แบบจำลองสมการพร้อมกัน

Q: รูปแบบโครงสร้างและรูปแบบลดทอน

สมมติว่ามี สมการถดถอย m สมการในรูปแบบต่อไปนี้

Q: ข้อสมมติฐาน

ประการแรก อันดับของเมทริกซ์ X ของตัวแปรอิสระภายนอกต้องเท่ากับ k ทั้งในตัวอย่างจำกัดและในขีดจำกัดเมื่อ T → ∞ (ข้อกำหนดหลังนี้หมายความว่าในขีดจำกัด นิพจน์) 1 ที X ′ X {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!

Q: การระบุตัวตน

เงื่อนไข การระบุตัวตน กำหนดให้ ระบบสมการเชิงเส้น ต้องสามารถหาคำตอบสำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าได้

แบบจำลองสมการพร้อมกัน เป็น แบบจำลองทางสถิติประเภทหนึ่งที่ตัวแปรตามเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตามอื่น ๆ แทนที่จะเป็นเพียงตัวแปรอิสระ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าตัวแปรอธิบายบางตัวถูกกำหนดร่วมกับตัวแปรตาม ซึ่งในทางเศรษฐศาสตร์มักจะเป็นผลมาจากกลไกสมดุล พื้นฐานบางอย่าง ลองพิจารณา แบบจำลอง อุปสงค์และอุปทาน ทั่วไป : โดยทั่วไปแล้วปริมาณอุปทานและอุปสงค์จะเป็นฟังก์ชันของราคาที่กำหนดโดยตลาด แต่ก็เป็นไปได้เช่นกันที่ในทางกลับกันจะเป็นจริง โดยที่ผู้ผลิตสังเกตปริมาณที่ผู้บริโภคต้องการแล้วจึงกำหนดราคา^{[ 2 ]}

ความพร้อมกันก่อให้เกิดความท้าทายในการประมาณค่าพารามิเตอร์ทางสถิติที่สนใจ เนื่องจากสมมติฐาน Gauss–Markovของ ความ เป็นเอกพันธุ์อย่างเคร่งครัดของตัวแปรอิสระถูกละเมิด และในขณะที่การประมาณค่าสมการพร้อมกันทั้งหมดในคราวเดียวจะเป็นเรื่องปกติ แต่สิ่งนี้มักนำไปสู่ปัญหาการหาค่า เหมาะสมที่สุด แบบไม่เชิงเส้นที่มีต้นทุน การ คำนวณ สูง แม้แต่สำหรับระบบสมการเชิงเส้น ที่ง่ายที่สุดก็ตาม ^[³^]สถานการณ์นี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาเทคนิคต่างๆ ที่ประมาณค่าสมการแต่ละสมการในแบบจำลองตามลำดับ ซึ่งนำโดยคณะกรรมการ Cowlesในช่วงทศวรรษ 1940 และ 1950 ^[⁴^]โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบจำกัดข้อมูลและ กำลังสองน้อย ที่สุดแบบสองขั้นตอน^[⁵^]

รูปแบบโครงสร้างและรูปแบบลดทอน

สมมติว่ามี สมการถดถอย mสมการในรูปแบบต่อไปนี้

y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,

โดยที่iคือหมายเลขสมการ และt = 1, ..., Tคือดัชนีการสังเกต ในสมการเหล่านี้x คือ เวกเตอร์ k × 1 ของตัวแปรภายนอกy คือตัวแปรตามy คือ เวกเตอร์ n × 1 ของตัวแปรภายในอื่นๆ ทั้งหมดที่ปรากฏใน สมการ ^ที่iทางด้านขวามือ และu คือพจน์ความคลาดเคลื่อน สัญลักษณ์ “− i ” แสดงว่าเวกเตอร์y อาจมีค่า yใดๆ ก็ได้ยกเว้นy (เนื่องจากมีอยู่แล้วทางด้านซ้ายมือ) สัมประสิทธิ์การถดถอยβ และγ มีมิติk × 1 และn × 1 ตามลำดับ เมื่อเรียง การสังเกต T ครั้ง ที่สอดคล้องกับสมการที่i ^ในแนวตั้ง เราสามารถเขียนสมการแต่ละสมการในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,

