ในวิทยาศาสตร์การมองเห็น เดิมที ฮอรอปเตอร์ถูกนิยามในเชิงเรขาคณิตว่าเป็นตำแหน่งของจุดในอวกาศที่ทำมุมเดียวกันที่แต่ละตาเมื่อเทียบกับ จุด ตรึงสายตาแต่ในปัจจุบันจากการศึกษาการมองเห็นแบบสอง ตา ฮอรอปเตอร์ ถูกนิยามว่าเป็นตำแหน่งของจุดในอวกาศที่มีความคลาดเคลื่อนเท่ากับจุดตรึงสายตา ในทางทฤษฎีสามารถนิยามได้ว่าเป็นจุดในอวกาศที่ฉายภาพลงบนจุดที่สอดคล้องกันในเรตินา ทั้งสองข้าง กล่าวคือ จุดที่เหมือนกันทางกายวิภาค ส่วนฮอรอปเตอร์นั้นสามารถวัดได้ในทางปฏิบัติ โดยกำหนดตามเกณฑ์บางอย่าง

แนวคิดของฮอรอปเตอร์สามารถขยายออกไปได้เป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดในอวกาศที่ตรงตามเงื่อนไขเฉพาะประการหนึ่ง:

• เส้นฮอรอปเตอร์แบบสองตาคือตำแหน่งของจุดไอโซดิสพาริตีในอวกาศ
• เส้นฮอรอปเตอร์ที่ควบคุมการเคลื่อนไหวของดวงตาคือตำแหน่งของจุดไอโซเวอร์เจนซ์ในอวกาศ

เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ ที่อธิบายหลักการทำงานของระบบการมองเห็น ก็สามารถให้คำอธิบายเชิงทฤษฎีของปรากฏการณ์ได้ การวัดด้วยการทดลองทางจิตกายภาพมักจะให้คำจำกัดความเชิงประจักษ์ที่เบี่ยงเบนเล็กน้อยจากคำจำกัดความเชิงทฤษฎี ทฤษฎีพื้นฐานคือ การเบี่ยงเบนนี้แสดงถึงการปรับตัวของระบบการมองเห็นให้เข้ากับความสม่ำเสมอที่สามารถพบได้ในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติ^{[ 1 ] [ 2 ]}

เส้นฮอรอปเตอร์ซึ่งเป็นชุดจุดพิเศษของการมองเห็นแบบเดี่ยวได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกในศตวรรษที่ 11 โดยอิบนุ อัล-ฮัยธัมซึ่งเป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในชื่อ "อัลฮาเซน" ^{[ 3 ]}เขาสร้างต่อยอดจากงานการมองเห็นแบบสองตาของปโตเลมี^{[ 4 ]}และค้นพบว่าวัตถุที่อยู่บนเส้นแนวนอนที่ผ่านจุดตรึงสายตาจะทำให้เกิดภาพเดียว ในขณะที่วัตถุที่อยู่ห่างจากเส้นนี้ในระยะที่เหมาะสมจะทำให้เกิดภาพสองภาพ ดังนั้นอัลฮาเซนจึงสังเกตเห็นความสำคัญของบางจุดในขอบเขตการมองเห็นแต่ไม่ได้กำหนดรูปร่างที่แน่นอนของเส้นฮอรอปเตอร์ และใช้การมองเห็นแบบเดี่ยวเป็นเกณฑ์

คำว่าhoropterถูกนำมาใช้โดยFranciscus Aguiloniusในหนังสือเล่มที่สองจากทั้งหมดหกเล่มเกี่ยวกับทัศนศาสตร์ในปี ค.ศ. 1613 ^{[ 5 ]}ในปี ค.ศ. 1818 Gerhard Viethได้โต้แย้งจากเรขาคณิตแบบยุคลิดว่า horopter ต้องเป็นวงกลมที่ผ่านจุดตรึงสายตาและจุดโนดัลของดวงตาทั้งสองข้าง ไม่กี่ปีต่อมาJohannes Müllerได้ข้อสรุปที่คล้ายกันสำหรับระนาบแนวนอนที่ประกอบด้วยจุดตรึงสายตา แม้ว่าเขาจะคาดหวังว่า horopter จะเป็นพื้นผิวในอวกาศ (กล่าวคือ ไม่จำกัดเฉพาะระนาบแนวนอน) horopter ทางทฤษฎี/เรขาคณิตในระนาบแนวนอนกลายเป็นที่รู้จักในชื่อวงกลม Vieth-Müllerอย่างไรก็ตาม โปรดดูส่วนถัดไปเรื่อง horopter ทางทฤษฎีสำหรับข้ออ้างที่ว่านี่เป็นกรณีของการระบุตัวตนที่ผิดพลาดมาประมาณ 200 ปีแล้ว

