ในทางสถิติ แบบ จำลองการไกล่เกลี่ยพยายามที่จะระบุและอธิบายกลไกหรือกระบวนการที่อยู่เบื้องหลังความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามโดยการรวมตัวแปรสมมติที่สามที่เรียกว่าตัวแปรไกล่เกลี่ย (เรียกอีกอย่างว่าตัวแปรกลางหรือตัวแปรแทรกแซง ) ^{[ 1 ]}

ในกรอบนี้ ความสัมพันธ์ไม่ได้ถูกมองว่าเป็นความเชื่อมโยงเชิงสาเหตุโดยตรงระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม แต่เป็นความสัมพันธ์ที่ตัวแปรอิสระมีอิทธิพลต่อตัวแปรตัวกลาง ซึ่งในทางกลับกันก็ส่งผลต่อตัวแปรตาม ด้วยวิธีนี้ ตัวแปรตัวกลางจะช่วยชี้แจงลักษณะของความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างตัวแปรทั้งสอง^{[ 2 ] [ 3 ]}

การวิเคราะห์การไกล่เกลี่ยใช้เพื่อทำความเข้าใจความสัมพันธ์ที่ทราบโดยการสำรวจกลไกหรือกระบวนการพื้นฐานที่ตัวแปรหนึ่งมีอิทธิพลต่อตัวแปรอื่นผ่านตัวแปรไกล่เกลี่ย^{[ 4 ​​]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวิเคราะห์การไกล่เกลี่ยสามารถช่วยให้เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามได้ดีขึ้นเมื่อตัวแปรเหล่านี้ไม่มีความเชื่อมโยงโดยตรงที่ชัดเจน

ในปี พ.ศ. 2529 นักจิตวิทยาสังคมสองคนจากมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัตคือรูเบน เอ็ม. บารอนและเดวิด เอ. เคนนีได้วางข้อกำหนดหลายประการที่ต้องปฏิบัติตามเพื่อให้เกิดความสัมพันธ์การไกล่เกลี่ยที่แท้จริง^{[ 5 ]}ข้อกำหนดเหล่านั้นได้อธิบายไว้ด้านล่างโดยใช้ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง ดูแผนภาพด้านบนสำหรับการแสดงภาพความสัมพันธ์การไกล่เกลี่ยโดยรวมที่จะอธิบาย ขั้นตอนดั้งเดิมมีดังนี้

ระยะเวลาของความสัมพันธ์

ทำการวิเคราะห์การถดถอยของตัวแปรตามกับตัวแปรอิสระ เพื่อยืนยันว่าตัวแปรอิสระเป็นตัวทำนายที่มีนัยสำคัญทางสถิติของตัวแปรตาม

ตัวแปรอิสระ ตัวแปรตาม ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle Y=\beta _{10}+\beta _{11}X+\varepsilon _{1}}$

• β ₁₁มีนัยสำคัญ

ทำการวิเคราะห์การถดถอยของตัวแปรตัวกลางกับตัวแปรอิสระเพื่อยืนยันว่าตัวแปรอิสระเป็นตัวทำนายที่มีนัยสำคัญของตัวแปรตัวกลาง หากตัวแปรตัวกลางไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ ก็เป็นไปไม่ได้ที่ตัวแปรตัวกลางจะทำหน้าที่เป็นตัวกลางของตัวแปรใดๆ

ตัวแปร อิสระตัวกลาง${\displaystyle \to }$

${\displaystyle Me=\beta _{20}+\beta _{21}X+\varepsilon _{2}}$

• β ₂₁มีนัยสำคัญ

ทำการวิเคราะห์การถดถอยของตัวแปรตามโดยใช้ทั้งตัวแปรตัวกลางและตัวแปรอิสระ เพื่อยืนยันว่า ก) ตัวแปรตัวกลางเป็นตัวทำนายที่มีนัยสำคัญของตัวแปรตาม และ ข) ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระที่มีนัยสำคัญในขั้นตอนที่ 1 ลดลงอย่างมาก หรืออาจไม่มีนัยสำคัญเลย

ตัวแปรอิสระ + ตัวแปรตามที่เป็นตัวแปร แทรกกลาง${\displaystyle \to }$

${\displaystyle Y=\beta _{30}+\beta _{31}X+\beta _{32}Me+\varepsilon _{3}}$

• β ₃₂มีนัยสำคัญ
• ค่าสัมบูรณ์ของβ ₃₁ควรน้อยกว่าผลกระทบดั้งเดิมของตัวแปรอิสระ (β ₁₁ข้างต้น)

ตัวอย่างต่อไปนี้ ดึงมาจาก Howell (2009) ^{[ 6 ]}อธิบายแต่ละขั้นตอนของข้อกำหนดของ Baron และ Kenny เพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าผลกระทบของการไกล่เกลี่ยมีลักษณะอย่างไร ขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 ใช้การวิเคราะห์การถดถอยแบบง่าย ในขณะที่ขั้นตอนที่ 3 ใช้ การ วิเคราะห์ การถดถอยแบบหลายตัวแปร

1. รูปแบบการเลี้ยงดูที่คุณได้รับ (ตัวแปรอิสระ) สามารถทำนายระดับความมั่นใจที่คุณรู้สึกเกี่ยวกับการเลี้ยงดูลูกของคุณเอง (ตัวแปรตาม) ได้
2. รูปแบบการเลี้ยงดูที่คุณได้รับ (เช่น ตัวแปรอิสระ) สามารถทำนายความรู้สึกถึงความสามารถและความภาคภูมิใจในตนเองของคุณได้ (เช่น ตัวแปรตัวกลาง)
3. ความรู้สึกถึงความสามารถและความภาคภูมิใจในตนเองของคุณ (ตัวแปรตัวกลาง) สามารถทำนายความมั่นใจที่คุณมีต่อการเลี้ยงดูบุตรของตนเอง (ตัวแปรตาม) โดยควบคุมตัวแปรวิธีการเลี้ยงดูที่คุณเคยได้รับ (ตัวแปรอิสระ)

ผลการวิจัยดังกล่าวจะนำไปสู่ข้อสรุปที่ว่า ความรู้สึกถึงความสามารถและความภาคภูมิใจในตนเองของคุณเป็นตัวกลางในการเชื่อมโยงระหว่างวิธีการเลี้ยงดูที่คุณได้รับกับความมั่นใจที่คุณรู้สึกเกี่ยวกับการเลี้ยงดูลูกของคุณเอง

หากขั้นตอนที่ 1 ไม่ได้ผลลัพธ์ที่สำคัญ ก็ยังอาจมีเหตุผลให้ดำเนินการต่อในขั้นตอนที่ 2 บางครั้งอาจมีความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม แต่เนื่องจากขนาดตัวอย่างเล็ก หรือปัจจัยภายนอกอื่นๆ อาจทำให้ไม่มีพลังเพียงพอที่จะทำนายผลที่เกิดขึ้นจริงได้^{[ 7 ]}

