ตรรกศาสตร์อิสระคือตรรกศาสตร์ ที่มีข้อสมมติ เชิงการมีอยู่ (existential presuppositions) น้อยกว่าตรรกศาสตร์คลาสสิก ตรรกศาสตร์อิสระอาจอนุญาตให้มีพจน์ที่ไม่บ่งบอกถึงวัตถุใดๆ นอกจากนี้ ตรรกศาสตร์อิสระอาจอนุญาตให้มีแบบจำลองที่มีโดเมนว่างเปล่าตรรกศาสตร์อิสระที่มีคุณสมบัติหลังนี้เรียกว่าตรรกศาสตร์แบบรวม (inclusive logic )

ในตรรกศาสตร์คลาสสิกมีทฤษฎีบทหลายข้อที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ามีบางสิ่งบางอย่างอยู่ในขอบเขตของการพิจารณาลองพิจารณาทฤษฎีบทที่ถูกต้องตามหลักตรรกศาสตร์คลาสสิกต่อไปนี้

1.${\displaystyle \forall xA\rightarrow \exists xA}$

2.${\displaystyle \forall x\forall rA(x)\rightarrow \forall rA(r)}$

3.${\displaystyle \forall rA(r)\rightarrow \exists xA(x)}$

รูปแบบที่ถูกต้องในทฤษฎีความเท่าเทียมกันซึ่งแสดงคุณลักษณะเดียวกันคือ

4.${\displaystyle \forall x(Fx\rightarrow Gx)\land \exists xFx\rightarrow \exists x(Fx\land Gx)}$

โดยไม่เป็นทางการ ถ้า F คือ '=y' และ G คือ 'คือเพกาซัส' และเราแทน 'เพกาซัส' ด้วย y แล้ว (4) ดูเหมือนจะอนุญาตให้เราอนุมานจาก 'ทุกสิ่งที่เหมือนกับเพกาซัสคือเพกาซัส' ว่ามีบางสิ่งที่เหมือนกับเพกาซัส ปัญหามาจากการแทนค่าคงที่ที่ไม่ระบุตัวแปร: ในความเป็นจริง เราไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ในสูตรมาตรฐานของตรรกะลำดับที่หนึ่งเนื่องจากไม่มีค่าคงที่ที่ไม่ระบุตัวแปร ตามหลักการแล้ว ∃x(x=y) สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ความเท่าเทียมกันแบบเปิด y=y โดยการระบุเฉพาะ (เช่น (3) ข้างต้น)

ในตรรกะอิสระ (1) จะถูกแทนที่ด้วย

1b. โดยที่ E! คือตัวบ่งชี้การมีอยู่ (ในบางสูตร แต่ไม่ใช่ทุกสูตรของตรรกะอิสระ E!t สามารถกำหนดได้เป็น ∃y(y=t)) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \forall xA\rightarrow (E!t\rightarrow A(t/x))}$

มีการปรับเปลี่ยนที่คล้ายกันนี้กับทฤษฎีบทอื่นๆ ที่มีนัยสำคัญเชิงการมีอยู่ (เช่นการสรุปเชิงการมีอยู่กลายเป็น) ${\displaystyle A(r)\rightarrow (E!r\rightarrow \exists xA(x))}$

การกำหนดสัจพจน์ของตรรกะอิสระนั้นกำหนดโดย Theodore Hailperin (1957) ^{[ 5 ]} Jaakko Hintikka (1959) ^{[ 6 ]} Karel Lambert (1967) ^{[ 7 ]}และ Richard L. Mendelsohn (1989) ^{[ 8 ]}