ในปี ค.ศ. 1838 ชาร์ลส์ วีทสโตนได้ประดิษฐ์สเตอริโอสโคปทำให้เขาสามารถสำรวจฮอรอปเตอร์เชิงประจักษ์ได้^{[ 6 ] [ 7 ]} เขาพบว่ามีจุดจำนวนมากในอวกาศที่ให้ภาพเดียว ซึ่งแตกต่างจากฮอรอปเตอร์เชิงทฤษฎีมาก และผู้เขียนคนต่อมาก็พบในทำนองเดียวกันว่าฮอรอปเตอร์เชิงประจักษ์เบี่ยงเบนจากรูปแบบที่คาดหวังบนพื้นฐานของเรขาคณิตอย่างง่าย เมื่อไม่นานมานี้ ได้มีการให้คำอธิบายที่น่าเชื่อถือสำหรับการเบี่ยงเบนนี้ โดยแสดงให้เห็นว่าฮอรอปเตอร์เชิงประจักษ์นั้นปรับให้เข้ากับสถิติของความเหลื่อมล้ำของเรตินาที่พบได้ทั่วไปในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติ^{[ 1 ] [ 2 ]}ด้วยวิธีนี้ ระบบการมองเห็นจึงสามารถปรับทรัพยากรให้เหมาะสมกับสิ่งเร้าที่มีแนวโน้มที่จะได้รับประสบการณ์มากกว่า

ต่อมาHermann von HelmholtzและEwald Heringได้คิดค้นรูปร่างที่แน่นอนของ horopter ในเวลาเกือบพร้อมกัน คำอธิบายของพวกเขาระบุส่วนประกอบสองส่วนสำหรับ horopter เพื่อการตรึงแบบสมมาตรที่ใกล้กว่าอนันต์ ส่วนแรกอยู่ในระนาบที่ประกอบด้วยจุดตรึง (ไม่ว่าจะอยู่ที่ใด) และจุดปมสองจุดของดวงตา ในอดีต ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด horopteric ในระนาบนี้ถือว่าเป็นวงกลม ( วงกลม Vieth-Müller ) ที่ลากจากจุดปมหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งในอวกาศและผ่านจุดตรึง จนกระทั่ง Howarth (2011) ^{[ 8 ]}ตั้งข้อสังเกตว่ามีเพียงส่วนของวงกลมที่ประกอบด้วยจุดตรึงเท่านั้นที่ทำมุมเดียวกันที่ดวงตาทั้งสองข้าง ส่วนประกอบที่สองคือเส้นตรง ( เส้น Prévost–Burckhardt ) ซึ่งตั้งฉากกับส่วนโค้งนี้ในระนาบกลางตัดที่จุดกึ่งกลางระหว่างดวงตาทั้งสองข้าง (ซึ่งอาจเป็นหรือไม่เป็นจุดตรึงก็ได้) ^{[ 8 ]}รูปทรงเรขาคณิตของฮอรอปเตอร์ที่เป็นส่วนโค้งในระนาบการตรึงและเส้นตั้งฉากจะคงที่โดยประมาณเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของดวงตาตราบใดที่ดวงตายังคงตรึงอยู่ที่ใดที่หนึ่งบนเส้นสองเส้นนี้ เมื่อดวงตาตรึงอยู่ที่ใดก็ตามนอกเหนือจากเส้นสองเส้นนี้ ฮอรอปเตอร์ตามทฤษฎีจะมีรูปร่างเป็นลูกบาศก์บิดเบี้ยวที่ผ่านจุดตรึงและมีเส้นกำกับไปยังเส้นสองเส้นที่ปลายสุด^{[ 9 ]} (ไม่ว่าในกรณีใด ฮอรอปเตอร์จะไม่กลายเป็นทรงกระบอกที่ผ่านวงกลม Vieth-Müller หรือทรงโดนัทที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดปมของดวงตาทั้งสองข้าง ดังที่มักเข้าใจกันโดยทั่วไป) หากดวงตาตรึงอยู่ที่ใดก็ตามที่ระยะอนันต์ วงกลม Vieth-Müller จะมีรัศมีอนันต์ และฮอรอปเตอร์จะกลายเป็นระนาบสองมิติที่ผ่านเส้นตรงฮอรอปเตอร์สองเส้น

