โฮลท์สมาร์ก
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น การแจกแจงแบบ α- เสถียร สมมาตรที่มีตัวประกอบมาตราส่วนหนึ่งหน่วย; α = 1.5 (เส้นสีน้ำเงิน) แสดงถึงการแจกแจงแบบ Holtsmark
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	c ∈ (0, ∞) —พารามิเตอร์มาตราส่วน μ ∈ (−∞, ∞) —พารามิเตอร์ตำแหน่ง
สนับสนุน	x ∈ R
พีดี	สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกโปรดดูในเนื้อหา
หมายถึง	μ
ค่ามัธยฐาน	μ
โหมด	μ
ความแปรปรวน	อนันต์
ความเบี่ยงเบน	ไม่ได้กำหนด
ความโค้งส่วนเกิน	ไม่ได้กำหนด
เอ็มจีเอฟ	ไม่ได้กำหนด
ซีเอฟ	${\displaystyle \exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right]}$

การแจกแจงโฮลส์มาร์ก (แบบหนึ่งมิติ) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องการแจกแจงโฮลส์มาร์กเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงเสถียรโดยมีดัชนีความเสถียรหรือพารามิเตอร์รูปร่างเท่ากับ 3/2 และพารามิเตอร์ความเบ้เท่ากับศูนย์ เนื่องจากเท่ากับศูนย์ การแจกแจงจึงสมมาตร และเป็นตัวอย่างของการแจกแจงอัลฟาเสถียรแบบสมมาตร การแจกแจงโฮลส์มาร์กเป็นหนึ่งในตัวอย่างไม่กี่ตัวอย่างของการแจกแจงเสถียรที่ทราบสูตรปิดของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของมันไม่สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานแต่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นจะแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

การกระจายแบบ Holtsmark มีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์พลาสมาและฟิสิกส์ดาราศาสตร์^{[ 1 ]}ในปี พ.ศ. 2462 นักฟิสิกส์ชาวนอร์เวย์Johan Peter Holtsmarkได้เสนอการกระจายนี้เป็นแบบจำลองสำหรับสนามผันผวนในพลาสมาเนื่องจากการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับแรงคูลอมบ์ประเภทอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองของวัตถุที่มีแรงโน้มถ่วง และด้วยเหตุนี้จึงมีความสำคัญในฟิสิกส์ดาราศาสตร์^{[ 3 ] [ 4 ]}

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจายแบบเสถียรสมมาตรคือ:

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{\alpha }\right],}$$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์รูปร่างหรือดัชนีความเสถียรเป็นพารามิเตอร์ตำแหน่งและcเป็นพารามิเตอร์ มาตราส่วน${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$

เนื่องจากฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจง Holtsmark คือ: ^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha =3/2,}$

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{3/2}\right].}$$

เนื่องจากการกระจายแบบ Holtsmark เป็นการกระจายแบบเสถียรที่มีα > 1จึงแสดงถึงค่าเฉลี่ยของการกระจาย^{[ 6 ] [ 7 ]}เนื่องจากβ = 0จึงแสดงถึงค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมของการกระจายด้วย และเนื่องจากα < 2ความแปรปรวนของการกระจายแบบ Holtsmark จึงเป็นอนันต์^{[ 6 ]}โมเมนต์ที่สูงกว่าทั้งหมดของการกระจายก็เป็นอนันต์เช่นกัน^{[ 6 ]}เช่นเดียวกับการกระจายแบบเสถียรอื่นๆ (นอกเหนือจากการกระจายแบบปกติ) เนื่องจากความแปรปรวนเป็นอนันต์ การกระจายตัวในการกระจายจึงสะท้อนโดยพารามิเตอร์มาตราส่วน c แนวทางอื่นในการอธิบายการกระจายตัวของการกระจายคือผ่านโมเมนต์เศษส่วน^{[ 6 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

โดยทั่วไปฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น f ( x )ของการแจกแจงความน่าจะเป็น แบบต่อเนื่อง สามารถหาได้จากฟังก์ชันลักษณะเฉพาะโดย:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$$

การแจกแจงเสถียรส่วนใหญ่ไม่มีสูตรปิดที่ทราบสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น มีเพียงการแจกแจงปกติโคชีและ เลวีเท่านั้น ที่มีสูตรปิดที่ทราบในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน [ ^{1 ] การ}แจกแจงโฮลส์มาร์กเป็นการแจกแจงเสถียรแบบสมมาตรหนึ่งในสองแบบที่มีสูตรปิดที่ทราบในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก [ ^{1 ] เมื่อ}เท่ากับ0 และพารามิเตอร์มาตราส่วนเท่ากับ 1 การแจกแจงโฮลส์มาร์กจะมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {1}{\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {5}{3}}\right)}\;{_{2}F_{3}}\!\left({\frac {5}{12}},{\frac {11}{12}};{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {5}{6}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right)\\&{}\quad {}-{\frac {x^{2}}{3\pi }}\;{_{3}F_{4}}\!\left({\frac {3}{4}},{1},{\frac {5}{4}};{\frac {2}{3}},{\frac {5}{6}},{\frac {7}{6}},{\frac {4}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right)\\&{}\quad {}+{\frac {7x^{4}}{81\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {4}{3}}\right)}\;{_{2}F_{3}}\!\left({\frac {13}{12}},{\frac {19}{12}};{\frac {7}{6}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right),\end{aligned}}}$$

โดยที่ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกคือ^{[ 1 ]} นอกจากนี้ ยังมี^{[ 8 ]}${\displaystyle {\Gamma (x)}}$${\displaystyle _{m}F_{n}(\cdot )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&=-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~{_{2}F_{2}}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right]\\[2pt]&\quad +{\frac {4}{3^{5/3}}}\left[\operatorname {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\operatorname {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}$$

โดยที่ฟังก์ชัน Airy ชนิดที่สองและอนุพันธ์ของมันคือฟังก์ชัน Airy อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเป็นจำนวนเชิงซ้อนจินตนาการบริสุทธิ์ แต่ผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองเป็นจำนวนจริง สำหรับค่าบวก ฟังก์ชันจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Bessel อันดับเศษส่วนและและอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Bessel อันดับเศษส่วนและดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathrm {Bi} }$${\displaystyle \mathrm {Bi} '}$${\displaystyle _{2}F_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)}$${\displaystyle J_{-1/3}}$${\displaystyle J_{1/3}}$${\displaystyle J_{-2/3}}$${\displaystyle J_{2/3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}+J_{2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&+{\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}-J_{1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right].\end{aligned}}}$$