Karel Lambertเขียนไว้ในปี พ.ศ. 2510 ว่า: ^{[ 7 ]} "ในความเป็นจริง เราอาจมองว่าตรรกะอิสระ... เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับความมีอยู่เฉพาะเจาะจง ในแง่ที่ว่ามันวางเงื่อนไขขั้นต่ำบางประการสำหรับแนวคิดนั้น" คำถามที่เกี่ยวข้องกับส่วนที่เหลือของบทความของเขาคือคำอธิบายของทฤษฎี และสอบถามว่ามันให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับข้อความเกี่ยวกับการมีอยู่หรือไม่

แลมเบิร์ตตั้งข้อสังเกตถึงความย้อนแย้งที่วิลลาร์ด แวน ออร์แมน ไควน์ปกป้องตรรกศาสตร์รูปแบบหนึ่งอย่างแข็งขัน ซึ่งรองรับคำกล่าวอันโด่งดังของเขาที่ว่า "การมีอยู่คือการเป็นค่าของตัวแปร" ได้ก็ต่อเมื่อตรรกศาสตร์นั้นได้รับการเสริมด้วย สมมติฐาน แบบรัสเซลล์ของทฤษฎีการพรรณนาเท่านั้น เขาติเตียนแนวทางนี้เพราะมันใส่อุดมการณ์มากเกินไปในตรรกศาสตร์ ซึ่งควรจะเป็นกลางทางปรัชญา เขาชี้ให้เห็นว่า ตรรกศาสตร์เสรีไม่เพียงแต่รองรับเกณฑ์ของไควน์เท่านั้น แต่ยังพิสูจน์เกณฑ์นั้นได้ด้วย! อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ทำได้โดยใช้กำลังอย่างตรงไปตรงมา เนื่องจากเขาใช้ และ เป็นสัจพจน์ซึ่งเป็นการทำให้คำกล่าวของไควน์เป็นทางการอย่างเรียบร้อย ดังนั้น แลมเบิร์ตจึงโต้แย้งว่า การปฏิเสธโครงสร้างของตรรกศาสตร์เสรีของเขาจำเป็นต้องปฏิเสธปรัชญาของไควน์ ซึ่งต้องใช้เหตุผลบางอย่าง และยังหมายความว่า ตรรกศาสตร์ใดๆ ที่คุณพัฒนาขึ้นมานั้น จะมาพร้อมกับข้อกำหนดที่ว่า คุณต้องปฏิเสธไควน์เพื่อยอมรับตรรกศาสตร์นั้น ในทำนองเดียวกัน หากคุณปฏิเสธไควน์ คุณก็ต้องปฏิเสธตรรกศาสตร์เสรีด้วย นี่คือคุณูปการที่ตรรกศาสตร์อิสระมอบให้แก่ออนโทโลยี ${\displaystyle \exists xFx\rightarrow (\exists x(E!x\land Fx))}$${\displaystyle Fy\rightarrow (E!y\rightarrow \exists xFx)}$

อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์ของตรรกะอิสระคือการมีรูปแบบที่ไม่บ่งบอกถึงออนโทโลยีเฉพาะเจาะจง แต่เพียงทำให้การตีความของ Quine เป็นไปได้ในเชิงรูปแบบและเรียบง่าย ข้อดีของสิ่งนี้คือ การทำให้ทฤษฎีการดำรงอยู่ที่เป็นเอกพจน์ในตรรกะอิสระเป็นรูปธรรมจะทำให้เห็นนัยยะของทฤษฎีเหล่านั้นเพื่อการวิเคราะห์ที่ง่าย Lambert ยกตัวอย่างทฤษฎีที่เสนอโดยWesley C. Salmonและ George Nahknikian ^{[ 9 ]}ซึ่งก็คือการดำรงอยู่คือการเป็นตัวตนเดียวกัน

• ลูกบาศก์ตรรกะ
• หกเหลี่ยมเชิงตรรกะ
• จัตุรัสแห่งการต่อต้าน
• สามเหลี่ยมแห่งการต่อต้าน
• ตารางสัญลักษณ์ตรรกะ

• โนลต์, จอห์น. "ตรรกศาสตร์อิสระ"ในซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .