หมากรุกอนันต์คือรูปแบบ ใด ๆ ของเกมหมากรุกที่เล่นบนกระดานหมากรุกที่ไม่มีขอบเขต มีการคิดค้นหมากรุกอนันต์เวอร์ชันต่าง ๆ ขึ้นมาโดยอิสระจากผู้เล่น นักทฤษฎีหมากรุก และนักคณิตศาสตร์หลายกลุ่ม ทั้งในฐานะเกมที่เล่นได้จริงและในฐานะแบบจำลองสำหรับการศึกษาเชิงทฤษฎี

หมากรุก แบบคลาสสิก ( FIDE ) เล่นบนกระดานขนาด 8×8 (64 ช่อง) อย่างไรก็ตาม ประวัติศาสตร์ของหมากรุกรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของเกมที่เล่นบนกระดานขนาดใหญ่ขึ้น ตัวอย่างเช่น เกมก่อนหน้าที่เรียกว่าหมากรุกคูเรียร์เล่นบนกระดานขนาดใหญ่ขึ้นเล็กน้อย 12×8 ในศตวรรษที่ 12 และยังคงเล่นกันต่อไปอีกอย่างน้อยหกร้อยปี หมากรุกญี่ปุ่น ( โชงิ ) เล่นบนกระดานขนาดต่างๆ โดยกระดานที่ใหญ่ที่สุดคือไทเคียวคุโชงิ ("หมากรุกขั้นสุดยอด") ซึ่งมีมาตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 16 และเล่นบนกระดานขนาด 36×36 โดยใช้ตัวหมาก 402 ตัวต่อผู้เล่น เมื่อไม่นานมานี้ นักเล่นหมากรุกสมัครเล่นและนักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาหมากรุกที่เล่นบนกระดานขนาดใหญ่ n×n เป็นครั้งคราวเพื่อศึกษา แนวคิด ทฤษฎีเกม ทั่วไป หรือเพื่อขยายทฤษฎีของหมากรุก^{[ 1 ] [ 2 ]}

การอ้างอิงถึงหมากรุกอนันต์ครั้งแรกที่รู้จักกันนั้นเกิดขึ้นในปี 1927 โดยนักคณิตศาสตร์Dénes Kőnigในเชิงอรรถของบทความทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงของเขาเกี่ยวกับเลมมาที่มีชื่อเดียวกัน [ ^{3 ] ใน}เชิงอรรถนั้น เขาได้พิจารณาหมากรุกรูปแบบหนึ่งที่เล่นบนกระดานที่ไม่มีขอบเขต โดยใช้ตัวหมากที่จำกัดระยะการเคลื่อนที่ไม่เกินเจ็ดช่องต่อตาเดิน ในศตวรรษที่ 21 หมากรุกอนันต์ได้รับการอ้างอิงบ่อยขึ้นเรื่อยๆ จากแหล่งต่างๆ ตัวอย่างเช่น นักหมากรุก Jianying Ji ได้เสนอหมากรุกอนันต์รูปแบบหนึ่งโดยใช้ไนท์ไรเดอร์ในปี 2000 ^{[ 4 ]}

ตั้งแต่ปี 2010 เป็นต้นมา หมากรุกอนันต์ได้รับความนิยมในหมู่นักคณิตศาสตร์บนMathOverflowซึ่งมีการอภิปรายแนวคิดต่างๆ เช่นความสามารถในการตัดสินการรุกฆาตบนกระดานที่ไม่มีขอบเขต^{[ 5 ] [ 6 ]}ซึ่งนำไปสู่การตีพิมพ์บทความทางคณิตศาสตร์และการเผยแพร่เนื้อหาทางการศึกษาเกี่ยวกับคำถามเหล่านี้ในอีกหลายปีต่อมา^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

โดยรวมแล้ว ผู้เล่นหมากรุก นักทฤษฎีหมากรุก และนักคณิตศาสตร์ต่างสนใจหมากรุกอนันต์เวอร์ชันต่างๆ โดยมีเป้าหมายที่แตกต่างกันออกไป ในขณะที่นักคณิตศาสตร์มักสนใจคุณสมบัติเชิงนามธรรมของเกม นักทฤษฎีหมากรุกกลับสนใจกลยุทธ์หมากรุกเฉพาะบนกระดานอนันต์ ตัวอย่างเช่น ตัวหมากรุก โดยเฉพาะอย่างยิ่งราชา ไม่สามารถติดอยู่ในมุมบนกระดานอนันต์ได้ และต้องใช้รูปแบบใหม่เพื่อสร้างการรุกฆาต สุดท้ายนี้ ยังมีชุมชนออนไลน์ที่ผู้คนเล่นเกมหมากรุกอนันต์กันเอง^{[ 12 ]}ไม่มีกฎมาตรฐานสำหรับหมากรุกอนันต์ การใช้งานที่แตกต่างกันอาจมีหรือไม่มีตัวหมากพิเศษ กฎ ห้าสิบตาเดินและการเลื่อนขั้นเบี้ยเป็นต้น