โดยละเอียด การระบุ horopter ทางทฤษฎี/เรขาคณิตกับวงกลม Vieth-Müller เป็นเพียงการประมาณเท่านั้น Gulick และ Lawson (1976) ^{[ 10 ]} ชี้ให้เห็น ว่าการประมาณทางกายวิภาคของ Müller ที่ว่าจุด nodal และศูนย์กลางการหมุนของดวงตาตรงกันนั้นควรได้รับการปรับปรุง น่าเสียดายที่ความพยายามของพวกเขาในการแก้ไขสมมติฐานนี้มีข้อบกพร่อง ดังที่แสดงให้เห็นใน Turski (2016) ^{[ 11 ]}การวิเคราะห์นี้แสดงให้เห็นว่า สำหรับจุดตรึงที่กำหนด จะมีวงกลม horopter ที่แตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับแต่ละตัวเลือกที่แตกต่างกันของตำแหน่งจุด nodal ยิ่งไปกว่านั้น หากเปลี่ยนจุดตรึงตามวงกลม Vieth-Müller ที่กำหนด โดยที่ค่า vergence ยังคงที่ จะได้ horopter ตระกูลอนันต์ดังกล่าว ตราบใดที่จุด nodal เบี่ยงเบนจากศูนย์กลางการหมุนของดวงตา ข้อความเหล่านี้เป็นผลมาจาก ทฤษฎีบท มุมกลางและข้อเท็จจริงที่ว่าจุดสามจุดที่ไม่เรียงกันจะให้วงกลมที่ไม่ซ้ำกัน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่า สำหรับการตรึงตามวงกลม Vieth-Müller ที่กำหนด วงกลม horopter ที่สอดคล้องกันทั้งหมดจะตัดกันที่จุดบรรจบสมมาตร^{[ 11 ]}ผลลัพธ์นี้บ่งชี้ว่าสมาชิกแต่ละตัวของตระกูล horopter ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นประกอบด้วยวงกลมในระนาบการตรึงและเส้นตรงตั้งฉากที่ผ่านจุดบรรจบสมมาตร^{[ 8 ]} (ตั้งอยู่บนวงกลม) ตราบใดที่ดวงตาอยู่ในตำแหน่งหลักหรือตำแหน่งรอง

เมื่อดวงตาอยู่ในตำแหน่งที่สามที่ห่างจากเส้น horopter พื้นฐานสองเส้น จะต้องคำนึงถึงความคลาดเคลื่อนในแนวตั้งอันเนื่องมาจากการขยายที่แตกต่างกันของระยะทางเหนือหรือใต้เส้นวงกลม Vieth-Müller ดังที่ Helmholtz ได้คำนวณไว้ ในกรณีนี้ horopter จะกลายเป็นเกลียววงเดียวที่ผ่านจุดตรึงและบรรจบกันที่ horopter แนวตั้งที่ปลายบนและล่าง และผ่านจุดปมของดวงตาทั้งสองข้าง^{[ 9 ] [ 12 ]}รูปแบบนี้ได้รับการทำนายโดย Helmholtz และได้รับการยืนยันในภายหลังโดย Solomons ^{[ 13 ] [ 14 ]}ในกรณีทั่วไปที่รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่าดวงตาหมุนรอบแกนเมื่อมองเหนือหรือใต้เส้นวงกลม horopter หลัก ส่วนประกอบ horopter ทางทฤษฎีของวงกลมและเส้นตรงจะหมุนในแนวตั้งรอบแกนของจุดปมของดวงตา^{[ 9 ] [ 15 ]}

