การสับไพ่แบบฟาโร (แบบอเมริกัน) การสับไพ่แบบวีฟ (แบบอังกฤษ) หรือการสับไพ่แบบหางนก พิราบ เป็นวิธีการสับไพ่โดยถือไพ่ครึ่งสำรับไว้ในมือแต่ละข้างโดยให้นิ้วหัวแม่มือหันเข้าด้านใน จากนั้นจึงปล่อยไพ่โดยใช้นิ้วหัวแม่มือเพื่อให้ไพ่ตกลงบนโต๊ะสลับกัน ไดอาโคนิส เกรแฮม และแคนเตอร์ เรียกเทคนิคนี้ว่าเมื่อใช้ในมายากล^{[ 1 ]}

นักคณิตศาสตร์ใช้คำว่า "การสับไพ่ฟาโร" เพื่ออธิบายการจัดเรียงไพ่สำรับใหม่อย่างแม่นยำเป็นสองกองเท่าๆ กัน กองละ 26 ใบ จากนั้นจึงสลับไพ่ทั้งสองกองเข้าด้วยกันอย่างสมบูรณ์แบบ^{[ 2 ]}

ผู้ปฏิบัติที่ถนัดมือขวาจะถือไพ่จากด้านบนด้วยมือซ้ายและจากด้านล่างด้วยมือขวา แบ่งสำรับไพ่ออกเป็นสองส่วนที่ควรเท่ากัน โดยยกไพ่ครึ่งหนึ่งขึ้นด้วยนิ้วโป้งขวาเล็กน้อย แล้วดันสำรับไพ่ในมือซ้ายไปข้างหน้าให้ห่างจากมือขวา มักจะวางสำรับไพ่ทั้งสองไขว้กันและเคาะเข้าหากันเพื่อให้ตรงกัน จากนั้นจึงดันด้านสั้นเข้าหากันและงอขึ้นหรือลง ไพ่จะตกลงมาสลับกัน โดยควรสลับกันทีละใบจากแต่ละครึ่ง เหมือนซิปสามารถเพิ่มลูกเล่นได้โดยการดันสำรับไพ่เข้าหากันโดยใช้แรงกดและงอจากด้านบน^{[ 3 ]}

เกมFaroจะจบลงด้วยไพ่สองกองที่เท่ากัน ซึ่งเจ้ามือจะต้องรวมไพ่เหล่านั้นเพื่อแจกในเกมถัดไป ตามที่นักมายากลJohn Maskelyne กล่าวไว้ วิธีการข้างต้นถูกนำมาใช้ และเขาเรียกมันว่า "การสับไพ่ของเจ้ามือ Faro" ^{[ 4 ]} Maskelyne เป็นคนแรกที่ให้คำแนะนำที่ชัดเจน แต่การสับไพ่นี้ถูกนำมาใช้และเกี่ยวข้องกับ Faro มาก่อนหน้านี้แล้ว โดยส่วนใหญ่ค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์และนักมายากลPersi Diaconis ^{[ 5 ]}

การสับไพ่แบบฟาโรเป็นการสับไพ่แบบควบคุม ซึ่งไม่ได้ทำให้ไพ่ทั้งหมดสุ่มอย่างเป็นระบบ

การสับไพ่แบบฟาโรที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งไพ่จะสลับกันอย่างลงตัวนั้น ผู้สับไพ่จะต้องแบ่งสำรับไพ่ออกเป็นสองกองเท่าๆ กัน และออกแรงกดที่พอเหมาะเมื่อดันสำรับไพ่ครึ่งทั้งสองเข้าหากัน

การสับไพ่ฟาโรที่ยังคงไพ่ใบบนสุดใบเดิมไว้ที่ด้านบนและไพ่ใบล่างสุดใบเดิมไว้ที่ด้านล่างเรียกว่าการ สับ ไพ่แบบเอาต์ชัฟเฟิลในขณะที่การสับไพ่แบบเอาต์ชัฟเฟิลที่ย้ายไพ่ใบบนสุดใบเดิมไปไว้ที่สองและไพ่ใบล่างสุดใบเดิมไปไว้ที่สองจากด้านล่างเรียกว่าการสับไพ่แบบอินชัฟเฟิลชื่อเหล่านี้ถูกตั้งขึ้นโดยนักมายากลและโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์Alex Elmsley ^{[ 6 ]}

การสับไพ่แบบเอาออก (out-shuffle) ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการนำไพ่ใบบนสุดและใบล่างสุดออก แล้วสับไพ่ที่เหลือแบบใส่กลับเข้าไป (in-shuffle) จากนั้นจึงนำไพ่ใบบนสุดและใบล่างสุดกลับไปวางไว้ในตำแหน่งเดิม การสับไพ่แบบเอาออกซ้ำๆ ไม่สามารถเปลี่ยนลำดับของไพ่ทั้งสำรับได้ แต่จะเปลี่ยนเฉพาะไพ่ n-2 ใบตรงกลางเท่านั้น ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการสับไพ่แบบฟาโรส่วนใหญ่มักอ้างถึงการสับไพ่แบบเอาออก

การสับไพ่แบบเข้าด้านใน (in-shuffle) ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการเพิ่มไพ่ที่ไม่จำเป็นหนึ่งใบไว้ด้านบนและด้านล่าง จากนั้นทำการสับไพ่แบบออก (out-shuffle) ในสำรับที่ขยายใหญ่ขึ้น แล้วจึงนำไพ่ที่ไม่จำเป็นเหล่านั้นออก การสับไพ่แบบเข้าด้านในซ้ำๆ อาจทำให้ลำดับของไพ่ในสำรับกลับด้านได้

