ในทางคณิตศาสตร์เอกลักษณ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกคือ ความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของพจน์ไฮเปอร์จีโอเมตริก กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ที่ปรากฏในอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเอกลักษณ์เหล่านี้พบได้บ่อยในคำตอบของ ปัญหา เชิงการจัดเรียงและในการวิเคราะห์อัลกอริทึมด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้ในอดีตนั้นถูกค้นพบ 'ด้วยมือ' แต่ปัจจุบันมีอัลกอริทึมหลายตัวที่สามารถค้นหาและพิสูจน์เอกลักษณ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกทั้งหมดได้แล้ว

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=n}^{N}i{i \choose n}=(n+1){N+2 \choose n+2}-{N+1 \choose n+1}}$

คำศัพท์ไฮเปอร์จีโอเมตริกมีสองความหมาย ซึ่งแต่ละความหมายใช้ในกรณีที่แตกต่างกันดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ดูเพิ่มเติมที่อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก

เทอมt เป็นเทอมไฮเปอร์จีโอเมตริก ถ้า

${\displaystyle {\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}}$

เป็นฟังก์ชันตรรกยะในk

เทอมF(n,k)เป็นเทอมไฮเปอร์จีโอเมตริก ถ้า

${\displaystyle {\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}}$

เป็นฟังก์ชันตรรกยะในk

ผลรวมของพจน์ไฮเปอร์จีโอเมตริกมีสองประเภท คือ ผลรวมแบบจำกัดและผลรวมแบบไม่จำกัด ผลรวมแบบจำกัดมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \sum _{k}t_{k}.}$

ผลรวมที่ไม่แน่นอนมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k).}$

แม้ว่าในอดีตจะมีการค้นพบวิธีพิสูจน์เอกลักษณ์เฉพาะหลายอย่างแล้ว แต่ก็มีอัลกอริทึมทั่วไปหลายวิธีที่ใช้ในการค้นหาและพิสูจน์เอกลักษณ์เหล่านั้น อัลกอริทึมเหล่านี้จะค้นหานิพจน์ที่เรียบง่ายสำหรับผลรวมของพจน์ไฮเปอร์จีโอเมตริกก่อน จากนั้นจะให้ใบรับรองที่ทุกคนสามารถใช้ตรวจสอบและพิสูจน์ความถูกต้องของเอกลักษณ์นั้นได้

สำหรับผลรวมไฮเปอร์จีโอเมตริกแต่ละประเภท จะมีวิธีการอย่างน้อยหนึ่งวิธีในการค้นหานิพจน์ที่เรียบง่ายวิธีการเหล่านี้ยังให้ใบรับรองเพื่อตรวจสอบหลักฐานยืนยันตัวตนอีกด้วย:

• ผลรวมที่แน่นอน : วิธีของซิสเตอร์เซลีน , อัลกอริทึมของไซล์เบอร์เกอร์
• ผลรวมที่ไม่จำกัด : อัลกอริทึมของกอสเปอร์

หนังสือA = BโดยMarko Petkovšek , Herbert WilfและDoron Zeilbergerอธิบายถึงแนวทางหลักสามประการที่กล่าวถึงข้างต้น

• ตารางอนุกรมนิวตัน

• หนังสือเรื่อง "A = B"สามารถดาวน์โหลดได้ฟรีจากอินเทอร์เน็ต
• ตัวอย่างฟังก์ชันพิเศษที่ exampleproblems.com