โดยที่y และu เป็น เวกเตอร์ขนาด T× 1, X เป็น เมทริกซ์ขนาด T×k ของตัวแปรอิสระภายนอก และY เป็น เมทริกซ์ขนาด T×n ของตัวแปรอิสระภายในทางด้านขวามือของ สมการ ^ที่iสุดท้าย เราสามารถย้ายตัวแปรอิสระภายในทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือและเขียน สมการทั้ง mสมการร่วมกันในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้

Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,

การแสดงผลนี้เรียกว่ารูปแบบโครงสร้างในสมการนี้Y = [ y y ... y ]คือ เมทริกซ์ T×mของตัวแปรตาม เมทริกซ์Y แต่ละตัว เป็น เมทริกซ์ย่อยที่มี n คอลัมน์ของY นี้ เมท ริกซ์ Γ ขนาด m×mซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตาม มีโครงสร้างที่ซับซ้อน มีค่า 1 อยู่บนแนวทแยง และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของแต่ละคอลัมน์iจะเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์−γ หรือศูนย์ ขึ้นอยู่กับว่าคอลัมน์ใดของYถูกรวมอยู่ในเมทริกซ์Y เมทริกซ์XขนาดT×kประกอบด้วยตัวแปรอิสระภายนอกทั้งหมดจากทุกสมการ แต่ไม่มีการซ้ำกัน (นั่นคือ เมทริกซ์Xควรมีอันดับเต็ม) ดังนั้นX แต่ละตัวจึง เป็น เมทริกซ์ย่อยที่มี k คอลัมน์ของXเมทริกซ์ Β มีขนาดk×mและแต่ละคอลัมน์ประกอบด้วยส่วนประกอบของเวกเตอร์β และศูนย์ ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรอิสระใดจากXถูกรวมหรือถูกแยกออกจากX สุดท้ายU = [ u u ... u ]คือ เมทริกซ์ T×mของพจน์ความคลาดเคลื่อน

เมื่อคูณสมการโครงสร้างด้วยΓ ⁻¹ แล้ว ระบบสามารถเขียนในรูปแบบลดรูปได้ดังนี้

Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,

นี่เป็นแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป ที่เรียบง่ายอยู่แล้ว และสามารถประมาณค่าได้โดยใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาเป็นต้น อย่างไรก็ตาม งานในการแยกส่วนเมทริกซ์ที่ประมาณค่าได้นั้นค่อนข้างยาก $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ การแยกปัจจัย Β และ Γ ⁻¹แต่ละตัวนั้นค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นรูปแบบที่ลดทอนแล้วจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการทำนาย แต่ไม่เหมาะสำหรับการอนุมาน

ข้อสมมติฐาน

ประการแรก อันดับของเมทริกซ์Xของตัวแปรอิสระภายนอกต้องเท่ากับkทั้งในตัวอย่างจำกัดและในขีดจำกัดเมื่อT → ∞ (ข้อกำหนดหลังนี้หมายความว่าในขีดจำกัด นิพจน์) $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ ควรลู่เข้าสู่ เมทริกซ์ k×k ที่ไม่เสื่อมสภาพ และถือว่าเมทริกซ์ Γ ก็ไม่เสื่อมสภาพเช่นกัน

ประการที่สอง สมมติว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนเป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายเหมือนกันทุก ประการ กล่าวคือ ถ้า แถว ^ที่tของเมทริกซ์Uถูกกำหนดโดยu แล้ว ลำดับของเวกเตอร์ { u } ควรจะเป็นอิสระและมีการ กระจาย เหมือนกัน ทุกประการ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม Σ (ซึ่งไม่ทราบค่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่าE[ U ] = 0และE[ U′U ] = TΣ

สุดท้ายนี้ จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานเพื่อการระบุตัวตน

การระบุตัวตน

เงื่อนไขการระบุตัวตนกำหนดให้ระบบสมการเชิงเส้นต้องสามารถหาคำตอบสำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขลำดับซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการระบุตัวตน คือ สำหรับแต่ละสมการ $k + n \leq k$ ซึ่งสามารถกล่าวได้ว่า “จำนวนตัวแปรภายนอกที่ถูกตัดออกนั้นมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนตัวแปรภายในที่รวมอยู่”

