ทรงกลมเนินเขา

ทรงกลมฮิลล์เป็นแบบจำลองทั่วไปสำหรับการคำนวณทรงกลมอิทธิพลแรงโน้มถ่วงเป็นแบบจำลองที่ใช้กันมากที่สุดในการคำนวณขอบเขตเชิงพื้นที่ของอิทธิพลแรงโน้มถ่วงของวัตถุทางดาราศาสตร์ ( m ) ซึ่งมีอิทธิพลเหนืออิทธิพลแรงโน้มถ่วงของวัตถุอื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งวัตถุหลัก ( M ) ^{[ 1 ]}บางครั้งอาจสับสนกับแบบจำลองอิทธิพลแรงโน้มถ่วงอื่นๆ เช่นทรงกลมลาปลาซ^{[ 1 ]}หรือทรงกลมโรชซึ่งแบบจำลองหลังนี้ทำให้เกิดความสับสนกับขีดจำกัดโรช [ ^{2 ] [ 3 ] แบบ} จำลองนี้ ได้รับการกำหนดโดยนักดาราศาสตร์ชาวอเมริกันจอร์จ วิลเลียม ฮิลล์โดยอิงจากผลงานของนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเอ็ดวาร์ด โรช

เพื่อให้วัตถุที่มีมวลมากกว่าและมีแรงดึงดูดมากกว่า (เช่น ดาวเคราะห์กับดาวฤกษ์ หรือดวงจันทร์กับดาวเคราะห์) ดึงดูดวัตถุนั้นได้ วัตถุที่มีมวลน้อยกว่าจะต้องมีวงโคจรที่อยู่ในขอบเขตศักย์โน้มถ่วงที่แสดงโดยทรงกลมฮิลล์ของวัตถุที่มีมวลมากกว่า ดวงจันทร์นั้นก็จะมีทรงกลมฮิลล์ของตัวเองเช่นกัน และวัตถุใดๆ ที่อยู่ในระยะนั้นจะ cenderung กลายเป็นดาวบริวารของดวงจันทร์มากกว่าที่จะเป็นดาวบริวารของดาวเคราะห์เอง

มุมมองง่ายๆ เกี่ยวกับขอบเขตของระบบสุริยะคือ มันถูกจำกัดด้วยทรงกลมฮิลล์ของดวงอาทิตย์ (ซึ่งเกิดจากปฏิสัมพันธ์ของดวงอาทิตย์กับแกนกลางกาแล็กซีหรือดาวฤกษ์ที่มีมวลมากกว่าดวงอื่น) ^{[ 4 ]}ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าคือตัวอย่างทางด้านขวา ทรงกลมฮิลล์ของโลก ซึ่งขยายออกไประหว่างจุดลากรางจ์L ₁และL ₂ซึ่งอยู่ตามแนวเส้นศูนย์กลางของโลกและดวงอาทิตย์ที่มีมวลมากกว่า อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของวัตถุที่มีมวลน้อยกว่านั้นน้อยที่สุดในทิศทางนั้น ดังนั้นจึงทำหน้าที่เป็นปัจจัยจำกัดขนาดของทรงกลมฮิลล์ นอกระยะทางนั้น วัตถุที่สามที่โคจรรอบโลกจะใช้เวลาอย่างน้อยบางส่วนของวงโคจรอยู่นอกทรงกลมฮิลล์ และจะถูกรบกวนอย่างต่อเนื่องโดยแรงดึงดูดของวัตถุที่มีมวลมากกว่าคือดวงอาทิตย์ ในที่สุดก็จะไปโคจรรอบดวงอาทิตย์

