ในทฤษฎีระบบพลวัตเซตย่อย Λ ของแมนิโฟลด์เรียบMกล่าวได้ว่ามีโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกเมื่อเทียบกับแผนที่เรียบfถ้าบันเดิลสัมผัส ของมัน สามารถแยกออกเป็นสองบันเดิลย่อย ที่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยบันเดิลหนึ่งหดตัวและอีกบันเดิลหนึ่งขยายตัวภายใต้fเมื่อเทียบกับเมตริกแบบรีมันน์ บางอย่าง บนMนิยามที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับกรณีของการไหลด้วย

ในกรณีพิเศษที่แมนิโฟลด์M ทั้งหมด เป็นไฮเปอร์โบลิก แผนที่fเรียกว่า ได ฟ์ ฟีโอเมอร์ฟิซึมแบบอโนซอฟพลวัตของfบนเซตไฮเปอร์โบลิก หรือพลวัตไฮเปอร์โบลิกแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของเสถียรภาพเชิงโครงสร้าง เฉพาะที่ และได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ดูได้จากสัจพจน์ A

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เรียบกระชับ , f : M → Mเป็นดิฟเฟโอโมฟิซึมและDf : TM → TMเป็นอนุพันธ์ของfเซตย่อย Λ ของM ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ fเรียกว่าเป็นเซตไฮเปอร์โบลิกหรือมีโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกถ้าการจำกัดของบันเดิลสัมผัสของM ไปยัง Λ ยอมรับการแยกออกเป็นผลรวมวิทนีย์ ของบันเดิลย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Dfสอง บันเดิ ล เรียกว่าบันเดิลเสถียรและบันเดิลไม่เสถียรและใช้สัญลักษณ์E ^sและE ^uเมื่อเทียบกับเมตริกแบบรีมันน์ บางตัว บนMการจำกัดของDfไปยังE ^s จะต้องเป็นการ หดตัว และการจำกัดของDfไปยังE ^uจะต้องเป็นการขยาย ดังนั้นจึงมีค่าคงที่ 0 < λ < 1 และc > 0 เช่นนั้น

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}}$

และ

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$และสำหรับทุกคน${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$${\displaystyle x\in \Lambda }$

และ

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle v\in E^{s}}$${\displaystyle n>0}$

และ

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$สำหรับทุกคนและ.${\displaystyle v\in E^{u}}$${\displaystyle n>0}$

ถ้า Λ เป็นไฮเปอร์โบลิกแล้ว จะมีเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งc  = 1 อยู่ — เมตริกดังกล่าวเรียกว่าเมตริกแบบปรับตัวได้

• จุดสมดุลไฮเปอร์โบลิกpคือจุดคงที่หรือจุดสมดุล ของfโดยที่ ( Df ) _pไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์ เท่ากับ 1 ในกรณีนี้ Λ = { p }
• โดยทั่วไปแล้ววงโคจรคาบของ ฟังก์ชัน fที่มีคาบnจะเป็นไฮเปอร์โบลิกก็ต่อเมื่อDf ⁿที่จุดใดๆ บนวงโคจรไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 และการตรวจสอบเงื่อนไขนี้ที่จุดใดจุดหนึ่งบนวงโคจรก็เพียงพอแล้ว