เงื่อนไขอันดับซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าและเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ คืออันดับของ $Π$ เท่ากับ $n$ โดยที่ $Π$ เป็น เมทริกซ์ขนาด $(k - k)\times n$ ซึ่งได้มาจาก $Π$ โดยการตัดคอลัมน์ที่สอดคล้องกับตัวแปรภายในที่ถูกยกเว้น และแถวที่สอดคล้องกับตัวแปรภายนอกที่ถูกรวมไว้

การใช้ข้อจำกัดแบบไขว้สมการเพื่อระบุตัวตน

ในแบบจำลองสมการพร้อมกัน วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดเพื่อให้ได้การระบุตัวตนคือการกำหนดข้อจำกัดพารามิเตอร์ภายในสมการ^{[ 6 ]} อย่างไรก็ตาม การระบุตัวตนยังสามารถทำได้โดยใช้ข้อจำกัดข้ามสมการ

เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดของสมการไขว้สามารถใช้สำหรับการระบุตัวตนได้อย่างไร ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้จาก Wooldridge ^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\เดลต้า _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}

โดยที่ z ไม่มีความสัมพันธ์กับ u และ y เป็น ตัวแปร ภายในหากไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม สมการแรกจะไม่สามารถระบุได้เนื่องจากไม่มีตัวแปรภายนอกที่ถูกยกเว้น สมการที่สองจะสามารถระบุได้ก็ต่อเมื่อ $δ \neq 0$ ซึ่งถือว่าเป็นจริงตลอดการอธิบายต่อไป

ตอนนี้เรากำหนดข้อจำกัดสมการไขว้ของ $δ = δ$ เนื่องจากสมการที่สองได้รับการระบุแล้ว เราจึงสามารถถือว่า $δ$ เป็นที่ทราบแล้วเพื่อวัตถุประสงค์ในการระบุ จากนั้นสมการแรกจะกลายเป็น:

y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}

จากนั้น เราสามารถใช้ $(z, z, z)$ เป็นเครื่องมือในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ในสมการข้างต้น เนื่องจากมีตัวแปรภายในหนึ่งตัว ( $y$ ) และตัวแปรภายนอกที่ถูกยกเว้นหนึ่งตัว ( $z$ ) ทางด้านขวามือ ดังนั้น ข้อจำกัดข้ามสมการแทนที่จะเป็นข้อจำกัดภายในสมการ สามารถทำให้เกิดการระบุตัวตนได้

การประมาณการ

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบสองขั้นตอน (2SLS)

วิธีการประมาณค่าที่ง่ายที่สุดและเป็นที่นิยมที่สุดสำหรับแบบจำลองสมการพร้อมกันคือวิธีที่เรียกว่าวิธีสองขั้นตอนกำลังสองน้อยที่สุด^{[ 7 ]}ซึ่งพัฒนาโดยอิสระโดยTheil (1953) ^{และ Basmann (1957) [} 8 ] [ ⁹^]^[¹⁰^]^เป็น^{เทคนิค}^แบบสมการต่อสมการ โดยตัวแปรอิสระภายในทางด้านขวามือของแต่ละสมการจะถูกใช้ตัวแปรอิสระXจากสมการอื่นๆ ทั้งหมดเป็นตัวแปรเครื่องมือ วิธีนี้เรียกว่า "สองขั้นตอน" เพราะทำการประมาณค่าในสองขั้นตอน: ^[⁷^]

ขั้นตอนที่ 1 : ทำการวิเคราะห์การถดถอยของY กับXและหาค่าที่ทำนายได้

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

;

ขั้นตอนที่ 2 : ประมาณค่าγ , β โดยใช้ การถดถอย กำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาของy บน

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

และX .

ถ้า สมการ ^ที่iในแบบจำลองเขียนได้ดังนี้

y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},

โดยที่Z เป็น เมทริกซ์ T× ( n + k ) ของตัวแปรอิสระทั้งภายในและภายนอกใน สมการ ^ที่iและδ เป็นเวกเตอร์สัมประสิทธิ์การถดถอยมิติ ( n + k ) จากนั้นตัวประมาณค่า 2SLS ของδ จะได้รับจาก^[⁷^]

{\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},

โดยที่P = X ( X ′ X ) ⁻¹X ′คือเมทริกซ์การฉายภาพลงบนปริภูมิเชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรอิสระภายนอกX

วิธีกำลังสองน้อยที่สุดทางอ้อม

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดทางอ้อมเป็นแนวทางในเศรษฐศาสตร์เชิง ปริมาณ ที่ค่าสัมประสิทธิ์ในแบบจำลองสมการพร้อมกันจะถูกประมาณจาก แบบจำลอง รูปแบบลดรูปโดยใช้ กำลังสองน้อยที่สุด แบบธรรมดา^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} สำหรับวิธีนี้ระบบสมการเชิงโครงสร้างจะถูกแปลงเป็นรูปแบบลดรูปก่อน เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ได้รับการประมาณแล้ว แบบจำลองจะถูกนำกลับไปอยู่ในรูปแบบเชิงโครงสร้าง

ความน่าจะเป็นสูงสุดที่มีข้อมูลจำกัด (LIML)

วิธีการหาค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบ “ข้อมูลจำกัด” ได้รับการเสนอแนะโดยMA Girshickในปี พ.ศ. 2490 ^{[ 13 ]}และได้รับการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการโดยTW AndersonและH. Rubinในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 14 ]}วิธีนี้ใช้เมื่อสนใจที่จะประมาณสมการโครงสร้างเพียงสมการเดียวในแต่ละครั้ง (จึงเป็นที่มาของชื่อข้อมูลจำกัด) เช่น สำหรับการสังเกต i:

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}

สมการโครงสร้างสำหรับตัวแปรภายในที่เหลือ Y ไม่ได้ระบุไว้ และแสดงในรูปแบบย่อ:

Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}

สัญลักษณ์ในบริบทนี้จะแตกต่างจาก กรณี IV แบบง่าย โดยมีรูปแบบดังนี้:

$Y_{-i}$ ตัวแปรภายใน (Endogenous variable(s))
$X_{-i}$ ตัวแปรภายนอก
$X$ : เครื่องดนตรี (มักระบุด้วยสัญลักษณ์) $Z$ )

สูตรที่ชัดเจนสำหรับ LIML คือ: ^{[ 15 ]}

{\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},

โดยที่M = I − X ( X ′ X ) ⁻¹X ′และλคือรากเฉพาะที่เล็กที่สุดของเมทริกซ์:

{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}

โดยที่ในทำนองเดียวกัน M = I − X ( X ′ X ) ⁻¹X ′ .

กล่าวอีกนัยหนึ่งλคือคำตอบที่เล็กที่สุดของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปดูTheil (1971 , หน้า 503) :

{\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0

ตัวประมาณคลาส K

LIML เป็นกรณีพิเศษของตัวประมาณค่าคลาส K: ^{[ 16 ]}

{\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,

กับ:

$\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
$Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$

ตัวประมาณค่าหลายตัวจัดอยู่ในกลุ่มนี้:

κ=0: OLS
κ=1: 2SLS. โปรดสังเกตว่าในกรณีนี้ $I-\kappa M=I-M=P$ เมทริกซ์การฉายภาพปกติของ 2SLS
κ=λ: LIML
κ=λ - α / (nK): ตัวประมาณค่าของFuller (1977) ^{[ 17 ]}โดยที่ K แทนจำนวนเครื่องมือ n แทนขนาดตัวอย่าง และ α แทนค่าคงที่บวกที่ต้องระบุ ค่า α=1 จะให้ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงโดยประมาณ^{[ 16 ]}

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดสามขั้นตอน (3SLS)

ตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุดแบบสามขั้นตอนได้รับการแนะนำโดยZellner & Theil (1962) [ ^{18 ] [}^{19 ] สามารถ} มองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของGMM แบบหลายสมการ โดยที่ชุดของตัวแปรเครื่องมือเป็นตัวแปรทั่วไปสำหรับทุกสมการ^{[ 20 ]}หากตัวแปรอิสระทั้งหมดถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแล้ว 3SLS จะลดลงเหลือการถดถอยที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน (SUR) ดังนั้นจึงอาจมองได้ว่าเป็นการรวมกันของกำลังสองน้อยที่สุดแบบสองขั้นตอน (2SLS) กับ SUR