หากใครสามารถสับไพ่ได้อย่างสมบูรณ์แบบ การสับไพ่ 26 ครั้งจะทำให้ลำดับของสำรับไพ่กลับด้าน และการสับไพ่อีก 26 ครั้งจะทำให้กลับมาอยู่ในลำดับเดิม^{[ 7 ]}

โดยทั่วไปการสับไพ่แบบสมบูรณ์จะคืนลำดับของสำรับไพ่ n ใบได้ก็ต่อเมื่อตัวอย่างเช่น การสับไพ่แบบสมบูรณ์ 52 ครั้งติดต่อกันจะคืนลำดับของสำรับไพ่ 52 ใบได้เนื่องจาก${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n+1}}}$${\displaystyle 2^{52}\equiv 1{\pmod {53}}}$

โดยทั่วไปการสับไพ่แบบสมบูรณ์จะทำให้สำรับไพ่ n ใบเรียงลำดับกลับคืนมาได้ หากเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด ตัวอย่างเช่น หากสามารถสับไพ่แบบสมบูรณ์ได้ 8 ครั้งติดต่อกัน สำรับไพ่ 52 ใบจะกลับคืนสู่ลำดับเดิม เนื่องจากเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนดอย่างไรก็ตาม การสับไพ่แบบฟาโร 6 ครั้งก็เพียงพอที่จะทำให้สำรับไพ่ 64 ใบเรียงลำดับกลับคืนมาได้${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n-1}}}$${\displaystyle 2^{8}\equiv 1{\pmod {51}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนครั้งของการสับเปลี่ยนที่จำเป็นในการคืนสำรับไพ่ที่มีขนาดคู่n ให้กลับ สู่ลำดับเดิมนั้น กำหนดโดยลำดับการคูณของ 2 มอดูโล ( n  +  1)

ตัวอย่างเช่น สำหรับขนาดสำรับไพ่n = 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... จำนวนครั้งในการสับไพ่เข้าสำรับที่จำเป็นคือ: 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, ... ( ลำดับA002326ในOEIS )

ตามสมมติฐานของ Artin เกี่ยวกับรากศัพท์ดั้งเดิมพบว่ามีขนาดสำรับไพ่จำนวนอนันต์ซึ่งต้องใช้การสับไพ่ ครบชุด n ครั้ง ^{[ 8 ]}

การดำเนินการที่เทียบเคียงได้กับการสลับลำดับออกสำหรับลำดับอนันต์คือ การสลับลำดับ (interleave sequence )

นักมายากลอเล็กซ์ เอล์มสลีย์ค้นพบว่า การสับไพ่เข้าและออกอย่างเป็นระบบ สามารถใช้เพื่อย้ายไพ่ใบบนสุดของสำรับลงไปยังตำแหน่งใดก็ได้ที่ต้องการ เคล็ดลับคือ การแสดงตำแหน่งที่ต้องการของไพ่เป็นเลขฐานสองจากนั้นทำการสับไพ่เข้าสำหรับทุกๆ เลข 1 และสับไพ่ออกสำหรับทุกๆ เลข 0

ตัวอย่างเช่น หากต้องการเลื่อนไพ่ใบบนสุดลงมาเพื่อให้มีไพ่สิบใบอยู่เหนือไพ่ใบนั้น ให้แสดงเลขสิบในรูปแบบเลขฐาน (1010² ) สับไพ่เข้า ออก เข้า ออก แจกไพ่สิบใบจากด้านบนของสำรับ ไพ่ใบที่สิบเอ็ดจะเป็นไพ่ใบเดิมของคุณ สังเกตว่าไม่สำคัญว่าคุณจะแสดงเลขสิบในรูปแบบ 1010² 00001010² สับไพ่ออกเบื้องต้นจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ เพราะการสับไพ่ออกจะทำให้ไพ่ใบบนสุดยังคงอยู่ด้านบนเสมอ

ในทางคณิตศาสตร์การสับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบสามารถถือได้ว่าเป็นสมาชิกของกลุ่มสมมาตร

โดยทั่วไปแล้ว ในการสับไพ่แบบสมบูรณ์ การสับไพ่แบบสมบูรณ์คือการเรียงสับเปลี่ยนที่แบ่งชุดไพ่เป็น 2 กอง แล้วสลับตำแหน่งกัน:${\displaystyle S_{2n}}$

${\displaystyle S_{2n}}$=${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\1&n+1&2&n+2&\cdots &n&2n\end{pmatrix}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันคือแผนที่

${\displaystyle k\mapsto {\begin{cases}{\frac {k+1}{2}}&k\ {\text{odd}}\\n+{\frac {k}{2}}&k\ {\text{even}}\end{cases}}}$

ในทำนองเดียวกันการเรียงสับเปลี่ยนสับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบ^{[ 9 ]}คือองค์ประกอบที่แบ่งเซตออกเป็นkกองและสลับกัน${\displaystyle (k,n)}$${\displaystyle S_{kn}}$

การสับเปลี่ยนสมบูรณ์แบบ (perfect shuffle) ซึ่งใช้สัญลักษณ์คือการประกอบกันของการสับเปลี่ยนสมบูรณ์แบบ (perfect shuffle) กับวงจร (cycle) ดังนั้นเครื่องหมายของคือ:${\displaystyle (2,n)}$${\displaystyle \rho _{n}}$${\displaystyle (2,n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{n+1}{\mbox{sgn}}(\rho _{n-1}).}$

ดังนั้น สัญลักษณ์นี้จึงเป็นแบบคาบ 4:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

การสับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบครั้งแรกๆ ได้แก่: และเป็นเรื่องเล็กน้อย และคือการสลับตำแหน่ง${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle (23)\in S_{4}}$