เมทริกซ์สมมาตรบวกกึ่งกำหนดทุกเมทริกซ์${\textstyle {\boldsymbol {M}}}$มีรากที่สองสมมาตรบวกกึ่งกำหนด${\textstyle {\boldsymbol {M}}^{1/2}}$และถ้าเมทริกซ์นั้นไม่ใช่เมทริกซ์เอกฐาน เมทริกซ์ผกผันของมันจะมีรากที่สองเป็นจำนวนบวกแน่นอน${\textstyle {\boldsymbol {M}}^{-1/2}}$.

เนื่องจาก${\textstyle \operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right)=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\mathbf {x} }}}$เรามี $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} \left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\overline {\boldsymbol {x}}}\right)&=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\Big (}\operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right){\Big )}\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\right)^{T}\\[5pt]&=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\Big (}\operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right){\Big )}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\text{ because }}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}{\text{ is symmetric}}\\[5pt]&=\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{1/2}\right)\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{1/2}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\right)\\[5pt]&=\mathbf {I} _{p}.\end{aligned}}}$$ เพราะเหตุนี้$${\displaystyle ({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})=\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1/2}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})\right)^{T}\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1/2}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})\right)}$$ และนี่ก็คือผลรวมของกำลังสองของ${\textstyle p}$ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานอิสระ ดังนั้นการแจกแจงจึงเป็น${\textstyle \chi _{p}^{2}.}$

เพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ จงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}$ และหาฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่ม${\displaystyle \mathbf {y} =({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }_{\bar {\mathbf {x} }}^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$เช่นเคย ขอให้${\displaystyle |\cdot |}$แสดงถึงดีเทอร์มิแนนต์ของอาร์กิวเมนต์ ดังเช่นใน${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|}$.

ตามนิยามของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ เรามี: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{\mathbf {y} }(\theta )&=\operatorname {E} e^{i\theta \mathbf {y} },\\[5pt]&=\operatorname {E} e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}\\[5pt]&=\int e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}(2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ ภายในอินทิกรัลมีเลขชี้กำลังสองตัว ดังนั้นโดยการคูณเลขชี้กำลังเหล่านั้น เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int (2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ ทีนี้ลองพิจารณาคำศัพท์นี้ดู${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}}$ออกจากอินทิกรัล แล้วคูณทุกอย่างด้วยเอกลักษณ์${\displaystyle I=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}\;\cdot \;|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}}$โดยนำหนึ่งในนั้นเข้ามาอยู่ภายในอินทิกรัล: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\int (2\pi )^{-p/2}|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ แต่พจน์ภายในอินทิกรัลนั้นคือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติหลายตัวแปรที่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม${\displaystyle ({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n=\left[n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})\right]^{-1}}$และหมายความว่า${\displaystyle \mu }$ดังนั้นเมื่อทำการอินทิเกรตทั้งหมด${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p}}$มันจะต้องยอมจำนน${\displaystyle 1}$ตามหลักการพื้นฐานของความน่าจะเป็นดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{n}}\right|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\\&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{\cancel {n}}}\cdot {\cancel {n}}\cdot {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right|^{1/2}\\&=\left|\left[({\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}-2i\theta {\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}){\cancel {\boldsymbol {\Sigma }}}\right]^{-1}\right|^{1/2}\\&=|\mathbf {I} _{p}-2i\theta \mathbf {I} _{p}|^{-1/2}\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle I_{p}}$เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ${\displaystyle p}$สุดท้าย เมื่อคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ เราจะได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=(1-2i\theta )^{-p/2}\end{aligned}}}$$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสำหรับการแจกแจงไคกำลังสองที่มี${\displaystyle p}$ระดับความเป็นอิสระ${\displaystyle \;\;\;\blacksquare }$