การประยุกต์ใช้ในสังคมศาสตร์

แบบจำลองสมการพร้อมกันถูกนำไปใช้กับปรากฏการณ์การสังเกตต่างๆ ในหลายสาขาและสาขาวิชา สมการเหล่านี้ถูกนำมาใช้เมื่อถือว่าปรากฏการณ์มีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุซึ่งกันและกัน ตัวอย่างคลาสสิกคืออุปสงค์และอุปทานในเศรษฐศาสตร์ในสาขาวิชาอื่นๆ มีตัวอย่างเช่น การประเมินผู้สมัครและการระบุตัวตนของพรรค^{[ 21 ]}หรือความคิดเห็นสาธารณะและนโยบายสังคมในรัฐศาสตร์ [ ²²^]^[^{23 ] การ}ลงทุนด้านถนนและความต้องการการเดินทางในภูมิศาสตร์^{[ 24 ]}และความสำเร็จทางการศึกษาและการเข้าสู่การเป็นพ่อแม่ในสังคมวิทยาหรือประชากรศาสตร์^{[ 25 ]}แบบจำลองสมการพร้อมกันต้องใช้ทฤษฎีของความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งกันและกัน ซึ่งรวมถึงคุณลักษณะพิเศษ หากผลกระทบเชิงสาเหตุจะถูกประเมินเป็นการป้อนกลับพร้อมกัน แทนที่จะเป็น 'บล็อก' ด้านเดียวของสมการที่นักวิจัยสนใจผลกระทบเชิงสาเหตุของ X ต่อ Y ในขณะที่คงผลกระทบเชิงสาเหตุของ Y ต่อ X ไว้คงที่ หรือเมื่อนักวิจัยรู้ระยะเวลาที่แน่นอนที่ใช้สำหรับผลกระทบเชิงสาเหตุแต่ละอย่างเกิดขึ้น กล่าวคือ ความยาวของความล่าช้าเชิงสาเหตุ แทนที่จะเป็นผลกระทบที่ล่าช้า การป้อนกลับพร้อมกันหมายถึงการประเมินผลกระทบพร้อมกันและต่อเนื่องของ X และ Y ที่มีต่อกัน ซึ่งต้องใช้ทฤษฎีที่ว่าผลกระทบเชิงสาเหตุเกิดขึ้นพร้อมกันในเวลา หรือมีความซับซ้อนมากจนดูเหมือนว่าจะมีพฤติกรรมพร้อมกัน ตัวอย่างทั่วไปคืออารมณ์ของเพื่อนร่วมห้อง^{[ 26 ]}ในการประมาณแบบจำลองการป้อนกลับพร้อมกัน จำเป็นต้องมีทฤษฎีสมดุลด้วย กล่าวคือ X และ Y อยู่ในสถานะคงที่หรือเป็นส่วนหนึ่งของระบบ (สังคม ตลาด ห้องเรียน) ที่อยู่ในสถานะที่ค่อนข้างคงที่^{[ 27 ]}

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ). Basingstoke: Palgrave Macmillan. หน้า 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
Chow, Gregory C. (1983). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า117–121 . ISBN 0-07-010847-1.
Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน" วิธีการทางเศรษฐมิติขั้นสูงนิวยอร์ก: Springer. หน้า437–552 . ISBN 0-387-90908-7.
Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน". บทนำสู่เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ ( ฉบับที่สี่). นิวยอร์ก: Wiley. หน้า355–400 . ISBN 978-0-470-01512-4.
Ruud, Paul A. ( 2000). "สมการพร้อมกัน" บทนำสู่ทฤษฎีเศรษฐมิติแบบคลาสสิกสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า697–746 ISBN 0-19-511164-8.
Sargan, Denis (1988). Lectures on Advanced Econometric Theory . Oxford: Basil Blackwell. หน้า68–89 . ISBN 0-631-14956-2.
วูลดริดจ์, เจฟฟรีย์ เอ็ม. (2013). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน" เศรษฐศาสตร์เบื้องต้น ( ฉบับที่ห้า). เซาท์-เวสเทิร์น. หน้า554–582 . ISBN 978-1-111-53104-1.

ลิงก์ภายนอก

วิดีโอบรรยายเรื่องปัญหาการระบุตัวตนใน 2SLS และการประมาณค่าบนYouTubeโดย Mark Thoma

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[

[

[ 6 ]

[ 7 ]

และ Basmann (1957) [

[

เป็น

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

18 ] [

19 ] สามารถ

[ 20 ]

[ 21 ]

22

23 ] การ

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]