การถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันเป็นเทคนิคทางสถิติสำหรับการประมาณค่าปริมาณที่เกี่ยวข้องกับประชากรอื่นที่ไม่ใช่ประชากรที่เก็บรวบรวมข้อมูลมา การออกแบบการศึกษาที่มีประชากรตัวอย่างและประชากรเป้าหมายในการอนุมาน (ประชากรเป้าหมาย) ที่แตกต่างกันนั้นพบได้ทั่วไปในการประยุกต์ใช้^{[ 1 ]}อาจมีปัจจัยที่ขัดขวางไม่ให้นักวิจัยสุ่มตัวอย่างจากประชากรเป้าหมายโดยตรง เช่น ค่าใช้จ่าย เวลา หรือข้อกังวลด้านจริยธรรม^{[ 2 ]}วิธีแก้ปัญหานี้คือการใช้กลยุทธ์การออกแบบทางเลือกอื่น เช่นการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นการถ่วงน้ำหนัก เมื่อนำไปใช้อย่างถูกต้อง อาจช่วยเพิ่มประสิทธิภาพและลดอคติของตัวประมาณค่าที่ไม่ถ่วงน้ำหนักได้

ตัวประมาณค่าถ่วงน้ำหนักในยุคแรกๆ ตัวหนึ่งคือ ตัวประมาณค่า เฉลี่ยของHorvitz–Thompson ^{[ 3 ]}เมื่อ ทราบ ความน่าจะเป็นของการสุ่มตัวอย่างซึ่งประชากรตัวอย่างจะถูกดึงมาจากประชากรเป้าหมาย จะใช้ค่าผกผันของความน่าจะเป็นนี้ในการถ่วงน้ำหนักการสังเกต วิธีการนี้ได้รับการขยายไปสู่สถิติหลายแง่มุมภายใต้กรอบการทำงานต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีความน่าจะเป็นแบบถ่วงน้ำหนักสมการประมาณค่าแบบถ่วงน้ำหนักและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบถ่วงน้ำหนักซึ่งสถิติส่วนใหญ่ได้มาจากสิ่งเหล่านี้ การประยุกต์ใช้เหล่านี้ได้กำหนดทฤษฎีของสถิติและตัวประมาณค่าอื่นๆ เช่นแบบจำลองโครงสร้างเชิงชายขอบอัตราส่วนการตายมาตรฐานและอัลกอริทึม EM สำหรับ ข้อมูลที่หยาบหรือรวม

การถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันยังใช้เพื่อชดเชยข้อมูลที่หายไปเมื่อไม่สามารถรวมกลุ่มตัวอย่างที่มีข้อมูลหายไปในการวิเคราะห์หลักได้^{[ 4 ]} ด้วยการประมาณค่าความน่าจะเป็นของการสุ่มตัวอย่าง หรือความน่าจะเป็นที่ปัจจัยจะถูกวัดในการวัดอื่น การถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันสามารถใช้เพื่อเพิ่มน้ำหนักให้กับกลุ่มตัวอย่างที่มีจำนวนน้อยเกินไปเนื่องจากข้อมูลที่หายไปจำนวน มาก

ตัวประมาณค่าถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันสามารถใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุได้ เมื่อนักวิจัยไม่สามารถทำการทดลองแบบควบคุมได้ แต่มีข้อมูลที่สังเกตได้เพื่อใช้ในการสร้างแบบจำลอง เนื่องจากถือว่าการรักษาไม่ได้ถูกกำหนดแบบสุ่ม เป้าหมายจึงเป็นการประมาณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หากผู้เข้าร่วมทั้งหมดในประชากรได้รับการรักษาแบบใดแบบหนึ่ง

เราพิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงร่วมกันตามกฎที่กำหนด ${\displaystyle (X,A,Y)\in \mathbb {R} ^{p}\times \{0,1\}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p}}$ตัวแปรควบคุมคือตัวแปรเสริม
• ${\displaystyle A\in \{0,1\}}$มีวิธีการรักษาที่เป็นไปได้สองวิธี
• ${\displaystyle Y\in \mathbb {R} }$คือคำตอบ
• ไม่มีการตั้งสมมติฐานใดๆ เช่นการสุ่มจัดสรรการรักษา

ตามกรอบแนวคิดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของรูบินเรายังกำหนดให้มีตัวแปรสุ่มสำหรับแต่ละกรณีด้วย ในเชิงความหมายหมายถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่จะสังเกตได้หากผู้ถูกทดลองได้รับการรักษา ในทางเทคนิคแล้ว เราทำงานกับการแจกแจงร่วมแบบเต็มของในกรณีนั้นคือการแจกแจงแบบมาร์จินัลสำหรับส่วนประกอบที่สังเกตได้ของ เท่านั้นจำเป็นต้องมีข้อสมมติพิเศษเพื่ออนุมานคุณสมบัติเกี่ยวกับ โดยใช้ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดต่อไป ${\displaystyle Y^{\ast }(a)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a=0,1}$${\displaystyle Y^{*}{\bigl (}a{\bigr )}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P^{\ast }}$${\displaystyle (X,A,Y,Y^{\ast }(0),Y^{\ast }(1))}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\ast }}$${\displaystyle P^{\ast }}$${\displaystyle P}$

สมมติว่าเรามีข้อมูลที่สังเกตได้ซึ่งมีการกระจายแบบเดียวกันและเป็นอิสระต่อกันตามเป้าหมายคือการใช้ข้อมูลที่สังเกตได้เพื่อประมาณคุณสมบัติของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการเปรียบเทียบผลลัพธ์เฉลี่ยหากผู้ป่วยทั้งหมดในประชากรได้รับการรักษาแบบใดแบบหนึ่ง: เราต้องการประมาณค่าโดยใช้ข้อมูลที่สังเกตได้ ${\displaystyle \{(X_{i},A_{i},Y_{i})\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Y^{\ast }(a)}$${\displaystyle \mu _{a}=\mathbb {E} Y^{*}(a)}$${\displaystyle \mu _{a}}$${\displaystyle \{{\bigl (}X_{i},A_{i},Y_{i}{\bigr )}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{IPWE}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}{\frac {\mathbf {1} _{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$

1. ${\displaystyle \mu _{a}=\mathbb {E} \left[{\frac {\mathbf {1} _{A=a}Y}{p(A|X)}}\right]}$ ที่ไหน${\displaystyle p(a|x)={\frac {P(A=a,X=x)}{P(X=x)}}}$
2. สร้างหรือใช้แบบจำลองความน่าจะเป็นใดๆ (ส่วนใหญ่มักเป็นแบบจำลองการถดถอย โลจิสติก )${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(a|x)}$${\displaystyle p(a|x)}$
3. ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{IPWE}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}1_{A_{i}=a}}{n{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่มทดลองแล้วสามารถใช้การทดสอบt-test หรือ ANOVA ทางสถิติเพื่อประเมินความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่ม และกำหนด นัยสำคัญทางสถิติของผลกระทบจากการทดลองได้

โปรดจำแบบจำลองความน่าจะเป็นร่วมแบบเต็มรูปแบบสำหรับตัวแปรอิสระการกระทำการตอบสนองและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และโปรดจำไว้ด้วยว่าคือการแจกแจงแบบมาร์จินัลของข้อมูลที่สังเกตได้ ${\displaystyle (X,A,Y,Y^{\ast }(0),Y^{\ast }(1))\sim P^{\ast }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{\ast }(0),Y^{\ast }(1)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (X,A,Y)}$

เราตั้งสมมติฐานต่อไปนี้เกี่ยวกับการเชื่อมโยงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กับข้อมูลที่สังเกตได้ สมมติฐานเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถอนุมานคุณสมบัติของผ่านทางได้ ${\displaystyle P^{\ast }}$${\displaystyle P^{\ast }}$${\displaystyle P}$

• ( A1 ) ความสม่ำเสมอ: ดังนั้นสำหรับ.${\displaystyle Y=\mathbf {1} \{A=0\}Y^{\ast }(0)+\mathbf {1} \{A=1\}Y^{\ast }(1)}$${\displaystyle \mathbf {1} \{A=a\}Y=\mathbf {1} \{A=a\}Y^{\ast }(a)}$${\displaystyle a}$
• ( A2 ) ไม่มีตัวแปรแทรกซ้อนที่วัดไม่ได้: ในทางทฤษฎี สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้แบบ Borel ที่มีขอบเขตและสำหรับใดๆ ก็ตามหมายความว่าการกำหนดการรักษาจะขึ้นอยู่กับข้อมูลตัวแปรเสริมเท่านั้น และเป็นอิสระจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้${\displaystyle \{Y^{*}(0),Y^{*}(1)\}\perp A\,|\,X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{(A,Y^{*}(a))}\left[f(Y^{*}(a))g(A)\,|\,X\right]=\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}\left[f(Y^{*}(a))\,|\,X\right]\mathbb {E} _{A}\left[g(A)\,|\,X\right]\end{aligned}}}$${\displaystyle a}$
• ( A3 ) ทัศนคติเชิงบวก: สำหรับทุกคนและ.${\displaystyle P(A=a|X=x)>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

