำหรับพีชคณิตและพีชคณิตอตรรกยะ?${\displaystyle a^{b}}$${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$${\displaystyle b}$

เบื้องต้น จำนวนพีชคณิต คือรากของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ในตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนอดิศัย คือ จำนวนตรงข้ามกับจำนวนพีชคณิต (กล่าวคือ ไม่ใช่รากของพหุนาม) ส่วนจำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน กล่าวคือ ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

ในการตอบคำถามข้อที่สองโดยเฉพาะเจาะจงมากขึ้น ฮิลเบิร์ตได้ถามเกี่ยวกับความเป็นอดิศัยและความไม่สมเหตุสมผลของจำนวนและจำนวนแรกเรียกว่าค่าคงที่ Gelfond–Schneiderหรือจำนวนฮิลเบิร์ต^{[ 1 ]}${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i}}$

หลักฐานเกี่ยวกับการเป็นอดิศัยได้รับการตีพิมพ์โดย Kuzmin ในปี พ.ศ. 2473 ซึ่งอยู่ใน ช่วงชีวิตของ Hilbertเอง โดย Kuzmin ได้พิสูจน์กรณีที่เลขชี้กำลัง เป็น จำนวนอดิศัยกำลังสองจริง^{[ 3 ]}${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$${\displaystyle b}$

ในปี พ.ศ. 2477 อเล็กซานเดอร์ เกลฟอนด์และธีโอดอร์ ชไนเดอร์ได้พิสูจน์โดยทั่วไปมากขึ้น โดยขยายจำนวนไปยังจำนวนอตรรกยะพีชคณิตใดๆ พวกเขาตอบคำถามข้อที่สองในเชิงบวกอย่างอิสระและปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้น ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเกลฟอนด์หรือทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์^{[ 4 ] [ 5 ]}จากมุมมองของการวางนัยทั่วไป นี่คือกรณี ของรูปแบบเชิงเส้นทั่วไปในลอการิทึม ซึ่งเกลฟอนด์ได้ศึกษาและต่อมาได้รับการแก้ไขโดยอลัน เบเกอร์ [ ^{6 ] ซึ่ง}ได้รับรางวัลฟิลด์สเมดัลในปี พ.ศ. 2513 สำหรับความสำเร็จนี้ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าสมมติฐานของเกลฟอนด์หรือทฤษฎีบทของเบเกอร์${\displaystyle b}$$${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$$

• Tijdeman, Robert (1976). "เกี่ยวกับวิธีการ Gel'fond–Baker และการประยุกต์ใช้" ในFelix E. Browder (บรรณาธิการ). การพัฒนาทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดขึ้นจากปัญหาของ Hilbert รายงานการประชุมสัมมนาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เล่มที่ XXVIII.1. สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันหน้า241–268 . ISBN  978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026 . 
• Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). บทนำสู่ทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่สารานุกรมวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เล่มที่ 49 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง) หน้า 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ไอเอสเอ็น0938-0396 . ซบแอล1079.11002 .  

• คำแปลภาษาอังกฤษของสุนทรพจน์ต้นฉบับของฮิลเบิร์ต