สำหรับวัตถุขนาดใหญ่สองชิ้นที่มีศักยภาพโน้มถ่วง และพลังงานที่กำหนดของวัตถุที่สามซึ่งมีมวลน้อยมากที่ทำปฏิกิริยากับวัตถุทั้งสองนั้น เราสามารถกำหนดพื้นผิวความเร็วศูนย์ในอวกาศที่ไม่สามารถผ่านได้ ซึ่งก็คือเส้นโค้งของปริพันธ์จาโคบีเมื่อพลังงานของวัตถุต่ำ พื้นผิวความเร็วศูนย์จะล้อมรอบวัตถุที่มีมวลน้อยกว่า (ในระบบสามวัตถุที่ถูกจำกัด นี้ ) อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าวัตถุที่สามไม่สามารถหลุดออกไปได้ แต่เมื่อพลังงานสูงขึ้น จะมีช่องว่างหรือคอขวดอย่างน้อยหนึ่งแห่งที่วัตถุที่สามอาจหลุดออกจากวัตถุที่มีมวลน้อยกว่าและโคจรรอบวัตถุที่มีมวลมากกว่าได้ หากพลังงานอยู่ที่ขอบเขตระหว่างสองกรณีนี้ วัตถุที่สามจะไม่สามารถหลุดออกไปได้ แต่พื้นผิวความเร็วศูนย์ที่กักขังมันจะสัมผัสกับพื้นผิวความเร็วศูนย์ที่ใหญ่กว่ารอบๆ วัตถุที่มีมวลน้อยกว่า ณ จุดลากรางจ์ใกล้เคียงจุด หนึ่ง ทำให้เกิดจุดคล้ายกรวยขึ้นที่นั่น ที่ด้านตรงข้ามของวัตถุที่มีมวลน้อยกว่า พื้นผิวความเร็วศูนย์จะเข้าใกล้จุดลากรางจ์อีกจุดหนึ่ง

รัศมีหรือทรงกลมของฮิลล์ (ซึ่งกำหนดโดยรัศมีก่อนหน้านี้) ได้รับการอธิบายว่าเป็น "บริเวณรอบวัตถุดาวเคราะห์ที่แรงโน้มถ่วงของตัวมันเอง (เมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์หรือวัตถุใกล้เคียงอื่นๆ) เป็นแรงหลักในการดึงดูดดาวเทียม" ทั้งดาวเทียมธรรมชาติและดาวเทียมที่มนุษย์สร้างขึ้น^{[ 5 ]}

ตามที่ de Pater และ Lissauer อธิบายไว้ วัตถุทั้งหมดภายในระบบ เช่นระบบสุริยะ ของดวงอาทิตย์ "รู้สึกถึงแรงโน้มถ่วงของกันและกัน" และในขณะที่การเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ทางแรงโน้มถ่วงเพียงสองวัตถุ ซึ่งประกอบเป็น "ปัญหาของวัตถุสองชิ้น" นั้น "สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ ([หมายความว่า]...มีปริพันธ์หรือข้อจำกัดอิสระหนึ่งรายการต่อองศาอิสระ)" และดังนั้นจึงเป็นคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอน ปฏิสัมพันธ์ของ วัตถุ สามชิ้น (หรือมากกว่า) ดังกล่าว "ไม่สามารถอนุมานได้ทางวิเคราะห์" ต้องใช้คำตอบโดยการอินทิเกรตเชิงตัวเลขแทน เมื่อเป็นไปได้^{[ 6 ] : หน้า 26} กรณีนี้เป็นเช่นนั้น เว้นแต่ว่ามวลที่น้อยมากของวัตถุหนึ่งในสามชิ้นจะทำให้สามารถประมาณระบบเป็นปัญหาของวัตถุสองชิ้น ซึ่งเรียกอย่างเป็นทางการว่า "ปัญหาของวัตถุสามชิ้นแบบจำกัด" ^{[ 6 ] : หน้า 26}

สำหรับปัญหาสองหรือสามวัตถุที่จำกัดเช่นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด เช่น วัตถุทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์หลักที่มีมวลมากกว่าหนึ่งตัว มวลของและวัตถุรองที่มีมวลน้อยกว่า มวลของแนวคิดของรัศมีหรือทรงกลมของฮิลล์เป็นขีดจำกัดโดยประมาณของ "การครอบงำทางแรงโน้มถ่วง" ของมวลรอง^{[ 6 ]}ขีดจำกัดที่กำหนดโดย "ขอบเขต" ของทรงกลมฮิลล์ ซึ่งแสดงทางคณิตศาสตร์ดังนี้: ^{[ 6 ] : หน้า 29 [ 7 ]}${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$,

