อนุญาต${\displaystyle \mu =\mathbb {E} [X]}$เนื่องจากข้อสรุปเกี่ยวข้องกับ${\displaystyle ba}$โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราอาจแทนที่ได้${\displaystyle X}$โดย${\displaystyle X-\mu }$,${\displaystyle a}$โดย${\displaystyle a-\mu }$, และ${\displaystyle b}$โดย${\displaystyle b-\mu }$ซึ่งทำให้เกิดความแตกต่าง${\displaystyle ba}$ไม่เปลี่ยนแปลง และสมมติว่า${\displaystyle \mathbb {E} [X]=0}$ดังนั้น${\displaystyle a\leq 0\leq b}$.

เนื่องจาก${\displaystyle e^{\lambda x}}$เป็นฟังก์ชันนูนของ${\displaystyle x}$เรามีสิ่งนั้นสำหรับทุกคน${\displaystyle x\in [a,b]}$,

${\displaystyle e^{\lambda x}\leq {\frac {b-x}{b-a}}e^{\lambda a}+{\frac {x-a}{b-a}}e^{\lambda b}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[e^{\lambda X}\right]&\leq {\frac {b-\mathbb {E} [X]}{b-a}}e^{\lambda a}+{\frac {\mathbb {E} [X]-a}{b-a}}e^{\lambda b}\\&={\frac {b}{b-a}}e^{\lambda a}+{\frac {-a}{b-a}}e^{\lambda b}\\&=e^{L(\lambda (b-a))},\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle L(h)={\frac {ha}{b-a}}+\ln(1+{\frac {a-e^{h}a}{b-a}})}$โดยการคำนวณอนุพันธ์ เราพบว่า

${\displaystyle L(0)=L'(0)=0}$และ${\displaystyle L''(h)=-{\frac {abe^{h}}{(b-ae^{h})^{2}}}}$.

จาก อสมการ AMGMเราจึงเห็นว่า${\displaystyle L''(h)\leq {\frac {1}{4}}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle h}$และด้วยเหตุนี้ จากทฤษฎีบทของเทย์เลอร์จึงมีบางสิ่ง${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$โดยที่

${\displaystyle L(h)=L(0)+hL'(0)+{\frac {1}{2}}h^{2}L''(h\theta )\leq {\frac {1}{8}}h^{2}.}$

ดังนั้น,${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{\lambda X}\right]\leq e^{{\frac {1}{8}}\lambda ^{2}(b-a)^{2}}}$.