ในแผนภาพที่แสดงด้านบน ผลกระทบทางอ้อมคือผลคูณของสัมประสิทธิ์เส้นทาง "A" และ "B" ผลกระทบโดยตรงคือสัมประสิทธิ์ "C'" ผลกระทบโดยตรงวัดขอบเขตที่ตัวแปรตามเปลี่ยนแปลงเมื่อตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยและตัวแปรตัวกลางยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในทางตรงกันข้าม ผลกระทบทางอ้อมวัดขอบเขตที่ตัวแปรตามเปลี่ยนแปลงเมื่อตัวแปรอิสระคงที่และตัวแปรตัวกลางเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่มันจะเปลี่ยนแปลงหากตัวแปรอิสระเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วย^{[ 8 ] [ 9 ]}

ในระบบเชิงเส้น ผลกระทบโดยรวมจะเท่ากับผลรวมของผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อม ( C' + ABในแบบจำลองข้างต้น) ในแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้น ผลกระทบโดยรวมโดยทั่วไปจะไม่เท่ากับผลรวมของผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อม แต่จะเป็นการผสมผสานที่ปรับเปลี่ยนของทั้งสอง^{[ 9 ]}

ตัวแปรตัวกลางสามารถอธิบายความสัมพันธ์ที่สังเกตได้ระหว่างตัวแปรสองตัวได้ทั้งหมดหรือบางส่วนก็ได้

หลักฐานสูงสุดสำหรับการเป็นตัวกลาง หรือที่เรียกว่าการเป็นตัวกลางอย่างสมบูรณ์ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อการรวมตัวแปรตัวกลางทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม (ดูเส้นทาง c ′ในแผนภาพด้านบน) ลดลงเหลือศูนย์

การไกล่เกลี่ยแบบบางส่วนหมายความว่า ตัวแปรไกล่เกลี่ยอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามได้เพียงบางส่วน แต่ไม่ใช่ทั้งหมด การไกล่เกลี่ยแบบบางส่วนบ่งชี้ว่า ไม่เพียงแต่มีความสัมพันธ์ที่มีนัยสำคัญระหว่างตัวแปรไกล่เกลี่ยและตัวแปรตามเท่านั้น แต่ยังมีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามอีกด้วย

เพื่อให้สามารถพิสูจน์การไกล่เกลี่ยแบบสมบูรณ์หรือแบบบางส่วนได้ การลดลงของความแปรปรวนที่อธิบายโดยตัวแปรอิสระจะต้องมีนัยสำคัญตามที่กำหนดโดยการทดสอบอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น การทดสอบSobel ^{[ 10 ]}ผลกระทบของตัวแปรอิสระต่อตัวแปรตามอาจไม่มีนัยสำคัญเมื่อมีการนำตัวแปรไกล่เกลี่ยเข้ามา เนื่องจากมีการอธิบายความแปรปรวนเพียงเล็กน้อย (กล่าวคือ ไม่ใช่การไกล่เกลี่ยที่แท้จริง) ดังนั้น จึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องแสดงให้เห็นถึงการลดลงของความแปรปรวนที่อธิบายโดยตัวแปรอิสระอย่างมีนัยสำคัญก่อนที่จะยืนยันการไกล่เกลี่ยแบบสมบูรณ์หรือแบบบางส่วน เป็นไปได้ที่จะมีผลกระทบทางอ้อมที่มีนัยสำคัญทางสถิติแม้ว่าจะไม่มีผลกระทบโดยรวม^{[ 11 ]}สิ่งนี้สามารถอธิบายได้จากการมีเส้นทางไกล่เกลี่ยหลายเส้นทางที่หักล้างกัน และจะสังเกตเห็นได้เมื่อมีการควบคุมตัวแปรไกล่เกลี่ยที่หักล้างกันตัวใดตัวหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าคำว่า 'ไกล่เกลี่ยแบบบางส่วน' และ 'ไกล่เกลี่ยแบบสมบูรณ์' ควรได้รับการตีความโดยสัมพันธ์กับชุดของตัวแปรที่มีอยู่ในแบบจำลองเสมอ ในทุกกรณี การดำเนินการ "ตรึงตัวแปร" จะต้องแตกต่างจากการดำเนินการ "ควบคุมตัวแปร" ซึ่งถูกนำมาใช้อย่างไม่เหมาะสมในเอกสาร^{[ 8 ] [ 12 ]}การดำเนินการแรกหมายถึงการตรึงทางกายภาพ ในขณะที่การดำเนินการหลังหมายถึงการปรับเงื่อนไข การปรับค่า หรือการเพิ่มตัวแปรในแบบจำลองการถดถอย แนวคิดทั้งสองจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อค่าความคลาดเคลื่อนทั้งหมด (ไม่ได้แสดงในแผนภาพ) ไม่มีความสัมพันธ์กันทางสถิติ เมื่อค่าความคลาดเคลื่อนมีความสัมพันธ์กัน จะต้องทำการปรับค่าเพื่อทำให้ความสัมพันธ์เหล่านั้นเป็นกลางก่อนที่จะเริ่มการวิเคราะห์การไกล่เกลี่ย (ดูเครือข่ายเบย์เซียน )

การทดสอบของ Sobel ^{[ 10 ]}ดำเนินการเพื่อตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามลดลงอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่หลังจากรวมตัวแปรตัวกลางเข้าไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง การทดสอบนี้ประเมินว่าผลกระทบของการไกล่เกลี่ยมีความสำคัญหรือไม่ โดยจะตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามเมื่อเปรียบเทียบกับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามรวมถึงปัจจัยการไกล่เกลี่ย

การทดสอบของ Sobel มีความแม่นยำมากกว่าขั้นตอนของ Baron และ Kenny ที่อธิบายไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม การทดสอบนี้มีกำลังทางสถิติต่ำ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่เพื่อให้มีกำลังเพียงพอที่จะตรวจจับผลกระทบที่มีนัยสำคัญ เนื่องจากสมมติฐานหลักของการทดสอบของ Sobel คือสมมติฐานของความปกติ เนื่องจากการทดสอบของ Sobel ประเมินตัวอย่างที่กำหนดบนการแจกแจงแบบปกติ ขนาดตัวอย่างที่เล็กและความเบี่ยงเบนของการแจกแจงตัวอย่างอาจเป็นปัญหาได้ (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อ การแจกแจงแบบปกติ ) ดังนั้น กฎทั่วไปตามที่ MacKinnon et al., (2002) ^{[ 13 ]} แนะนำ คือ ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง 1000 เพื่อตรวจจับผลกระทบขนาดเล็ก ขนาดตัวอย่าง 100 เพียงพอในการตรวจจับผลกระทบขนาดปานกลาง และต้องใช้ขนาดตัวอย่าง 50 เพื่อตรวจจับผลกระทบขนาดใหญ่

สมการสำหรับ Sobel คือ: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle z={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}s_{a}^{2}+a^{2}s_{b}^{2}}}}}$