โดยที่ในการแสดงนี้ แกนกึ่งเอก " " สามารถเข้าใจได้ว่าเป็น "ระยะห่างจากดวงอาทิตย์ ณ ขณะนั้น" ระหว่างมวลทั้งสอง (ในที่อื่นย่อว่าr p ) ^{[ 6 ] : หน้า 29 [ 7 ]}${\displaystyle a}$

โดยทั่วไป หากวัตถุที่มีมวลน้อยกว่าโคจรรอบวัตถุที่มีมวลมากกว่า(เช่น ดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์) และมีแกนกึ่งเอกและความเยื้องศูนย์กลางรัศมีหรือทรงกลมของ ฮิลล์ ของวัตถุที่มีมวลน้อยกว่า ซึ่งคำนวณที่จุดใกล้ที่สุดจะมีค่าโดยประมาณดังนี้: ^{[ 8 ]}${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle R_{\คณิตศาสตร์ {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$มุมผิดปกติที่แท้จริง สำหรับวัตถุที่มีมวลน้อยกว่าในวงโคจรของมันรอบวัตถุที่มีมวลมากกว่านั้นอยู่ ที่ใดโดยมุมดังกล่าวอยู่ระหว่าง 0° ถึง 360°${\displaystyle \theta }$

โดยมีค่าแปรผันระหว่าง +1 ที่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจร , , และ -1 ที่จุดไกลที่สุดของวงโคจร , . ${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \theta =180}$

กับ,${\displaystyle (1-e^{2})=(1+e)(1-e)}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$ที่จุดใกล้โลกที่สุดและ

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$ตัวอย่างเช่นในกรณีของระบบโลก-ดวงจันทร์ ที่จุดไกลสุดจากโลกคือและ, , และรัศมีฮิลล์ของดวงจันทร์ที่จุดใกล้สุดจากโลกคือและที่จุดไกลสุดจากโลกคือ${\displaystyle {\frac {m_{2}}{m_{1}}}=0.0123000371(4)}$${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\approx 81.300568}$${\displaystyle a=384,399\ km}$${\displaystyle e=0.05490}$${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=57,910\ km}$${\displaystyle 64,638\ km}$

เมื่อความเยื้องศูนย์มีค่าเล็กน้อย (ซึ่งเป็นกรณีที่เอื้อต่อเสถียรภาพของวงโคจรมากที่สุด) สมการนี้จะลดลงเหลือเพียงสมการที่แสดงไว้ข้างต้น

ในตัวอย่างโลก-ดวงอาทิตย์ โลก (5.97 × 10 ²⁴  กก. ) โคจรรอบดวงอาทิตย์ (1.99 × 10 ³⁰  กก. ) ที่ระยะห่าง 149.6 ล้านกิโลเมตร หรือหนึ่งหน่วยดาราศาสตร์ (AU) ดังนั้นทรงกลมฮิลล์ของโลกจึงขยายออกไปประมาณ 1.5 ล้านกิโลเมตร (0.01 AU) วงโคจรของดวงจันทร์ซึ่งอยู่ห่างจากโลก 0.384 ล้านกิโลเมตร อยู่ภายในขอบเขตอิทธิพลแรงโน้ม ถ่วง ของโลกอย่างสบายๆ ดังนั้นจึงไม่เสี่ยงต่อการถูกดึงเข้าสู่วงโคจรอิสระรอบดวงอาทิตย์ทรงกลมฮิลล์ ของดวงอาทิตย์ มี ขอบเขตสูงสุด ที่ไม่เสถียรที่ 230,000 AU (1.1 pc; 3.6 ly) ^{[ 10 ]}

สูตรเดิมที่ละเลยความเยื้องศูนย์สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m_{2}}{M}}}$, หรือ ,${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m_{2}}{M}}}$

โดยที่ M คือผลรวมของมวลที่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน

สามารถหาค่ารัศมีของฮิลล์ได้โดยการเทียบแรงโน้มถ่วงและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่กระทำต่ออนุภาคทดสอบ (ซึ่งมีมวลน้อยกว่ามาก) ที่โคจรรอบวัตถุรอง สมมติว่าระยะห่างระหว่างมวลและคือและอนุภาคทดสอบโคจรอยู่ที่ระยะจากวัตถุรอง เมื่ออนุภาคทดสอบอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างวัตถุหลักและวัตถุรอง สมดุลของแรงจะกำหนดว่า ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

