ส่วนไฮเปอร์โบลิกคือบริเวณบนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ล้อมรอบด้วยไฮเปอร์โบลาและรังสี สองเส้น จากจุดกำเนิดไปยังไฮเปอร์โบลานั้น ตัวอย่างเช่น จุดสองจุด( a , 1/ a )และ( b , 1/ b )บนไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้าxy = 1หรือบริเวณที่สอดคล้องกันเมื่อไฮเปอร์โบลานี้ถูกปรับขนาดใหม่และเปลี่ยนทิศทาง โดย การหมุนโดยที่จุดศูนย์กลางยังคงอยู่ที่จุดกำเนิด เช่นเดียวกับไฮเปอร์โบลาหน่วยส่วนไฮเปอร์โบลิกในตำแหน่งมาตรฐานจะมีค่าa = 1และb > 1

พื้นที่ ของส่วนโค้งไฮเปอร์โบลิก ที่มีเครื่องหมายกำกับไว้ถูกนำมาใช้กำหนดมุมไฮเปอร์โบลิกซึ่งคล้ายคลึงกับวิธีที่พื้นที่ของส่วนโค้งวงกลมกำหนดมุมวงกลม กล่าวอีก นัยหนึ่งมุมไฮเปอร์โบลิกเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกในทำนองเดียวกับที่มุมวงกลมเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน วงกลม

เมื่ออยู่ในตำแหน่งมาตรฐาน ส่วนของเส้นโค้งไฮเปอร์โบลาจะกำหนดเป็นรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลาซึ่ง เป็น รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี จุดยอดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด ฐานอยู่บนเส้นทแยงมุมy  =  xและจุดยอดที่สามอยู่บนเส้นโค้งไฮเปอร์โบลา

${\displaystyle xy=1,\,}$

โดยด้านตรงข้ามมุมฉากคือส่วนของเส้นตรงจากจุดกำเนิดไปยังจุด ( x, y ) บนไฮเปอร์โบลา ความยาวของฐานของสามเหลี่ยมนี้คือ

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

และระดับความสูงคือ

${\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh คุณ,\,}$

โดยที่uคือมุมไฮเปอร์โบลิก ที่เหมาะสม นิยามทั่วไปของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกสามารถเห็นได้จากด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่วาดด้วยพิกัดไฮเปอร์โบลิกเมื่อความยาวของด้านประกอบมุมฉากเหล่านี้หารด้วยรากที่สองของ 2จะสามารถวาดเป็นไฮเปอร์โบลาหน่วยด้วยพิกัดโคไซน์และไซน์ไฮเปอร์โบลิกได้

ออกัสตัส เดอ มอร์แกนได้อธิบายความคล้ายคลึงกันระหว่างฟังก์ชันวงกลมและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก ไว้ ในหนังสือตรีโกณมิติและพีชคณิตคู่ (ค.ศ. 1849) ^{[ 1 ]}วิลเลียม เบิร์นไซด์ใช้รูปสามเหลี่ยมดังกล่าว โดยฉายภาพจากจุดบนไฮเปอร์โบลาxy = 1 ไปยังเส้นทแยงมุมหลัก ในบทความของเขาเรื่อง "หมายเหตุเกี่ยวกับทฤษฎีบทการบวกสำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก" ^{[ 2 ]}

เป็นที่ทราบกันว่า f( x ) = x ^pมีอนุพันธ์ย้อนกลับ เชิงพีชคณิต ยกเว้นในกรณีที่p = –1 ซึ่งสอดคล้องกับการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไฮเปอร์โบลา กรณีอื่นๆ จะได้รับจากสูตรการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของ Cavalieriในขณะที่การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งพาราโบลาสำเร็จโดยอาร์คิมิดีสในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช (ในThe Quadrature of the Parabola ) การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไฮเปอร์โบลาต้องอาศัยการคิดค้นฟังก์ชันใหม่ในปี 1647: Gregoire de Saint-Vincentได้กล่าวถึงปัญหาการคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งไฮเปอร์โบลา ผลการค้นพบของเขานำไปสู่ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งครั้งหนึ่งเคยเรียกว่าลอการิทึมไฮเปอร์โบลาเนื่องจากได้มาจากการอินทิเกรต หรือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไฮเปอร์โบลา^{[ 3 ]}

ก่อนปี ค.ศ. 1748 และการตีพิมพ์หนังสือIntroduction to the Analysis of the Infiniteนั้น ลอการิทึมธรรมชาติเป็นที่รู้จักกันในแง่ของพื้นที่ของภาคส่วนไฮเปอร์โบลา เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้เปลี่ยนแปลงสิ่งนั้นเมื่อเขาแนะนำฟังก์ชันอดิศัยเช่น e^(-10x ) ออยเลอร์ระบุ ว่า e^ ( ^-10x ) คือค่าของbที่ให้พื้นที่หนึ่งหน่วย (ใต้ไฮเปอร์โบลาหรือในภาคส่วนไฮเปอร์โบลาในตำแหน่งมาตรฐาน) จากนั้นลอการิทึมธรรมชาติจึงสามารถถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง อดิศัย e ^( ^-10x )

ข้อเสนอ:เมื่อกำหนดให้ 0 < a < bและ P = ( a , 1/ a ), Q = ( b , 1/ b ) พื้นที่ที่มีเครื่องหมายของภาคไฮเปอร์โบลิก POQ คือlog b / a ^{[ 4 ]}

พิสูจน์: ในรูป POQ = POS + PQRS − QOR ดังนั้น ความเท่ากันของพื้นที่ POS และ QOR หมายความว่า พื้นที่ POQ = พื้นที่ PQRS = .${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {dx}{x}}=\log b-\log a=\log {\frac {b}{a}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับภาคส่วนไฮเปอร์โบลิกที่ตำแหน่งมาตรฐาน ( a = 1) พื้นที่ของภาคส่วนไฮเปอร์โบลิกคือlog b

กำหนดให้เส้นตรงที่มีความชันเป็นบวกm > 0, y = mxและเส้นทแยงมุมหลัก ( m = 1) ส่วนของไฮเปอร์โบลามาตรฐานจะถูกจำกัดด้วยxy = 1 ซึ่งเป็นไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ามาตรฐาน เส้นตรงที่เปลี่ยนแปลงได้จะตัดกับไฮเปอร์โบลาเมื่อ 1/ x = mxหรือx = m − ^1/2

บทสรุป:พื้นที่ของภาคมาตรฐานคือ. ${\displaystyle \log(m^{-1/2})=-{\frac {1}{2}}\log m}$

เครื่องหมายลบแสดงถึงการกลับทิศทางสำหรับค่าลอการิทึมที่เพิ่มขึ้นและความชันที่เพิ่มขึ้น

เมื่อ หนังสือเกี่ยวกับ เรขาคณิตนอกยุคยูคลิดของเฟลิกซ์ ไคลน์ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2461 หนังสือเล่มนี้ได้วางรากฐานให้กับวิชาดังกล่าวโดยอ้างอิงถึงเรขาคณิตเชิงฉาย ไคลน์ตั้งข้อสังเกตว่าพื้นที่ของภาคส่วนไฮเปอร์โบลิกเป็นภาพประกอบแนวคิดดังกล่าว^{[ 5 ]}

สามารถลากส่วนไฮเปอร์โบลาไปยังไฮเปอร์โบลาได้เช่นกันพื้นที่ของส่วนไฮเปอร์โบลาดังกล่าวถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดระยะทางไฮเปอร์โบลาในตำราเรขาคณิต^{[ 6 ]}${\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}$

• การทำแผนที่แบบบีบอัด