สำหรับหมากรุกอนันต์ พบว่าปัญหารุกฆาตในn ตาเดิน สำหรับตำแหน่งที่มีตัวหมากจำนวนจำกัดสามารถตัดสินได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดจำนวนธรรมชาติnและผู้เล่นที่จะเดิน และตำแหน่ง (เช่น บน) ของตัวหมากจำนวนจำกัดที่เคลื่อนที่ได้สม่ำเสมอและมีอิสระคงที่และเป็นเชิงเส้น จะมีอัลกอริทึมที่จะตอบได้ว่ามีการรุกฆาตแบบบังคับในไม่เกินnตาเดิน หรือไม่ ^{[ 7 ]}อัลกอริทึมดังกล่าวประกอบด้วยการแสดงอินสแตนซ์เป็นประโยคในเลขคณิตของ Presburgerและใช้ขั้นตอนการตัดสินใจสำหรับเลขคณิตของ Presburger ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

อย่างไรก็ตาม ปัญหาตำแหน่งที่ชนะโดยทั่วไปยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าสามารถตัดสินได้^{[ 7 ]} ไม่เพียงแต่ไม่มีขอบเขตบนที่สม่ำเสมอสำหรับค่าที่เล็กที่สุดของnที่ทำให้มีการรุกฆาตในnเท่านั้น แต่ยังมีตำแหน่งที่มีการรุกฆาตแบบบังคับแต่ไม่มีจำนวนเต็มnที่ทำให้มีการรุกฆาตในnตัวอย่างเช่น มีตำแหน่งที่ฝ่ายดำต้องเดินหมาก โดยหลังจากที่ฝ่ายดำเดินเรือครั้งแรก จำนวนการเดินหมากจนกว่าฝ่ายขาวจะชนะจะสอดคล้องกับความยาวของการเดินหมากของฝ่ายดำบวกหนึ่ง เนื่องจากฝ่ายดำมีอิสระที่จะเดินเรือของตนได้ในระยะทางจำกัดใดๆ จำนวนการเดินหมากจนกว่าจะรุกฆาตในตำแหน่งเริ่มต้นจึงไม่มีขอบเขต^{[ 8 ]}สิ่งนี้นำไปสู่การพิจารณา ค่าเกม เชิงลำดับที่วัดระยะทางจนกว่าจะรุกฆาต:

นิยาม (ค่าเกม)ค่าเกม (สำหรับฝ่ายขาว) ของตำแหน่งในหมากรุกอนันต์ถูกกำหนดโดยการเรียกซ้ำแบบทรานส์ไฟ ไน ต์ ตำแหน่งที่มีค่า 0 คือตำแหน่งที่ฝ่ายขาวชนะแล้ว หากตำแหน่งpมีฝ่ายขาวเป็นฝ่ายเดิน ค่าของpจะเป็น α + 1 ก็ต่อเมื่อ α เป็นลำดับที่น้อยที่สุดที่ฝ่ายขาวมีทางเดินที่ถูกต้องจากpไปยังตำแหน่งที่มีค่า α หากตำแหน่งpมีฝ่ายดำเป็นฝ่ายเดิน ฝ่ายดำมีทางเดินที่ถูกต้องอย่างน้อยหนึ่งทาง และทุกทางเดินที่ถูกต้องจากpมีค่า ค่าของpจะเป็นค่าสูงสุดของค่าของตำแหน่งเหล่านั้น

คำจำกัดความระบุตำแหน่งที่มีค่าลำดับ α โดยการเหนี่ยวนำบน α บางตำแหน่งอาจไม่มีค่าใดๆ ข้อสังเกตพื้นฐานของค่าเกมคือ ตำแหน่งที่มีค่าลำดับคือตำแหน่งที่ฝ่ายขาวชนะ^{[ 8 ]}

^{ในปี 2016 ได้มีการแสดง ให้}เห็นว่ามีตำแหน่งหมากรุกอนันต์ที่มีตัวหมากจำนวนอนันต์ซึ่งมีค่าเกมเท่ากับ ω ⁴ [ ^{9 ]}

• รายชื่อรูปแบบต่างๆ ของหมากรุก
• หมากรุกนางฟ้า

• Infinitechess.org : เว็บไซต์หมากรุกออนไลน์ที่รองรับการเล่นกับคู่ต่อสู้ในห้องเดียวกัน กับคู่ต่อสู้บนอินเทอร์เน็ต หรือกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์ นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมแก้ไขกระดานหมากรุกแบบไม่จำกัดอีกด้วย
• โปรแกรมแก้ไขกระดานหมากรุกแบบไม่จำกัด
• หมากรุกไร้ขีดจำกัดที่The Chess Variant Pages
• หมากรุกบนระนาบอนันต์ที่chess.com
• อินฟินิตี้ เชสส์ • ซีรีส์อินฟินิตี้บน YouTube
• Mate-in-Omega ปรากฏการณ์อันยิ่งใหญ่ของหมากรุกอนันต์บน YouTube
• การค้นหาเกมหมากรุกอนันต์ที่ยาวที่สุดบน YouTube