โดยที่คือค่าคงที่ความโน้มถ่วง และคือความเร็วเชิงมุม ( แบบเคปเลอร์ ) ของวัตถุรองรอบวัตถุหลัก (โดยสมมติว่า) สมการข้างต้นสามารถเขียนได้อีกแบบว่า ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

ซึ่งเมื่อกระจายทวินามไปถึงลำดับนำในสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่กล่าวมาข้างต้นจึงเป็นเช่นนั้น

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

หากวงโคจรของวัตถุรองรอบวัตถุหลักเป็นรูปวงรี รัศมีฮิลล์จะมีค่าสูงสุดที่จุดไกลสุดของวงโคจร (apocenter)ซึ่งมีค่ามากที่สุด และมีค่าต่ำสุดที่จุดใกล้สุดของวงโคจร (pericenter) ดังนั้น เพื่อความเสถียรของอนุภาคทดสอบ (เช่น ดาวเทียมขนาดเล็ก) จึงจำเป็นต้องพิจารณารัศมีฮิลล์ที่ระยะห่างจากจุดใกล้สุดของวงโคจรด้วย ${\displaystyle r}$

เมื่อพิจารณาตามลำดับชั้นนำรัศมีของ Hill ข้างต้นยังแสดงถึงระยะห่างของจุด Lagrangian L ₁จากจุดรองด้วย ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

ทรงกลมของฮิลล์เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น และแรงอื่นๆ เช่นแรงดันรังสีหรือผลกระทบของยาร์คอฟสกีอาจทำให้วัตถุเคลื่อนที่ออกจากทรงกลมได้ในที่สุด^{[ 11 ]}ดังที่กล่าวไว้ ดาวเทียม (มวลที่สาม) ควรมีขนาดเล็กพอที่แรงโน้มถ่วงของมันจะส่งผลน้อยมาก^{[ 6 ] : หน้า 26 เป็นต้นไป}

ที่ระยะห่างมากจากวัตถุหลักวงโคจรย้อนกลับจะยังคงเสถียรในบริเวณที่กว้างกว่าวงโคจรตามทิศทางเชื่อกันว่านี่เป็นคำอธิบายถึงความโดดเด่นของดวงจันทร์ย้อนกลับรอบดาวพฤหัสบดี อย่างไรก็ตาม ดาวเสาร์มีดวงจันทร์ย้อนกลับ/ตามทิศทางผสมกันอย่างสมดุลกว่า ดังนั้นเหตุผลจึงซับซ้อนกว่า^{[ 12 ]}ในระบบสองดาวเคราะห์ รัศมีฮิลล์ร่วมของดาวเคราะห์ทั้งสองต้องมากกว่าค่าหนึ่งจึงจะเสถียร สำหรับระบบที่มีดาวเคราะห์สามดวงขึ้นไป การจัดเรียงที่ดาวเคราะห์ข้างเคียงอยู่ห่างกันน้อยกว่าสิบเท่าของรัศมีฮิลล์ร่วมจะไม่เสถียรโดยเนื้อแท้ ส่วนใหญ่เป็นเพราะดาวเคราะห์ดวงที่สามทำให้เกิดการรบกวนที่ลดโมเมนตัมเชิงมุม^{[ 13 ]}${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$

เป็นไปได้ที่ทรงกลมฮิลล์จะมีขนาดเล็กมากจนไม่สามารถรักษาวงโคจรไว้รอบวัตถุได้ ตัวอย่างเช่น นักบินอวกาศไม่สามารถโคจรรอบกระสวยอวกาศที่มี น้ำหนัก 104 ตัน ที่วงโคจร 300 กิโลเมตรเหนือพื้นโลกได้ เพราะวัตถุที่มีน้ำหนัก 104 ตัน ที่ระดับความสูงนั้นจะมีทรงกลมฮิลล์ที่มีรัศมีเพียง 120 เซนติเมตร ซึ่งเล็กกว่ากระสวยอวกาศมาก ทรงกลมที่มีขนาดและมวลเช่นนี้จะมีความหนาแน่นมากกว่าตะกั่วและในวงโคจรต่ำของโลกวัตถุทรงกลมจะต้องมีความหนาแน่นมากกว่าตะกั่วจึงจะสามารถบรรจุอยู่ภายในทรงกลมฮิลล์ของตัวเองได้ มิฉะนั้นจะไม่สามารถรักษาวงโคจรไว้ได้ อย่างไรก็ตาม ดาวเทียมที่โคจรไกลออกไปในวงโคจรค้าง ฟ้า จะต้องมีความหนาแน่นเพียงมากกว่า 6% ของความหนาแน่นของน้ำเท่านั้นจึงจะสามารถบรรจุอยู่ภายในทรงกลมฮิลล์ของตัวเองได้

ภายในระบบสุริยะ ดาวเคราะห์ที่มีรัศมีฮิลล์ใหญ่ที่สุดคือดาวเนปจูนโดยมีรัศมี 116 ล้านกิโลเมตร หรือ 0.775 หน่วยดาราศาสตร์ ระยะทางอันไกลโพ้นจากดวงอาทิตย์ช่วยชดเชยมวลที่น้อยเมื่อเทียบกับดาวพฤหัสบดี (ซึ่งมีรัศมีฮิลล์ 53 ล้านกิโลเมตร) อย่างไรก็ตาม หากดาวเคราะห์ดวงที่เก้ามีอยู่จริง โดยสมมติว่ามีมวลประมาณ 10 เท่าของโลก รัศมีประมาณ 15,000 กิโลเมตร ระยะทางประมาณ 500 หน่วยดาราศาสตร์ และความเยื้องศูนย์กลางประมาณ 0.25 ดาวเคราะห์ดวงนี้จะมีรัศมีฮิลล์ 1.2 พันล้านกิโลเมตร มากกว่ารัศมีฮิลล์ของดาวเนปจูนถึง 10 เท่า ดาวเคราะห์น้อยจากแถบดาวเคราะห์น้อยจะมีทรงกลมฮิลล์ที่สามารถมีรัศมีถึง 220,000 กิโลเมตร (สำหรับเซเรส 1 ) และจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อมวลลดลง ทรงกลมฮิลล์ของ66391 Moshupซึ่งเป็นดาวเคราะห์น้อยที่ตัดผ่านวงโคจรของดาวพุธและมีดวงจันทร์ (ชื่อ Squannit) มีรัศมี 22 กิโลเมตร^{[ 14 ]}

ดาวเคราะห์นอกระบบสุริยะ ทั่วไปที่เป็น " ดาวพฤหัสบดีร้อน " HD 209458 b [ ^{15 ]}มีรัศมีทรงกลมฮิลล์ 593,000 กม. ซึ่งประมาณแปดเท่าของรัศมีทางกายภาพประมาณ 71,000 กม. แม้แต่ดาวเคราะห์นอกระบบสุริยะที่อยู่ใกล้ที่สุดที่เล็กที่สุด^CoRoT - 7b ^{[ 16 ]} ก็ยังมีรัศมีทรงกลมฮิลล์ (61,000 กม.) หกเท่าของรัศมีทางกายภาพ (ประมาณ 10,000 กม.) ดังนั้น ดาวเคราะห์เหล่านี้จึงอาจมีดวงจันทร์ขนาดเล็กอยู่ใกล้ๆ แม้ว่าจะไม่ได้อยู่ใน ขอบเขตโรชของแต่ละดวงก็ตาม

ตารางและแผนภูมิลอการิทึมต่อไปนี้แสดงรัศมีของทรงกลมฮิลล์ของวัตถุบางดวงในระบบสุริยะที่คำนวณด้วยสูตรแรกที่ระบุไว้ข้างต้น (รวมถึงความเยื้องศูนย์ของวงโคจร) โดยใช้ค่าที่ได้จากปฏิทินดาราศาสตร์ JPL DE405และจากเว็บไซต์การสำรวจระบบสุริยะของ NASA ^{[ 17 ]}

