ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบกำลังสองบนฟิลด์Fเรียกว่า รูปแบบกำลัง สองสมมาตร (isotropic)ถ้ามีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งทำให้รูปแบบนั้นมีค่าเป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะ เรียกว่า รูปแบบกำลังสอง แน่นอน (definite quadratic form ) กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ถ้าqเป็นรูปแบบกำลังสองบนปริมาณเวกเตอร์VบนFแล้ว เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์vในVจะเรียกว่าเวกเตอร์สมมาตรถ้าq ( v ) = 0รูปแบบกำลังสองจะเป็น รูปแบบกำลังสองสมมาตร ก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์สมมาตรที่ไม่เป็นศูนย์ (หรือเวกเตอร์ศูนย์ ) สำหรับรูปแบบกำลังสองนั้น

สมมติว่า( V , q )เป็นปริภูมิกำลังสองและWเป็นปริภูมิย่อยของVแล้วWเรียกว่าปริภูมิย่อยไอโซโทรปิกของVถ้า มีเวกเตอร์ บางตัวในนั้นเป็นไอโซโทรปิก เรียกว่าปริภูมิย่อยไอโซโทรปิกโดยสมบูรณ์ถ้า เวกเตอร์ ทั้งหมดในนั้นเป็นไอโซโทรปิก และเรียกว่าปริภูมิย่อยแน่นอนถ้ามันไม่มีเวกเตอร์ไอโซโทรปิก (ที่ไม่ใช่ศูนย์) อยู่ เลยดัชนีไอโซโทรปีของปริภูมิกำลังสองคือค่าสูงสุดของมิติของปริภูมิย่อยไอโซโทรปีโดยสมบูรณ์ ^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีที่ F เป็นฟิลด์ปิดจริง (เพื่อให้ลายเซ็นถูกกำหนด) บนจำนวนจริง หากรูปแบบกำลังสองไม่เสื่อมสภาพและมี ลายเซ็น( a , b )แล้ว ดัชนีความสมมาตรของรูปแบบนั้นคือค่าต่ำสุดของaและbตัวอย่างที่สำคัญของรูปแบบความสมมาตรบนจำนวนจริงเกิดขึ้นในปริภูมิซูโด-ยูคลิด

ให้F ^เป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่ใช่ 2 และV = F²ถ้าเราพิจารณาองค์ประกอบทั่วไป( x , y ⁾ของVแล้ว รูปแบบกำลังสองq = xyและr = x² − y²จะสมมูลกัน เนื่องจากมีการแปลงเชิงเส้นบนVที่ทำให้q มี ลักษณะเหมือนrและในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่า( V , q )และ⁽ V , r )เป็นไอโซโทรปิก ตัวอย่างนี้เรียกว่าระนาบไฮเปอร์โบลิก ใน ทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองตัวอย่างทั่วไปคือF = จำนวนจริงซึ่งในกรณีนี้{ x ∈ V  : q ( x ) = ค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์}และ{ x ∈ V  : r ( x ) = ค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์}เป็นไฮเปอร์โบลาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง{ x ∈ V  : r ( x ) = 1}คือ ไฮเปอร์โบ ลาหน่วย Milnor และ Husemoller ^{[ 1 ]}ใช้สัญลักษณ์⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ^{สำหรับ} ระนาบไฮเปอร์โบลิก โดย แสดง เครื่องหมายของพจน์พหุนามสองตัวแปรr

ระนาบไฮเปอร์โบลิกเชิงเส้นถูกอธิบายโดยEmil Artinว่าเป็นปริภูมิกำลังสองที่มีฐาน{ M , N }ที่สอดคล้องกับM ² = N ² = 0, NM = 1โดยที่ผลคูณแสดงถึงรูปแบบกำลังสอง^{[ 2 ]}

ผ่านเอกลักษณ์การโพลาไรเซชันรูปแบบกำลังสองมีความสัมพันธ์กับรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรB ( u , v ) = ⁠1/4⁠ ( q ( u + v ) − q ( u − v )) .

เวกเตอร์uและvจะตั้งฉากกันเมื่อB ( u , v ) = 0ในกรณีของระนาบไฮเปอร์โบลิก เวกเตอร์uและv ดังกล่าว จะเรียกว่าเวกเตอร์ไฮเปอร์โบลิกตั้งฉากกัน

พื้นที่ที่มีรูปแบบกำลังสองจะถูกแบ่ง (หรือเมตาโบลิก ) หากมีพื้นที่ย่อยซึ่งเท่ากับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก ของตัวเอง หรือเทียบเท่ากับดัชนีของไอโซโทรปีเท่ากับครึ่งหนึ่งของมิติ^{[ 1 ] : 57} ระนาบไฮเปอร์โบลิกเป็นตัวอย่างหนึ่ง และเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 พื้นที่แบ่งทุกพื้นที่เป็นผลรวมโดยตรงของระนาบไฮเปอร์โบลิก^{[ 1 ] : 12, 3}

จากมุมมองของการจำแนกรูปแบบกำลังสอง พื้นที่ที่มีรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนถือเป็นส่วนประกอบพื้นฐานสำหรับพื้นที่กำลังสองที่มีมิติใดๆ สำหรับฟิลด์ทั่วไปFการจำแนกรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเป็นปัญหาที่ไม่ธรรมดา ในทางตรงกันข้าม รูปแบบไอโซโทรปิกมักจะจัดการได้ง่ายกว่ามาก ตามทฤษฎีบทการแยกส่วนของวิทท์พื้นที่ผลคูณภายในทุก พื้นที่ เหนือฟิลด์เป็นผลรวมโดยตรงเชิงตั้งฉากของพื้นที่แยกส่วนและพื้นที่ที่มีรูปแบบกำลังสองที่แน่นอน^{[ 1 ] : 56}

• ถ้าFเป็น ฟิลด์ ปิดเชิงพีชคณิตเช่น ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนและ( V , q )เป็นปริภูมิกำลังสองที่มีมิติอย่างน้อยสอง แล้ว (V, q) จะเป็นไอโซโทรปิก
• ถ้าFเป็นฟิลด์จำกัดและ( V , q )เป็นปริภูมิกำลังสองที่มีมิติอย่างน้อยสาม ปริภูมิทั้งสองนี้จะเป็นไอโซโทรปิก (ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทเชอวาลลีย์-วอร์นิง )
• ถ้าFคือฟิลด์Q _pของจำนวนp -adic และ( V , q )คือปริภูมิกำลังสองที่มีมิติอย่างน้อยห้า แล้วมันจะเป็นไอโซโทรปิก

• เส้นไอโซโทรปิก
• อวกาศขั้วโลก
• กลุ่มวิทท์
• แหวนวิทท์ (รูปทรง)
• รูปแบบกำลังสองสากล