วิธีการบูตสแตรปมีข้อดีบางประการเมื่อเทียบกับการทดสอบของโซเบล โดยหลักคือการเพิ่มกำลังการทดสอบ วิธีการบูตสแตรปของพรีเชอร์และเฮย์สเป็นการทดสอบแบบไม่ใช้พารามิเตอร์และไม่กำหนดสมมติฐานเรื่องความปกติ ดังนั้น หากมีข้อมูลดิบอยู่ แนะนำให้ใช้วิธีการบูตสแตรป^{[ 14 ]} การบูตสแตรปเกี่ยวข้องกับการสุ่มตัวอย่างซ้ำๆ โดยมีการแทนที่จากชุดข้อมูลเพื่อคำนวณสถิติที่ต้องการในแต่ละตัวอย่าง การคำนวณซ้ำๆ หลายร้อยหรือหลายพันตัวอย่างบูตสแตรปจะให้ค่าประมาณของการกระจายตัวอย่างของสถิติที่สนใจ วิธีการของพรีเชอร์-เฮย์สให้ค่าประมาณจุดและช่วงความเชื่อมั่นซึ่งสามารถใช้ประเมินความสำคัญหรือไม่สำคัญของผลกระทบการไกล่เกลี่ยได้ ค่าประมาณจุดแสดงค่าเฉลี่ยของจำนวนตัวอย่างบูตสแตรป และหากไม่มีศูนย์อยู่ระหว่างช่วงความเชื่อมั่นที่ได้จากวิธีการบูตสแตรป ก็สามารถสรุปได้อย่างมั่นใจว่ามีผลกระทบการไกล่เกลี่ยที่มีนัยสำคัญที่ต้องรายงาน

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น มีตัวเลือกที่แตกต่างกันอยู่สองสามอย่างที่สามารถเลือกใช้ในการประเมินแบบจำลองการไกล่เกลี่ยได้

การบูตสแตรปปิ้ง^{[ 15 ] [ 16 ]}กำลังกลายเป็นวิธีการทดสอบการไกล่เกลี่ยที่ได้รับความนิยมมากที่สุด เนื่องจากไม่จำเป็นต้องตรงตามข้อสมมติฐานเรื่องความปกติ และเนื่องจากสามารถใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพกับขนาดตัวอย่างที่เล็กกว่า ( N  < 25) อย่างไรก็ตาม การไกล่เกลี่ยยังคงถูกกำหนดบ่อยที่สุดโดยใช้ตรรกะของ Baron และ Kenny ^{[ 17 ]}หรือการทดสอบ Sobelการเผยแพร่การทดสอบการไกล่เกลี่ยโดยอาศัยวิธีการของ Baron และ Kenny เพียงอย่างเดียว หรือการทดสอบที่ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการกระจายตัว เช่น การทดสอบ Sobel นั้นยากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาตัวเลือกของคุณเมื่อเลือกการทดสอบที่จะดำเนินการ^{[ 11 ]}

แม้ว่าแนวคิดเรื่องการไกล่เกลี่ยตามที่กำหนดไว้ในทางจิตวิทยาจะน่าสนใจในเชิงทฤษฎี แต่วิธีการที่ใช้ในการศึกษาการไกล่เกลี่ยเชิงประจักษ์นั้นถูกท้าทายโดยนักสถิติและนักระบาดวิทยา^{[ 8 ] [ 12 ] [ 18 ]}และตีความอย่างเป็นทางการ^{[ 9 ]}

การออกแบบห่วงโซ่เหตุและผลเชิงทดลอง

การออกแบบห่วงโซ่เหตุและผลเชิงทดลองใช้เมื่อตัวแปรสื่อกลางที่เสนอได้รับการเปลี่ยนแปลงในเชิงทดลอง การออกแบบดังกล่าวหมายความว่ามีการควบคุมตัวแปรที่สามซึ่งมีเหตุผลให้เชื่อว่าอาจเป็นกลไกพื้นฐานของความสัมพันธ์ที่กำหนด

การออกแบบการวัดการไกล่เกลี่ย

การออกแบบการวัดการไกล่เกลี่ยสามารถกำหนดแนวคิดได้ว่าเป็นแนวทางทางสถิติ การออกแบบดังกล่าวหมายความว่ามีการวัดตัวแปรแทรกกลางที่เสนอไว้ จากนั้นใช้การวิเคราะห์ทางสถิติเพื่อสร้างการไกล่เกลี่ย แนวทางนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการจัดการตัวแปรไกล่เกลี่ยที่สมมติขึ้น แต่เกี่ยวข้องกับการวัดเท่านั้น^{[ 19 ]}

เฮย์ส (2009) วิพากษ์วิจารณ์แนวทางขั้นตอนการไกล่เกลี่ยของบารอนและเคนนี^{[ 11 ]}และในปี 2019 เดวิด เอ. เคนนีได้ระบุในเว็บไซต์ของเขาว่าการไกล่เกลี่ยสามารถเกิดขึ้นได้แม้ไม่มีผลกระทบโดยรวมที่ 'สำคัญ' (บางครั้งเรียกว่า "การไกล่เกลี่ยที่ไม่สอดคล้องกัน") ดังนั้นขั้นตอนที่ 1 ของแนวทางดั้งเดิมในปี 1986 อาจไม่จำเป็น สิ่งพิมพ์ในภายหลังของเฮย์สตั้งคำถามเกี่ยวกับแนวคิดของการไกล่เกลี่ยแบบเต็มรูปแบบและการไกล่เกลี่ยแบบบางส่วน และสนับสนุนให้ละทิ้งคำศัพท์เหล่านี้และขั้นตอนในการไกล่เกลี่ยแบบคลาสสิก (1986)

แนวทางการทดลองในการไกล่เกลี่ยต้องดำเนินการด้วยความระมัดระวัง ประการแรก สิ่งสำคัญคือต้องมีการสนับสนุนทางทฤษฎีที่แข็งแกร่งสำหรับการตรวจสอบเชิงสำรวจของตัวแปรไกล่เกลี่ยที่มีศักยภาพ คำวิจารณ์ของแนวทางการไกล่เกลี่ยขึ้นอยู่กับความสามารถในการจัดการและวัดตัวแปรไกล่เกลี่ย ดังนั้น จะต้องสามารถจัดการตัวแปรไกล่เกลี่ยที่เสนอในลักษณะที่ยอมรับได้และมีจริยธรรม ในทำนองเดียวกัน จะต้องสามารถวัดกระบวนการแทรกแซงได้โดยไม่รบกวนผลลัพธ์ ตัวแปรไกล่เกลี่ยจะต้องสามารถสร้างความถูกต้องเชิงโครงสร้างของการจัดการได้ด้วย หนึ่งในคำวิจารณ์ที่พบบ่อยที่สุดของแนวทางการวัดการไกล่เกลี่ยคือ ในที่สุดแล้วมันเป็นการออกแบบเชิงสหสัมพันธ์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่ตัวแปรที่สามอื่น ๆ ซึ่งเป็นอิสระจากตัวแปรไกล่เกลี่ยที่เสนอ อาจเป็นสาเหตุของผลกระทบที่เสนอ อย่างไรก็ตาม นักวิจัยได้ทำงานอย่างหนักเพื่อหาหลักฐานโต้แย้งต่อข้อกล่าวหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีข้อโต้แย้งต่อไปนี้ที่ถูกนำเสนอ: ^{[ 4 ]}

ลำดับความสำคัญตามเวลา

ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรอิสระเกิดขึ้นก่อนตัวแปรตามในแง่ของเวลา นี่จะเป็นหลักฐานที่บ่งชี้ถึงความสัมพันธ์เชิงทิศทาง และอาจเป็นความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ จากตัวแปรอิสระไปยังตัวแปรตาม

ความเป็นกลางและ/หรือไม่มีตัวแปรแทรกซ้อน

ตัวอย่างเช่น หากใครสามารถระบุตัวแปรที่สามอื่นๆ และพิสูจน์ได้ว่าตัวแปรเหล่านั้นไม่เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม เขา/เธอจะมีข้อโต้แย้งที่แข็งแกร่งขึ้นสำหรับผลกระทบของการเป็นตัวกลาง ดูรายละเอียดเกี่ยวกับตัวแปรที่สามอื่นๆ ด้านล่าง

การวิเคราะห์ตัวแปรส่งผ่าน (Mediation) เป็นการทดสอบทางสถิติที่มีประโยชน์และทรงพลังอย่างยิ่ง อย่างไรก็ตาม ต้องใช้ให้ถูกต้อง สิ่งสำคัญคือ ตัวแปรที่ใช้ในการประเมินตัวแปรส่งผ่านและตัวแปรตามต้องแตกต่างกันในเชิงทฤษฎี และตัวแปรอิสระและตัวแปรส่งผ่านต้องไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน หากมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรส่งผ่าน ก็จะมีเหตุผลให้ตรวจสอบตัวแปรควบคุม (Moderation) ต่อไป

แบบจำลองอีกแบบหนึ่งที่มักถูกทดสอบคือแบบจำลองที่ตัวแปรแข่งขันในแบบจำลองนั้นเป็นตัวแปรสื่อกลางทางเลือกหรือสาเหตุที่ไม่ได้วัดของตัวแปรตาม ตัวแปรเพิ่มเติมในแบบจำลองเชิงสาเหตุอาจบดบังหรือทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามเกิดความสับสน ตัวแปร ที่อาจเป็นตัวแปรแทรกซ้อนคือตัวแปรที่อาจมีผลกระทบเชิงสาเหตุต่อทั้งตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม ซึ่งรวมถึงแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดในการวัดทั่วไป (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) รวมถึงอิทธิพลอื่นๆ ที่มีร่วมกันระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม

ในการศึกษาเชิงทดลอง มีความกังวลเป็นพิเศษเกี่ยวกับแง่มุมของการจัดการหรือสภาพแวดล้อมในการทดลอง ซึ่งอาจส่งผลต่อผลการศึกษามากกว่าปัจจัยทางทฤษฎีที่กระตุ้นให้เกิดการศึกษา ปัญหาเหล่านี้อาจทำให้เกิดความสัมพันธ์ที่ไม่ถูกต้องระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามที่วัดได้ การละเลยตัวแปรแทรกซ้อนอาจทำให้การประมาณค่าเชิงประจักษ์ของผลกระทบเชิงสาเหตุของตัวแปรอิสระคลาดเคลื่อนไปได้

ตัวแปรยับยั้งจะเพิ่มความถูกต้องในการทำนายของตัวแปรอื่นเมื่อรวมอยู่ในสมการการถดถอย การยับยั้งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อตัวแปรเชิงสาเหตุเพียงตัวเดียวมีความสัมพันธ์กับตัวแปรผลลัพธ์ผ่านตัวแปรตัวกลางสองตัวที่แยกจากกัน และเมื่อผลกระทบที่ส่งผ่านตัวกลางตัวหนึ่งเป็นบวกและอีกตัวหนึ่งเป็นลบ ในกรณีเช่นนี้ ตัวแปรตัวกลางแต่ละตัวจะยับยั้งหรือปกปิดผลกระทบที่ส่งผ่านตัวแปรตัวกลางอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น คะแนนสติปัญญาที่สูงขึ้น (ตัวแปรเชิงสาเหตุA ) อาจทำให้การตรวจจับข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้น (ตัวแปรตัวกลางB ) ซึ่งในทางกลับกันอาจทำให้ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการทำงานบนสายการผลิตลดลง (ตัวแปรผลลัพธ์X ) ในขณะเดียวกัน สติปัญญาอาจทำให้ความเบื่อหน่ายเพิ่มขึ้น ( C ) ซึ่งในทางกลับกันอาจทำให้ ข้อผิดพลาด เพิ่มขึ้น ( X ) ดังนั้น ในเส้นทางเชิงสาเหตุหนึ่ง สติปัญญาจะลดข้อผิดพลาด และในอีกเส้นทางหนึ่ง สติปัญญาจะเพิ่มข้อผิดพลาด เมื่อไม่มีตัวแปรตัวกลางใด ๆ รวมอยู่ในการวิเคราะห์ สติปัญญาดูเหมือนจะไม่มีผลกระทบหรือมีผลกระทบเพียงเล็กน้อยต่อข้อผิดพลาด อย่างไรก็ตาม เมื่อควบคุมความเบื่อหน่ายได้ สติปัญญาจะดูเหมือนลดข้อผิดพลาดลง และเมื่อควบคุมการตรวจจับข้อผิดพลาดได้ สติปัญญาจะดูเหมือนเพิ่มข้อผิดพลาดขึ้น หากสามารถเพิ่มสติปัญญาได้โดยที่ความเบื่อหน่ายคงที่ ข้อผิดพลาดจะลดลง หากสามารถเพิ่มสติปัญญาได้โดยที่การตรวจจับข้อผิดพลาดคงที่ ข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้น

โดยทั่วไป การละเลยตัวแปรที่กดทับหรือตัวแปรแทรกซ้อนจะนำไปสู่การประเมินผลกระทบของAต่อX ต่ำกว่าความเป็นจริงหรือสูงกว่าความเป็น จริง ซึ่งจะทำให้ขนาดของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวลดลงหรือเพิ่มขึ้นอย่างไม่เป็นธรรมชาติ

ตัวแปรสำคัญตัวที่สามอีกตัวหนึ่งคือตัวแปรควบคุมตัวแปรควบคุมคือตัวแปรที่สามารถทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวแข็งแกร่งขึ้นหรืออ่อนลงได้ ตัวแปรเหล่านี้ยังช่วยอธิบายปฏิสัมพันธ์ในการวิเคราะห์การถดถอยโดยส่งผลต่อทิศทางและ/หรือความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ระหว่างXและYความสัมพันธ์แบบควบคุมสามารถมองได้ว่าเป็นปฏิสัมพันธ์อย่างหนึ่ง มันเกิดขึ้นเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร A และ B ขึ้นอยู่กับระดับของ C ดูหัวข้อการควบคุมเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

การเป็นตัวกลางและการเป็นตัวแปรควบคุมสามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ในแบบจำลองทางสถิติ เป็นไปได้ที่จะเป็นตัวกลางของการเป็นตัวแปรควบคุมและเป็นตัวแปรควบคุมของการเป็นตัวกลาง

การไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมคือ เมื่อผลของการรักษาAต่อตัวแปรไกล่เกลี่ย และ/หรือผลบางส่วนBต่อตัวแปรตาม ขึ้นอยู่กับระดับของตัวแปรอื่น (ตัวแปรควบคุม) อีกที โดยพื้นฐานแล้ว ในการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุม จะต้องสร้างการไกล่เกลี่ยขึ้นก่อน จากนั้นจึงตรวจสอบว่าผลของการไกล่เกลี่ยที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามนั้น ถูกควบคุมโดยระดับต่างๆ ของตัวแปรอื่น (เช่น ตัวแปรควบคุม) หรือไม่ คำจำกัดความนี้ได้รับการสรุปโดย Muller, Judd และ Yzerbyt (2005) ^{[ 20 ]}และ Preacher, Rucker และ Hayes (2007) ^{[ 21 ]}

มีรูปแบบที่เป็นไปได้ห้าแบบของการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุม ดังแสดงในแผนภาพด้านล่าง^{[ 20 ]}

1. ในแบบจำลองแรก ตัวแปรอิสระยังทำหน้าที่เป็นตัวแปรควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสื่อกลางและตัวแปรตามอีกด้วย
2. รูปแบบที่สองที่เป็นไปได้ของการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมนั้นเกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ที่ทำหน้าที่ควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรไกล่เกลี่ย ( เส้นทาง A )
3. แบบจำลองที่สามของการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมเกี่ยวข้องกับตัวแปรควบคุมใหม่ซึ่งทำหน้าที่ควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรไกล่เกลี่ยและตัวแปรตาม ( เส้นทาง B )
4. การไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อตัวแปรควบคุมตัวหนึ่งส่งผลต่อทั้งความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรไกล่เกลี่ย ( เส้นทาง A ) และความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรไกล่เกลี่ยและตัวแปรตาม ( เส้นทาง B )
5. แบบจำลองที่เป็นไปได้แบบที่ห้าและแบบสุดท้ายของการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมนั้นเกี่ยวข้องกับตัวแปรควบคุมใหม่สองตัว ตัวหนึ่งควบคุม เส้นทาง Aและอีกตัวหนึ่งควบคุมเส้นทางB

นอกจากแบบจำลองที่กล่าวถึงข้างต้นแล้ว ยังสามารถมีตัวแปรใหม่ที่ทำหน้าที่ปรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรสื่อกลาง (เส้นทาง A) ในขณะเดียวกันตัวแปรใหม่นี้ก็ทำหน้าที่ปรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม (เส้นทาง C) อีกด้วย^{[ 22 ]}

การปรับเปลี่ยนแบบมีตัวกลางเป็นรูปแบบหนึ่งของการปรับเปลี่ยนและการไกล่เกลี่ย โดยในตอนแรกจะมีการปรับเปลี่ยนโดยรวม และผลโดยตรงของตัวแปรตัวกลางต่อผลลัพธ์จะถูกไกล่เกลี่ย ความแตกต่างหลักระหว่างการปรับเปลี่ยนแบบมีตัวกลางและการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวกลางคือ ในกรณีแรกจะมีการปรับเปลี่ยนในตอนเริ่มต้น (โดยรวม) และผลนี้จะถูกไกล่เกลี่ย ในขณะที่ในกรณีหลังจะไม่มีการปรับเปลี่ยน แต่ผลของการรักษาต่อตัวกลาง (เส้นทางA ) จะถูกปรับเปลี่ยน หรือผลของตัวกลางต่อผลลัพธ์ (เส้นทางB ) จะถูกปรับเปลี่ยน^{[ 20 ]}

เพื่อที่จะพิสูจน์การไกล่เกลี่ยแบบตัวแปรแทรกซ้อน จำเป็นต้องพิสูจน์การไกล่เกลี่ย ก่อน ซึ่งหมายความว่าทิศทางและ/หรือความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม (เส้นทางC ) จะแตกต่างกันไปตามระดับของตัวแปรที่สาม (ตัวแปรแทรกซ้อน) จากนั้น นักวิจัยจะมองหาการไกล่เกลี่ยแบบตัวแปรแทรกซ้อนเมื่อพวกเขามีเหตุผลทางทฤษฎีที่จะเชื่อว่ามีตัวแปรที่สี่ซึ่งทำหน้าที่เป็นกลไกหรือกระบวนการที่ก่อให้เกิดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรแทรกซ้อน (เส้นทางA ) หรือระหว่างตัวแปรแทรกซ้อนและตัวแปรตาม (เส้นทางC )

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ตีพิมพ์ของการปรับเปลี่ยนโดยตัวกลางในการวิจัยทางจิตวิทยา^{[ 23 ]} ผู้เข้าร่วมได้รับการนำเสนอสิ่งเร้าเริ่มต้น (ไพรม์) ที่ทำให้พวกเขานึกถึงศีลธรรมหรือทำให้พวกเขานึกถึงอำนาจ จากนั้นพวกเขามีส่วนร่วมในเกม Prisoner's Dilemma Game (PDG) ซึ่งผู้เข้าร่วมแสร้งทำเป็นว่าพวกเขาและคู่หูร่วมก่ออาชญากรรมถูกจับกุม และพวกเขาต้องตัดสินใจว่าจะยังคงภักดีต่อคู่หูหรือจะแข่งขันกับคู่หูและร่วมมือกับเจ้าหน้าที่ นักวิจัยพบว่าบุคคลที่มีแนวคิดเชิงสังคมได้รับผลกระทบจากไพรม์ด้านศีลธรรมและอำนาจ ในขณะที่บุคคลที่มีแนวคิดเชิงตนเองไม่ได้รับผลกระทบ ดังนั้นการวางแนวทางคุณค่าทางสังคม (เชิงตนเองเทียบกับเชิงสังคม) จึงเป็นตัวแปรปรับเปลี่ยนความสัมพันธ์ระหว่างไพรม์ (ตัวแปรอิสระ: ศีลธรรมเทียบกับอำนาจ) และพฤติกรรมที่เลือกใน PDG (ตัวแปรตาม: การแข่งขันเทียบกับการร่วมมือ)

นักวิจัยได้ตรวจสอบต่อไปถึงผลกระทบของการปรับเปลี่ยนโดยผ่านตัวกลาง การวิเคราะห์การถดถอยเผยให้เห็นว่า ประเภทของตัวกระตุ้น (ศีลธรรมเทียบกับอำนาจ) เป็นตัวกลางในความสัมพันธ์ของการปรับเปลี่ยนระหว่างค่านิยมทางสังคม ของผู้เข้า ร่วมกับพฤติกรรม PDG ผู้เข้าร่วมที่มีทัศนคติเชิงสังคมที่ได้รับตัวกระตุ้นด้านศีลธรรมคาดหวังว่าคู่ของตนจะร่วมมือกับพวกเขา ดังนั้นพวกเขาจึงเลือกที่จะร่วมมือด้วย ผู้เข้าร่วมที่มีทัศนคติเชิงสังคมที่ได้รับตัวกระตุ้นด้านอำนาจคาดหวังว่าคู่ของตนจะแข่งขันกับพวกเขา ซึ่งทำให้พวกเขามีแนวโน้มที่จะแข่งขันกับคู่ของตนและร่วมมือกับผู้มีอำนาจมากขึ้น ในทางตรงกันข้าม ผู้เข้าร่วมที่มีค่านิยมทางสังคมเชิงตนเองจะแสดงพฤติกรรมการแข่งขันเสมอ

Muller, Judd และ Yzerbyt (2005) ^{[ 20 ]}สรุปแบบจำลองพื้นฐานสามแบบที่รองรับทั้งการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมและการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมMo แทนตัวแปรควบคุม Meแทนตัวแปรไกล่เกลี่ย และε _iแทนข้อผิดพลาดในการวัดของสมการการถดถอยแต่ละสมการ

การปรับเปลี่ยนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระ (X) และตัวแปรตาม (Y) หรือที่เรียกว่าผลกระทบโดยรวมของการรักษา (เส้นทางCในแผนภาพ)

${\displaystyle Y=\beta _{40}+\beta _{41}X+\beta _{42}Mo+\beta _{43}XMo+\varepsilon _{4}}$

• เพื่อให้เกิดการควบคุมโดยรวม ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย β ₄₃ต้องมีนัยสำคัญ (ขั้นตอนแรกสำหรับการสร้างการควบคุมแบบมีตัวกลาง)
• การสร้างการไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมจำเป็นต้องไม่มีผลกระทบจากตัวแปรควบคุม ดังนั้น ค่าน้ำหนักการถดถอย β ₄₃จะต้องไม่มีนัยสำคัญ

การปรับเปลี่ยนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตัวกลาง (เส้นทางA )

${\displaystyle Me=\beta _{50}+\beta _{51}X+\beta _{52}Mo+\beta _{53}XMo+\varepsilon _{5}}$

• หาก ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย β ₅₃มีนัยสำคัญ แสดงว่าตัวแปรควบคุมมีผลต่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรสื่อกลาง

การปรับเปลี่ยนความสัมพันธ์ทั้งระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม (เส้นทางA ) และความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสื่อกลางและตัวแปรตาม (เส้นทางB )

${\displaystyle Y=\beta _{60}+\beta _{61}X+\beta _{62}Mo+\beta _{63}XMo+\beta _{64}Me+\beta _{65}MeMo+\varepsilon _{6}}$

• หากทั้งβ ₅₃ในขั้นตอนที่ 2 และβ ₆₃ในขั้นตอนที่ 3 มีนัยสำคัญ ตัวแปรควบคุมจะมีผลต่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรสื่อกลาง (เส้นทางA )
• หากทั้งβ ₅₃ในขั้นตอนที่ 2 และβ ₆₅ในขั้นตอนที่ 3 มีนัยสำคัญ ตัวแปรควบคุมจะมีผลต่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสื่อกลางและตัวแปรตาม (เส้นทางB )
• เงื่อนไขข้างต้นข้อใดข้อหนึ่งหรือทั้งสองข้ออาจเป็นจริงก็ได้

การวิเคราะห์ตัวกลางเป็นการวัดปริมาณว่าตัวแปรหนึ่งมีส่วนร่วมในการถ่ายทอดการเปลี่ยนแปลงจากสาเหตุไปสู่ผลลัพธ์มากน้อยเพียงใด โดยพื้นฐานแล้วเป็นแนวคิดเชิงสาเหตุ ดังนั้นจึงไม่สามารถนิยามได้ในเชิงสถิติ อย่างไรก็ตาม ในอดีต การวิเคราะห์ตัวกลางส่วนใหญ่ดำเนินการภายใต้กรอบของการถดถอยเชิงเส้น โดยใช้ศัพท์ทางสถิติมาบดบังลักษณะเชิงสาเหตุของความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งนำไปสู่ความยากลำบาก อคติ และข้อจำกัดต่างๆ ที่ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงสาเหตุสมัยใหม่ โดยอาศัยแผนภาพเชิงสาเหตุและตรรกะเชิงสมมติ

สาเหตุของความยากลำบากเหล่านี้อยู่ที่การนิยามการไกล่เกลี่ยในแง่ของการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มตัวแปรที่สามเข้าไปในสมการถดถอย การเปลี่ยนแปลงทางสถิติดังกล่าวเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นควบคู่ไปกับการไกล่เกลี่ยในบางครั้ง แต่โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถจับความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่การวิเคราะห์การไกล่เกลี่ยพยายามวัดได้

หลักการพื้นฐานของแนวทางเชิงสาเหตุคือ การควบคุมตัวแปรตัวกลางM นั้นไม่เหมาะสมเสมอไป เมื่อเราต้องการประมาณผลกระทบโดยตรงของXต่อY (ดูรูปด้านบน) เหตุผลแบบดั้งเดิมสำหรับการ "ควบคุม" ตัวแปรMคือ หากเราประสบความสำเร็จในการป้องกัน ไม่ให้ Mเปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงใดๆ ที่เราวัดได้ใน Y จะเกิดจากความแปรผันในX เท่านั้น และเราก็มีเหตุผลที่จะประกาศว่าผลที่สังเกตได้นั้นเป็น "ผลโดยตรงของXต่อY " น่าเสียดายที่การ "ควบคุมตัวแปรM " ไม่ได้ป้องกันไม่ ให้ Mเปลี่ยนแปลงในทางกายภาพ มันเพียงแต่จำกัดความสนใจของนักวิเคราะห์ให้เหลือเฉพาะกรณีที่ ค่า M เท่ากัน เท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่มีสัญลักษณ์ที่จะแสดงแนวคิดของการ "ป้องกัน ไม่ให้ Mเปลี่ยนแปลง" หรือ "การ คงค่า M ไว้ในทางกายภาพ " ตัวดำเนินการเดียวที่ความน่าจะเป็นมีคือ "การปรับเงื่อนไข" ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำเมื่อเรา "ควบคุม" ตัวแปรMหรือเพิ่มMเป็นตัวแปรอิสระในสมการสำหรับYผลที่ได้คือ แทนที่จะ คงค่า M ไว้ในทางกายภาพ (เช่น ที่M = m ) และเปรียบเทียบYสำหรับหน่วยที่X  = 1 กับหน่วยที่ X = 0 เราอนุญาตให้Mเปลี่ยนแปลงได้ แต่ละเลยหน่วยทั้งหมด ยกเว้นหน่วยที่Mมีค่าเท่ากับM  =  mการดำเนินการทั้งสองนี้โดยพื้นฐานแล้ว แตกต่างกัน แตกต่างกัน และให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน^{[ 24 ] [ 25 ]}ยกเว้นในกรณีที่ไม่มีตัวแปรที่ถูกละเว้น การปรับสภาพผลกระทบที่ไกล่เกลี่ยอย่างไม่เหมาะสมอาจเป็นการควบคุมที่ไม่ดีประเภท หนึ่ง

เพื่อแสดงให้เห็น สมมติว่าเทอมความคลาดเคลื่อนของMและY มีความสัมพันธ์กัน ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว สัมประสิทธิ์โครงสร้างBและA (ระหว่างMและYและระหว่างYและX ) จะไม่สามารถประมาณได้อีกต่อไปโดยการถดถอยYบนXและMในความเป็นจริง ความชันของการถดถอยอาจไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่แม้ว่าCจะเป็นศูนย์ก็ตาม^{[ 26 ]} สิ่งนี้มีผลตามมาสองประการ ประการแรก ต้องคิดค้นกลยุทธ์ใหม่สำหรับการประมาณสัมประสิทธิ์โครงสร้างA, BและCประการที่สอง คำจำกัดความพื้นฐานของผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อมต้องก้าวข้ามการวิเคราะห์การถดถอย และควรใช้การดำเนินการที่เลียนแบบ "การตรึงM " แทนที่จะเป็น "การกำหนดเงื่อนไขบนM "

ตัวดำเนินการดังกล่าว ซึ่งแสดงด้วย do( M  =  m ) ได้รับการกำหนดไว้ใน Pearl (1994) ^{[ 25 ]}และทำงานโดยการลบสมการของMและแทนที่ด้วยค่าคงที่mตัวอย่างเช่น หากแบบจำลองการไกล่เกลี่ยพื้นฐานประกอบด้วยสมการ:

${\displaystyle X=f(\varepsilon _{1}),~~M=g(X,\varepsilon _{2}),~~Y=h(X,M,\varepsilon _{3}),}$

จากนั้นหลังจากใช้ตัวดำเนินการ do( M  =  m ) แล้ว แบบจำลองจะกลายเป็น:

${\displaystyle X=f(\varepsilon _{1}),~~M=m,~~Y=h(X,m,\varepsilon _{3})}$

และหลังจากใช้ตัวดำเนินการ do( X  =  x ) แล้ว แบบจำลองจะกลายเป็น:

${\displaystyle X=x,M=g(x,\varepsilon _{2}),Y=h(x,M,\varepsilon _{3})}$

โดยที่ฟังก์ชันfและgรวมถึงการกระจายของเทอมข้อผิดพลาด ε ₁และ ε ₃ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หากเราเปลี่ยนชื่อตัวแปรMและYที่ได้จาก do( X  =  x ) เป็นM ( x ) และY ( x ) ตามลำดับ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า "ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้" ^{[ 27 ]}หรือ "ผลลัพธ์เชิงโครงสร้างที่ตรงกันข้าม" ^{[ 28 ]} ตัวแปรใหม่เหล่านี้มีสัญลักษณ์ที่สะดวกสำหรับการกำหนดผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการกำหนดผลกระทบสี่ประเภทสำหรับการเปลี่ยนจากX  = 0 เป็นX  = 1:

(ก) ผลกระทบโดยรวม –

${\displaystyle TE=E[Y(1)-Y(0)]}$

(ข) ผลกระทบโดยตรงที่ควบคุมได้ -

${\displaystyle CDE(m)=E[Y(1,m)-Y(0,m)]}$

(ค) ผลกระทบโดยตรงตามธรรมชาติ -

${\displaystyle NDE=E[Y(1,M(0))-Y(0,M(0))]}$

(d) ผลกระทบทางอ้อมตามธรรมชาติ

${\displaystyle NIE=E[Y(0,M(1))-Y(0,M(0))]}$

โดยที่E [ ] หมายถึงค่าคาดหวังที่คำนวณจากพจน์ความคลาดเคลื่อน

ผลกระทบเหล่านี้สามารถตีความได้ดังต่อไปนี้:

• TEวัดการเพิ่มขึ้นที่คาดหวังของผลลัพธ์Yเมื่อXเปลี่ยนจากX=0เป็นX =1ในขณะที่ตัวกลางได้รับอนุญาตให้ติดตามการเปลี่ยนแปลงในXตามที่กำหนดโดยฟังก์ชันM = g(X, ε ₂ )
• CDE วัดการเพิ่มขึ้นที่คาดหวังของผลลัพธ์Yเมื่อXเปลี่ยนจากX = 0 เป็นX = 1 ในขณะที่ตัวแปรตัวกลางถูกกำหนดไว้ที่ระดับM = m ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า อย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งประชากร
• NDEวัดการเพิ่มขึ้นที่คาดการณ์ได้ของYเมื่อXเปลี่ยนจากX = 0 เป็นX = 1 โดยกำหนดให้ตัวแปรตัวกลางมีค่าเท่ากับค่าที่จะได้รับ ภายใต้X = 0 กล่าวคือ ก่อนการเปลี่ยนแปลง
• NIEวัดการเพิ่มขึ้นที่คาดหวังของYเมื่อXคงที่ที่X = 1 และMเปลี่ยนแปลงไปเป็นค่าใดก็ตามที่ M จะได้รับ (สำหรับแต่ละบุคคล) ภายใต้เงื่อนไขX = 1
• ค่าความแตกต่างTE-NDEวัดขอบเขตที่การไกล่เกลี่ยมีความจำเป็นต่อการอธิบายผลกระทบ ในขณะที่ค่าNIEวัดขอบเขตที่การไกล่เกลี่ยเพียงพอต่อการคงอยู่ของผลกระทบนั้น

ไม่มีรูปแบบที่ควบคุมได้ของผลกระทบทางอ้อม เนื่องจากไม่มีวิธีใดที่จะปิดใช้งานผลกระทบโดยตรงได้โดยการกำหนดค่าตัวแปรให้คงที่

ตามคำจำกัดความเหล่านี้ ผลกระทบโดยรวมสามารถแยกย่อยออกเป็นผลรวมได้

${\displaystyle TE=NDE-NIE_{r}}$

โดยที่NIE _rหมายถึงการเปลี่ยนผ่านย้อนกลับ จาก X  = 1 ไปเป็นX = 0; มันจะกลายเป็นแบบบวกในระบบเชิงเส้น ซึ่งการกลับทิศทางการเปลี่ยนผ่านจะส่งผลให้เครื่องหมายกลับทิศทางด้วย

จุดเด่นของคำจำกัดความเหล่านี้อยู่ที่ความครอบคลุม สามารถนำไปใช้ได้กับแบบจำลองที่มีปฏิสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้นใดๆ ความสัมพันธ์แบบใดๆ ระหว่างตัวแปรที่รบกวน และทั้งตัวแปรต่อเนื่องและตัวแปรเชิงหมวดหมู่

ในการวิเคราะห์เชิงเส้น ผลกระทบทั้งหมดจะถูกกำหนดโดยผลรวมของผลคูณของสัมประสิทธิ์โครงสร้าง ทำให้ได้