• ทรงกลมลาปลาซ  – บริเวณในอวกาศที่วงโคจรของดาวเทียมมีเสถียรภาพ
• เครือข่ายการขนส่งระหว่างดาวเคราะห์  – เส้นทางพลังงานต่ำในระบบสุริยะ
• ปัญหาหลายวัตถุ(n -body problem  ) – ปัญหาในวิชาฟิสิกส์และกลศาสตร์ดาราศาสตร์
• บริเวณโรช (Roche lobe)  – บริเวณที่แรงโน้มถ่วงยึดเหนี่ยวกันรอบดาวฤกษ์ในระบบดาวคู่
• ขอบเขตอิทธิพล (ดาราศาสตร์พลศาสตร์)  – บริเวณในอวกาศที่ถูกครอบงำด้วยแรงโน้มถ่วงของวัตถุใดวัตถุหนึ่ง
• ขอบเขตอิทธิพล (หลุมดำ)  – บริเวณที่หลุมดำมวลมหาศาลมีอิทธิพลเหนือกาแล็กซีด้วยแรงโน้มถ่วง

• เดอ พาเตอร์, อิมเค และ ลิสซาวเออร์, แจ็ค (2015). "พลศาสตร์ (ปัญหาวัตถุสามชิ้น การรบกวน และการสั่นพ้อง)" วิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์ (ฉบับที่ 2). เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า  28–30 , 34. ISBN 9781316195697สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• เดอ พาเตอร์, อิมเค และ ลิสเซาเออร์, แจ็ค (2015). "การก่อตัวของดาวเคราะห์ (การก่อตัวของดาวเคราะห์ยักษ์ ดาวบริวารของดาวเคราะห์ และดาวเคราะห์น้อย)". วิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์ (ฉบับที่ 2). เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 539, 544. ISBN 9781316195697สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Gurzadyan, Grigor A. ( 2020). "ขอบเขตแห่งแรงดึงดูด ขอบเขตแห่งการกระทำ และขอบเขตของฮิลล์" ทฤษฎีการบินระหว่างดาวเคราะห์โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC หน้า  258–263 ISBN 9781000116717สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566
• Gurzadyan, Grigor A. (2020). "ขีดจำกัดของโรช" ทฤษฎีการบินระหว่างดาวเคราะห์โบคา ราตัน, ฟลอริดา: CRC Press. หน้า 263f. ISBN 9781000116717สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566
• Ida, S.; Kokubo, E. & Takeda, T. (2012). "การจำลองการก่อตัวของดวงจันทร์ด้วย N-Body". ใน Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (บรรณาธิการ). กระบวนการชนกันในระบบสุริยะ . ห้องสมุดฟิสิกส์ดาราศาสตร์และวิทยาศาสตร์อวกาศ. เล่มที่ 261. เบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี: Springer Science & Business Media. หน้า 206, 209f. ISBN 9789401007122สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ip, W.-H. & Fernandez, JA (2012). "ต้นกำเนิดจากการสะสมมวลของดาวเคราะห์ยักษ์และผลที่ตามมา" ใน Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (บรรณาธิการ). กระบวนการชนกันในระบบสุริยะ . ห้องสมุดฟิสิกส์ดาราศาสตร์และวิทยาศาสตร์อวกาศ. เล่มที่ 261. เบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี: Springer Science & Business Media. หน้า 173f. ISBN 9789401007122สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Asher, DJ; Bailey, ME & Steel (2012). "บทบาทของแรงที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วงในการแยกวงโคจรออกจากดาวพฤหัสบดี" ใน Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (บรรณาธิการ). กระบวนการชนกันในระบบสุริยะ . ห้องสมุดฟิสิกส์ดาราศาสตร์และวิทยาศาสตร์อวกาศ. เล่มที่ 261. เบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี: Springer Science & Business Media. หน้า 122. ISBN 9789401007122สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่22 กรกฎาคม 2566{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• นักบินอวกาศสามารถโคจรรอบกระสวยอวกาศได้หรือไม่?
• ดวงจันทร์ที่ขึ้นไปบนเนินเขา แต่ตกลงมาบนดาวเคราะห์(เก็บถาวรเมื่อ 30 กันยายน 2008 ที่Wayback Machine)