ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวนระบบสมการไม่แน่นอนจะมีสมการน้อยกว่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า แต่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เช่น ข้อจำกัดที่ว่าค่าต้องเป็นจำนวนเต็ม^{[ 1 ]}ในยุคปัจจุบัน สมการไม่แน่นอนมักเรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์^{[ 2 ] [ 3 ] : iii}

ตัวอย่างสมการเชิงเส้นไม่แน่นอนเกิดขึ้นจากการจินตนาการถึงชายสองคนที่ร่ำรวยเท่ากัน คนหนึ่งมีทับทิม 5 เม็ด ไพลิน 8 เม็ด ไข่มุก 7 เม็ด และเหรียญทอง 90 เหรียญ ส่วนอีกคนมีเหรียญทอง 7, 9, 6 และ 62 เหรียญ จงหาราคา (y, c, n) ของอัญมณีแต่ละชนิดในหน่วยเหรียญทอง เนื่องจากพวกเขาร่ำรวยเท่ากัน Bhāskara IIได้เสนอแนวทางทั่วไปสำหรับปัญหาประเภทนี้โดยการกำหนดค่าจำนวนเต็มคงที่ให้กับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหนึ่งตัว (หรือ N-2 ตัวโดยทั่วไป) เช่นส่งผลให้ได้ชุดคำตอบที่เป็นไปได้ เช่น (y, c, n)=(14, 1, 1), (13, 3, 1) ^{[ 3 ] : 43} $${\displaystyle 5y+8c+7n+90=7y+9c+6n+62}$$${\displaystyle n=1}$

สำหรับจำนวนเต็มa , bและnที่กำหนด สมการเชิงเส้นไม่แน่นอนทั่วไปคือ โดยมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าxและyจำกัดอยู่ที่จำนวนเต็ม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับคำตอบคือตัวหารร่วมมาก , , หารด้วยnลงตัว^{[ 1 ] : 11} $${\displaystyle ax+by=n}$$${\displaystyle (a,b)}$

นักคณิตศาสตร์ยุคแรกทั้งในอินเดียและจีนศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นที่ไม่แน่นอนที่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม^{[ 4 ]}นักดาราศาสตร์ชาวอินเดียอารยภัตตาได้พัฒนาอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำเพื่อแก้สมการที่ไม่แน่นอน ซึ่งปัจจุบันเป็นที่ทราบกันว่าเกี่ยวข้องกับอัลกอริทึมของยูคลิด [ ^{5 ] ชื่อ}ของทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนเกี่ยวข้องกับมุมมองที่ว่าสมการที่ไม่แน่นอนเกิดขึ้นในประเพณีทางคณิตศาสตร์ของเอเชียเหล่านี้ แต่เป็นไปได้ว่าชาวกรีกโบราณก็ทำงานกับสมการที่ไม่แน่นอนเช่นกัน^{[ 4 ]}

งานสำคัญชิ้นแรกเกี่ยวกับสมการที่ไม่กำหนดปรากฏในArithmeticaของDiophantusในศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช Diophantus พยายามหาคำตอบที่จำกัดให้เป็นจำนวนตรรกยะแต่ ผลงานของ Pierre de Fermatในช่วงปี 1600 มุ่งเน้นไปที่คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มและนำเสนอแนวคิดในการกำหนดลักษณะของคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดแทนที่จะเป็นคำตอบใดคำตอบหนึ่ง^{[ 6 ]}ในยุคปัจจุบัน คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการที่ไม่กำหนดได้ถูกเรียกว่าการวิเคราะห์สมการ Diophantine ^{[ 3 ] : iii}

เอกสารต้นฉบับของHenry John Stephen Smithที่กำหนดรูปแบบปกติของ Smithนั้นเขียนขึ้นสำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่แน่นอน^{[ 7 ] [ 8 ]}