ภายใต้สมมติฐาน ( A1 )-( A3 ) เราจะได้เอกลักษณ์ต่อไปนี้^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}\left[Y^{*}(a)\right]=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y}\left[Y\,|\,A=a,X\right]\right]=\mathbb {E} _{(X,A,Y)}\left[{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}Y}{P(A|X)}}\right].\qquad \cdots \cdots (*)\end{aligned}}}$

ความเท่าเทียมกันข้อแรกแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}\left[Y^{\ast }(a)\right]&=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}[Y^{\ast }(a)\,|\,X]\right]\qquad \cdots \cdots {\text{ iterated expectation }}\\&=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}[Y^{\ast }(a)\,|\,A=a,X]\right]\qquad \cdots \cdots {\text{ (A3) and (A2) }}\\&=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y}\left[Y\,|\,A=a,X\right]\right]\qquad \cdots \cdots {\text{ (A1) }}\end{aligned}}}$

สำหรับความเท่าเทียมกันข้อที่สอง ก่อนอื่นให้สังเกตจากบทพิสูจน์ข้างต้นว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y}\left[Y\,|\,A=a,X\right]\right]=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}[Y^{\ast }(a)\,|\,X]\right].\end{aligned}}}$

ตอนนี้โดย ( A3 ) เกือบจะแน่นอนนอกจากนี้ โปรดสังเกตว่า ${\displaystyle P(A\,|\,X)>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} _{A}{\Big [}{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}}{P(A\,|\,X)}}\,{\Big |}\,X{\Big ]}=\sum _{\alpha =0,1}{\frac {\mathbf {1} \{\alpha =a\}}{\cancel {P(\alpha |X)}}}{\cancel {P(\alpha |X)}}=1}$ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}[Y^{\ast }(a)\,|\,X]\right]&=\mathbb {E} _{X}{\Big [}\mathbb {E} _{A}{\Big [}{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}}{P(A\,|\,X)}}\,{\Big |}\,X{\Big ]}\,\mathbb {E} _{Y^{*}(a)}[Y^{\ast }(a)\,|\,X]{\Big ]}\\&=\mathbb {E} _{X}{\Big [}\mathbb {E} _{(A,Y^{\ast }(a))}{\Big [}{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}Y^{\ast }(a)}{P(A\,|\,X)}}\,{\Big |}\,X{\Big ]}{\Big ]}\qquad \cdots \cdots {\text{ (A2) }}\\&=\mathbb {E} _{X}{\Big [}\mathbb {E} _{(A,Y)}{\Big [}{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}Y}{P(A\,|\,X)}}\,{\Big |}\,X{\Big ]}{\Big ]}\qquad \cdots \cdots {\text{ (A1) }}\\&=\mathbb {E} _{(X,A,Y)}\left[{\frac {\mathbf {1} \{A=a\}Y}{P(A|X)}}\right]\end{aligned}}}$

ตัวประมาณค่าถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผัน (IPWE) เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่เสถียรหากความโน้มเอียงที่ประมาณไว้บางส่วนอยู่ใกล้ 0 หรือ 1 มากเกินไป ในกรณีดังกล่าว IPWE อาจถูกครอบงำโดยกลุ่มตัวอย่างจำนวนน้อยที่มีน้ำหนักมาก เพื่อแก้ไขปัญหานี้ จึงมีการเสนอตัวประมาณค่า IPWE แบบเรียบโดยใช้ Rao-Blackwellization ซึ่งช่วยลดความแปรปรวนของ IPWE ได้มากถึง 7 เท่า และช่วยปกป้องตัวประมาณค่าจากการกำหนดแบบจำลองที่ไม่ถูกต้อง^{[ 6 ]}

ตัวประมาณทางเลือกคือตัวประมาณถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันเสริม (AIPWE) ซึ่งรวมคุณสมบัติของตัวประมาณตามการถดถอยและตัวประมาณถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันเข้าด้วยกัน ดังนั้นจึงเป็นวิธีการที่ 'แข็งแกร่งสองเท่า' เนื่องจากต้องการเพียงแบบจำลองความโน้มเอียงหรือแบบจำลองผลลัพธ์ที่ถูกต้องเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่จำเป็นต้องระบุทั้งสองอย่าง วิธีนี้เสริม IPWE เพื่อลดความแปรปรวนและปรับปรุงประสิทธิภาพการประมาณ แบบจำลองนี้มีข้อสมมติฐานเดียวกันกับตัวประมาณถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผัน (IPWE) ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\frac {Y_{i}1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}-{\frac {1_{A_{i}=a}-{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}Y_{i}+\left(1-{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}\right){\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\Biggl (}Y_{i}-{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\end{aligned}}}$

โดยมีสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้:

1. ${\displaystyle 1_{A_{i}=a}}$เป็นฟังก์ชันบ่งชี้ว่าบุคคล i เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มการรักษา a หรือไม่
2. สร้างตัวประมาณการถดถอยเพื่อทำนายผลลัพธ์โดยอาศัยตัวแปรควบคุมและการรักษาสำหรับผู้ป่วยรายใดรายหนึ่ง ตัวอย่างเช่น โดยใช้การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(x,a)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
3. สร้างค่าประมาณความโน้มเอียง (ความน่าจะเป็น) ตัวอย่างเช่น โดยใช้การถดถอยโลจิสติก${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$
4. รวมใน AIPWE เพื่อให้ได้${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}}$

การจัดเรียงสูตรใหม่ในภายหลังช่วยเปิดเผยแนวคิดพื้นฐาน: ตัวประมาณค่าของเราขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่คาดการณ์โดยเฉลี่ยโดยใช้แบบจำลอง (เช่น: ) อย่างไรก็ตาม หากแบบจำลองมีอคติ ค่าตกค้างของแบบจำลองจะไม่ (ในกลุ่มการรักษาทั้งหมด a) อยู่ใกล้ 0 เราสามารถแก้ไขอคติที่อาจเกิดขึ้นนี้ได้โดยการเพิ่มพจน์พิเศษของค่าตกค้างเฉลี่ยของแบบจำลอง (Q) จากค่าจริงของผลลัพธ์ (Y) (เช่น: ) เนื่องจากเรามีค่า Y ที่หายไป เราจึงให้ค่าน้ำหนักเพื่อขยายความสำคัญสัมพัทธ์ของค่าตกค้างแต่ละค่า (ค่าน้ำหนักเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแนวโน้มผกผัน หรือความน่าจะเป็นของการเห็นการสังเกตของแต่ละบุคคล) (ดูหน้า 10 ใน^{[ 8 ]} ) ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\Biggl (}Y_{i}-{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}}$

ประโยชน์ "แข็งแกร่งสองเท่า" ของตัวประมาณค่าดังกล่าวมาจากการที่เพียงพอแล้วที่แบบจำลองหนึ่งในสองแบบจะถูกกำหนดอย่างถูกต้อง ตัวประมาณค่าก็จะไม่เอนเอียง (อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง) ทั้งนี้เพราะหากแบบจำลองผลลัพธ์ถูกกำหนดไว้อย่างดี ค่าตกค้างก็จะอยู่ประมาณ 0 (โดยไม่คำนึงถึงน้ำหนักที่ค่าตกค้างแต่ละค่าจะได้รับ) ในขณะที่หากแบบจำลองเอนเอียง แต่แบบจำลองการถ่วงน้ำหนักถูกกำหนดไว้อย่างดี ความเอนเอียงก็จะถูกประมาณค่าได้ดี (และแก้ไขแล้ว) โดยค่าตกค้างเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(X_{i},a)}$${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$

อคติของตัวประมาณค่าที่แข็งแกร่งสองเท่าเรียกว่าอคติลำดับที่สองและขึ้นอยู่กับผลคูณของความแตกต่างและความแตกต่างคุณสมบัตินี้ช่วยให้เราสามารถลดอคติโดยรวมของตัวประมาณค่าที่แข็งแกร่งสองเท่าได้เมื่อมีขนาดตัวอย่างที่ "ใหญ่พอ" โดยใช้ ตัวประมาณค่า การเรียนรู้ของเครื่อง (แทนที่จะใช้แบบจำลองพาราเมตริก) ^{[ 11 ]}${\displaystyle {\frac {1}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}-{\frac {1}{{p}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(X_{i},a)-Q_{n}(X_{i},a)}$

การถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผันถูกนำไปใช้ในโปรแกรมซอฟต์แวร์ทางสถิติต่างๆ:

• Python : ipwจาก แพ็คเกจ balanceช่วยให้สามารถปรับ IPW เพื่อปรับอคติจากการไม่ตอบแบบสอบถามได้^{[ 12 ]}ซึ่งอาศัยการถดถอยโลจิสติก (ดูบทช่วยสอนเริ่มต้นอย่างรวดเร็ว ) หรือ โมเดลการจำแนกประเภทscikit-learnอื่นๆ
• R : แพ็คเกจ ipw CRAN : ประมาณน้ำหนักความน่าจะเป็นผกผัน^{[ 13 ]}แพ็คเกจ WeightIt CRANยังรองรับแนวทางที่หลากหลายยิ่งขึ้นด้วย: การถ่วงน้ำหนักเพื่อความสมดุลของตัวแปรควบคุมในการศึกษาเชิงสังเกต^{[ 14 ]}

• การจับคู่คะแนนความโน้มเอียง
• เอฟเฟกต์การออกแบบ