ดังที่ Wheatstone (1838) สังเกต^{[ 7 ]} horopter เชิงประจักษ์ซึ่งกำหนดโดยการมองเห็นแบบเดียวมีขนาดใหญ่กว่า horopter เชิงทฤษฎีมากPeter Ludvig Panum ได้ศึกษาเรื่องนี้ ในปี 1858 เขาเสนอว่าจุดใดๆ ในเรตินาหนึ่งอาจทำให้เกิดการมองเห็นแบบเดียวกับจุดใดๆ ภายในบริเวณวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่สอดคล้องกันในเรตินาอีกข้างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ^{พื้นที่}รวมของ Panum [ ^{16 ]}หรือเรียกสั้นๆ ว่าพื้นที่ของ Panum [ ^{17 ]}แม้ว่าเมื่อเร็วๆ นี้จะถูกตีความว่าหมายถึงพื้นที่ในระนาบแนวนอนรอบวงกลม Vieth-Müller ซึ่งจุดใดๆ ก็ตามปรากฏเป็นแบบ ^{เดียว}

การศึกษาเชิงประจักษ์ในยุคแรกๆ เหล่านี้ใช้เกณฑ์การมองเห็นแบบเดียว หรือการไม่มีภาพซ้อนเพื่อกำหนดฮอรอปเตอร์ ปัจจุบัน ฮอรอปเตอร์มักถูกกำหนดโดยเกณฑ์ทิศทางการมองเห็นที่เหมือนกัน (คล้ายกับหลักการของฮอรอปเตอร์การเคลื่อนไหวที่ปรากฏซึ่งระบุว่าทิศทางการมองเห็นที่เหมือนกันจะไม่ทำให้เห็นการเคลื่อนไหว) เกณฑ์อื่นๆ ที่ใช้กันมาตลอดหลายปี ได้แก่ฮอรอปเตอร์ระนาบขนานหน้าผากที่ปรากฏ ฮอรอปเตอร์ระยะห่างเท่ากันฮอรอปเตอร์การทดสอบการตกหรือฮอรอปเตอร์เส้นดิ่งแม้ว่าฮอรอปเตอร์ต่างๆ เหล่านี้จะวัดโดยใช้เทคนิคที่แตกต่างกันและมีแรงจูงใจทางทฤษฎีที่แตกต่างกัน แต่รูปร่างของฮอรอปเตอร์ยังคงเหมือนกันไม่ว่าเกณฑ์ใดจะถูกใช้ในการกำหนดก็ตาม

โดยทั่วไปแล้ว รูปทรงของฮอรอปเตอร์เชิงประจักษ์พบว่าเบี่ยงเบนจากฮอรอปเตอร์เชิงเรขาคณิต สำหรับฮอรอปเตอร์แนวนอน เรียกว่าการเบี่ยงเบนของ Hering-Hillebrandฮอรอปเตอร์เชิงประจักษ์จะแบนกว่าที่คาดการณ์จากเรขาคณิตที่ระยะการตรึงสายตาที่สั้น และจะโค้งนูนขึ้นเมื่อระยะการตรึงสายตาไกลขึ้น ยิ่งไปกว่านั้น ฮอรอปเตอร์แนวตั้งพบว่าเอียงไปด้านหลังประมาณ 2 องศาเมื่อเทียบกับทิศทางที่คาดการณ์ไว้ (ตั้งฉากกับระนาบการตรึงสายตา) ทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังการเบี่ยงเบนเหล่านี้คือ ระบบการมองเห็นแบบสองตาได้รับการปรับให้เข้ากับความไม่สม่ำเสมอที่อาจพบได้ในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในคอมพิวเตอร์วิชั่นฮอรอปเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นเส้นโค้งของจุดในพื้นที่ 3 มิติที่มีการฉาย ภาพพิกัดที่เหมือนกัน เมื่อเทียบกับกล้องสองตัวที่มีพารามิเตอร์ภายในเดียวกัน^{[ 18 ]}โดยทั่วไปแล้วจะเป็นลูกบาศก์บิด [ ^{19 ] ลูกบาศก์}บิดสามารถแสดงได้แบบพาราเมตริกเป็นx  =  x (θ), y  =  y (θ), z  =  z (θ) โดยที่x (θ), y (θ), z (θ) เป็น พหุนามดีกรีสามอิสระสามตัว^{[ 20 ]}ในบางการกำหนดค่าที่เสื่อมสภาพ ฮอรอปเตอร์จะลดลงเหลือเส้นโค้งรูปกรวย^{[ 19 ]}