${\displaystyle {\begin{aligned}TE&=C+AB\\CDE(m)&=NDE=C,{\text{ independent of }}m\\NIE&=AB.\end{aligned}}}$

ดังนั้น ผลกระทบทั้งหมดสามารถประมาณได้เมื่อใดก็ตามที่ระบุแบบจำลอง ในระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับการประมาณผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อม^{[ 9 ] [ 29 ] [ 30 ]}ตัวอย่างเช่น หากไม่มีตัวแปรแทรกซ้อน (เช่น ε ₁ , ε ₂และ ε ₃เป็นอิสระต่อกัน) สามารถอนุมานสูตรต่อไปนี้ได้: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}TE&=E(Y\mid X=1)-E(Y\mid X=0)\\CDE(m)&=E(Y\mid X=1,M=m)-E(Y\mid X=0,M=m)\\NDE&=\sum _{m}[E(Y|X=1,M=m)-E(Y\mid X=0,M=m)]P(M=m\mid X=0)\\NIE&=\sum _{m}[P(M=m\mid X=1)-P(M=m\mid X=0)]E(Y\mid X=0,M=m).\end{aligned}}}$

สมการสองสมการสุดท้ายเรียกว่าสูตรการไกล่เกลี่ย^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}และกลายเป็นเป้าหมายของการประมาณค่าในการศึกษาการไกล่เกลี่ยหลายๆ ครั้ง^{[ 29 ] [ 30 ] [ 32 ] [ 33 ]}สูตรเหล่านี้ให้การแสดงออกที่ไม่ขึ้นกับการกระจายตัวสำหรับผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อม และแสดงให้เห็นว่า แม้ว่าลักษณะการกระจายข้อผิดพลาดและฟังก์ชันf , gและh จะเป็นไปโดยพลการ แต่ ผลกระทบที่ไกล่เกลี่ยก็ยังสามารถประมาณค่าได้จากข้อมูลโดยใช้การถดถอย การวิเคราะห์การไกล่เกลี่ยแบบมีตัวแปรควบคุมและตัวแปรควบคุมที่ไกล่เกลี่ยจัดเป็นกรณีพิเศษของการวิเคราะห์การไกล่เกลี่ยเชิงสาเหตุ และสูตรการไกล่เกลี่ยจะระบุว่าสัมประสิทธิ์ปฏิสัมพันธ์ต่างๆ มีส่วนช่วยในส่วนประกอบที่จำเป็นและเพียงพอของการไกล่เกลี่ยอย่างไร^{[ 30 ] [ 31 ]}

สมมติว่าแบบจำลองมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\varepsilon _{1}\\M&=b_{0}+b_{1}X+\varepsilon _{2}\\Y&=c_{0}+c_{1}X+c_{2}M+c_{3}XM+\varepsilon _{3}\end{aligned}}}$

โดยที่พารามิเตอร์จะวัดระดับที่Mปรับเปลี่ยนผลกระทบของXต่อYแม้ว่าพารามิเตอร์ทั้งหมดจะถูกประมาณค่าจากข้อมูลแล้ว ก็ยังไม่ชัดเจนว่าการรวมกันของพารามิเตอร์ใดที่วัดผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อมของXต่อYหรือในทางปฏิบัติแล้ว จะประเมินสัดส่วนของผลกระทบทั้งหมดที่อธิบายได้ด้วยการไกล่เกลี่ยและสัดส่วนที่เกิดจากตัวกลางได้อย่างไร ในการวิเคราะห์เชิงเส้น สัดส่วนแรกจะถูกจับโดยผลคูณ สัดส่วนหลังโดยผลต่างและปริมาณทั้งสองจะตรงกัน อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีปฏิสัมพันธ์ สัดส่วนแต่ละส่วนจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์แยกต่างหาก ตามที่กำหนดโดยสูตรการไกล่เกลี่ย ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle b_{1}c_{2}/TE}$${\displaystyle (TE-c_{1})/TE}$

${\displaystyle {\begin{aligned}NDE&=c_{1}+b_{0}c_{3}\\NIE&=b_{1}c_{2}\\TE&=c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})\\&=NDE+NIE+b_{1}c_{3}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น สัดส่วนของผลตอบสนองที่การไกล่เกลี่ยจะเพียงพอคือ

${\displaystyle {\frac {NIE}{TE}}={\frac {b_{1}c_{2}}{c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})}},}$

ในขณะที่เศษส่วนที่จำเป็นต้องมีการไกล่เกลี่ยคือ

${\displaystyle 1-{\frac {NDE}{TE}}={\frac {b_{1}(c_{2}+c_{3})}{c_{1}+b_{0}c_{3}+b_{1}(c_{2}+c_{3})}}.}$

เศษส่วนเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการผสมผสานที่ไม่ชัดเจนของพารามิเตอร์ของแบบจำลอง และสามารถสร้างขึ้นได้โดยอัตโนมัติด้วยความช่วยเหลือของสูตรการไกล่เกลี่ย ที่สำคัญคือ เนื่องจากการปฏิสัมพันธ์ ผลกระทบโดยตรงสามารถคงอยู่ได้แม้ว่าพารามิเตอร์จะหายไป และยิ่งไปกว่านั้น ผลกระทบโดยรวมสามารถคงอยู่ได้แม้ว่าทั้งผลกระทบโดยตรงและโดยอ้อมจะหายไป สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่าพารามิเตอร์โดยแยกจากกันนั้นบอกเราได้น้อยมากเกี่ยวกับผลกระทบของการไกล่เกลี่ย และโดยทั่วไปแล้ว การไกล่เกลี่ยและการปรับเปลี่ยนนั้นเกี่ยวพันกันและไม่สามารถประเมินแยกจากกันได้ ${\displaystyle c_{1}}$

• การอนุมานเชิงสาเหตุ
• ตัวแปรแฝง

• สรุปวิธีการไกล่เกลี่ยใน PsychWiki (เก็บถาวรเมื่อ 2011-07-15 ในWayback Machine)
• ตัวอย่างการไกล่เกลี่ยเชิงสาเหตุโดยใช้คะแนนความโน้มเอียงศูนย์ระเบียบวิธีวิจัย มหาวิทยาลัยเพนน์สเตท
• หนังสือเกี่ยวกับการวิเคราะห์ตัวแปรควบคุมและตัวแปรสื่อกลาง รวมถึงบทนำเกี่ยวกับมาโคร PROCESS สำหรับ SPSS และ SASโดย แอนดรูว์ เอฟ. เฮย์ส มหาวิทยาลัยโอไฮโอสเตท
• ข้อความออนไลน์ของ "ปัจจัยกำหนดพฤติกรรม ณ จุดตัดสินใจ"
• Kenneth MacCorquodale และPaul E. Meehl (1948) ว่าด้วยความแตกต่างระหว่างโครงสร้างสมมติฐานและตัวแปรแทรกซ้อนคลาสสิกในประวัติศาสตร์จิตวิทยาตีพิมพ์ซ้ำเมื่อวันที่ 22 สิงหาคม 2011