เศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (หรือเศษส่วนในรูปอย่างต่ำที่สุดรูปแบบที่ง่ายที่สุดหรือเศษส่วนที่ลดรูปแล้ว ) คือเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหาร ร่วมอื่น นอกจาก 1 (และ −1 เมื่อพิจารณาจำนวนลบ) ^{[ 1 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เศษส่วน⁠เอ/ขเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อaและbเป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์ นั่นคือ ถ้าaและbมีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 ในคณิตศาสตร์ ขั้นสูง " เศษส่วนที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ " อาจหมายถึงเศษส่วนตรรกยะที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์[ 2 ^{]จำนวนตรรกยะทุก}จำนวนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้โดยมีตัวส่วนเป็นบวกได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น^{[ 3 ]}

บางครั้งนิยามที่เทียบเท่ากันก็มีประโยชน์: ถ้าaและbเป็นจำนวนเต็ม แล้วเศษส่วน⁠เอ/ขจะ ไม่สามารถแยกย่อยได้อีก ก็ต่อเมื่อไม่มีเศษส่วนอื่นที่เท่ากันค/งโดยที่| c | < | a |หรือ| d | < | b |โดยที่ | a | หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของa [ ^{4 ] (}เศษส่วนสองจำนวนเอ/ขและ​​ค/ง(จะเท่ากันหรือเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อad  =  bc เท่านั้น )

ตัวอย่างเช่น⁠1/4, ⁠​5/6และ​​−101/100ทั้งหมดเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้อีก ในทางกลับกัน2/4สามารถลด ทอนได้เนื่องจากมีค่าเท่ากับ1/2และตัวเศษของ1/2น้อยกว่าตัวเศษของ2/4⁠ .

เศษส่วนที่สามารถลดรูปได้สามารถลดรูปได้โดยการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม และสามารถลดรูปให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดได้อย่างสมบูรณ์หากทั้งสองตัวถูกหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุด^{[ 5 ]}ในการหาตัวหารร่วมมากที่สุด สามารถใช้ อัลกอริทึมยูคลิดหรือการแยกตัวประกอบเฉพาะได้ โดยทั่วไปนิยมใช้อัลกอริทึมยูคลิดมากกว่า เพราะช่วยให้สามารถลดรูปเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนมากเกินกว่าจะแยกตัวประกอบได้ง่าย^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}}$

ขั้นตอนแรก นำตัวเลขทั้งสองมาหารด้วย 10 ซึ่งเป็นตัวประกอบร่วมของทั้ง 120 และ 90 ขั้นตอนที่สอง นำตัวเลขทั้งสองมาหารด้วย 3 ผลลัพธ์สุดท้ายคือ⁠4/3เป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เนื่องจาก 4 และ 3 ไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1

เศษส่วนเดิมสามารถลดทอนได้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้ตัวหารร่วมมากที่สุดของ 90 และ 120 ซึ่งก็คือ 30 เนื่องจาก120 ÷ 30 = 4และ 90 ÷ 30 = 3จึงได้

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}}$

วิธีใดเร็วกว่า "โดยการคำนวณด้วยมือ" นั้นขึ้นอยู่กับเศษส่วนและความง่ายในการหาตัวประกอบร่วม ในกรณีที่ตัวส่วนและตัวเศษเหลืออยู่มากเกินไปจนไม่สามารถตรวจสอบได้ว่าตัวส่วนและตัวเศษเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ยังจำเป็นต้องคำนวณหาตัวหารร่วมมากอยู่ดี เพื่อให้แน่ใจว่าเศษส่วนนั้นเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จริง

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนมี การแสดง เฉพาะตัวในรูปเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ซึ่งมีตัวส่วนเป็นบวก^{[ 3 ]} (อย่างไรก็ตาม⁠2/3=​​−2/−3แม้ว่าทั้งสองจะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ก็ตาม ความเป็นเอกลักษณ์เป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มที่ ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากเอ/ข=​​ค/ง⁠หมายความว่า ad  =  bcดังนั้นทั้งสองข้างของข้อหลังจะต้องมีตัวประกอบเฉพาะเหมือนกัน แต่ aและ bไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ดังนั้นเซตของตัวประกอบเฉพาะของ a (รวมถึงความซ้ำซ้อน) จึงเป็นเซตย่อยของเซตของตัวประกอบ เฉพาะ ของ cและในทางกลับกัน หมายความว่า a  =  cและด้วยเหตุผลเดียวกัน b  =  d

ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนตรรกยะใดๆ มีการแสดงในรูปเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เพียงรูปแบบเดียว ถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของ 2และจำนวนอตรรกยะอื่นๆ ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์หนึ่งระบุว่า ถ้าสามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีการแสดงในรูปเศษส่วนที่แยกตัวประกอบได้อย่างสมบูรณ์ดังนี้${\displaystyle {\sqrt {2}}}$เอ/ขโดยที่aและbเป็นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ แต่กำหนดให้เอ/ขเท่ากับเช่นกัน​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$2 ข − เอ/a − b(เนื่องจากการคูณไขว้กับ⁠เอ/ข(แสดงว่าเท่ากัน) เนื่องจากa  >  b (เพราะ มากกว่า 1) ดังนั้นค่าหลังจึงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มที่เล็กกว่าสองจำนวน นี่คือข้อขัดแย้งดังนั้นสมมติฐานที่ว่ารากที่สองของสองสามารถแสดงได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนจึงเป็นเท็จ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

แนวคิดเรื่องเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้นั้น สามารถขยายไปสู่ฟิลด์ของเศษส่วนที่มีโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันได้ กล่าวคือสมาชิกใดๆ ในฟิลด์ดังกล่าวสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ตัวส่วนและตัวเศษเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ โดยการหารทั้งสองด้วยตัวหารร่วมมากที่สุด^{[ 7 ]}สิ่งนี้ใช้ได้กับนิพจน์ตรรกยะเหนือฟิลด์อย่างเห็นได้ชัด เศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สำหรับสมาชิกที่กำหนดนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นการคูณตัวส่วนและตัวเศษด้วยสมาชิกที่ผกผันได้ตัวเดียวกัน ในกรณีของจำนวนตรรกยะ หมายความว่าจำนวนใดๆ ก็มีเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สองตัว ซึ่งมีความสัมพันธ์กันโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของทั้งตัวเศษและตัวส่วน ความกำกวมนี้สามารถขจัดได้โดยการกำหนดให้ตัวส่วนเป็นบวก ในกรณีของฟังก์ชันตรรกยะ ตัวส่วนอาจกำหนดให้เป็นพหุนามเอกลักษณ์ได้ เช่นกัน ^{[ 8 ]}

• การตัดทอนที่ผิดปกติคือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ผิดพลาด ซึ่งทำให้ได้เศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่ถูกต้อง โดยการตัดทอนตัวเลขจากรูปเศษส่วนเดิมที่ยังไม่แยกตัวประกอบ
• การประมาณค่าด้วยไดโอแฟนไทน์คือการประมาณค่าจำนวนจริงด้วยจำนวนตรรกยะ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เศษส่วนอย่างลดรูป" . แมธเวิลด์ .