ในทางคณิตศาสตร์สมการอินทิกรัลเชิงผลต่างคือความสัมพันธ์เวียนเกิดบนปริภูมิฟังก์ชันซึ่งมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle n_{t+1}(x)=\int _{\โอเมก้า }k(x,y)\,f(n_{t}(y))\,dy,}$

โดยที่เป็นลำดับในปริภูมิฟังก์ชัน และเป็นโดเมนของฟังก์ชันเหล่านั้น ในการใช้งานส่วนใหญ่ สำหรับใดๆ ก็ตามจะ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นบนโปรดทราบว่าในคำจำกัดความข้างต้นสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ ซึ่งในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบของจะมีสมการอินทิกรัลเชิงผลต่างที่มีค่าเป็นสเกลาร์ที่เกี่ยวข้องด้วย สมการอินทิกรัลเชิงผลต่างถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในชีววิทยาเชิงคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งนิเวศวิทยาเชิงทฤษฎีเพื่อจำลองการแพร่กระจายและการเติบโตของประชากร^{[ 1 ]}ในกรณีนี้คือขนาดหรือความหนาแน่นของประชากร ณ ตำแหน่งณ เวลาอธิบายการเติบโตของประชากรในท้องถิ่น ณ ตำแหน่งและคือความน่าจะเป็นของการเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งซึ่งมักเรียกว่าเคอร์เนลการแพร่กระจาย สมการอินทิกรัลเชิงผลต่างมักใช้เพื่ออธิบาย ประชากร แบบปีละครั้ง รวมถึงแต่ไม่จำกัดเพียงสัตว์ขาปล้อง หลายชนิด และพืชประจำปีอย่างไรก็ตาม ประชากรแบบหลายปีก็สามารถสร้างแบบจำลองได้ด้วยสมการอินทิกรัลเชิงผลต่าง^{[ 2 ]}ตราบใดที่สิ่งมีชีวิตมีรุ่นที่ไม่ทับซ้อนกัน ในกรณีนี้ไม่ได้วัดเป็นปี แต่จะวัดเป็นช่วงเวลาห่างระหว่างการวางไข่แต่ละครั้ง ${\displaystyle \{n_{t}\}\,}$${\displaystyle \Omega \,}$${\displaystyle y\in \Omega \,}$${\displaystyle k(x,y)\,}$${\displaystyle \Omega \,}$${\displaystyle n_{t}}$${\displaystyle \{n_{t}\}}$${\displaystyle n_{t}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(n_{t}(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

ในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ เคอร์เนลการแพร่กระจายมักขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างแหล่งกำเนิดและปลายทางเท่านั้น และสามารถเขียนได้เป็นในกรณีนี้ เงื่อนไขตามธรรมชาติบางประการเกี่ยวกับ f และ k บ่งชี้ว่ามีอัตราความเร็วในการแพร่กระจายที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนสำหรับคลื่นการรุกรานที่เกิดขึ้นจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่กระชับ ความเร็วของคลื่นมักคำนวณโดยการศึกษาจากสมการเชิงเส้น ${\displaystyle k(xy)}$

${\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(xy)Rn_{t}(y)dy}$

โดยที่. สามารถเขียนได้ในรูปของการสังเคราะห์ (convolution) ${\displaystyle R=\left.{\dfrac {df}{dn}}\right|_{n=0}}$

${\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}$

โดยใช้การแปลงฟังก์ชันสร้างโมเมนต์

${\displaystyle M(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{sx}n(x)dx}$

ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าความเร็วคลื่นวิกฤต

${\displaystyle c^{*}=\min _{w>0}\left[{\frac {1}{w}}\ln \left(R\int _{-\infty }^{\infty }k(s)e^{ws}ds\right)\right]}$

สมการประเภทอื่นที่ใช้ในการจำลองพลวัตของประชากรผ่านพื้นที่ ได้แก่สมการปฏิกิริยา-การแพร่กระจายและ สมการ เมตาประชากรอย่างไรก็ตาม สมการการแพร่กระจายไม่สามารถรวมรูปแบบการกระจายตัวที่ชัดเจนได้ง่ายนัก และมีความถูกต้องทางชีววิทยาเฉพาะสำหรับประชากรที่มีรุ่นที่ทับซ้อนกันเท่านั้น^{[ 3 ]}สมการเมตาประชากรแตกต่างจากสมการอินทิกรัลเชิงอนุพันธ์ตรงที่แบ่งประชากรออกเป็นส่วนย่อยๆ แทนที่จะเป็นภูมิทัศน์ต่อเนื่อง