ในทฤษฎีของระบบอนุภาคหลายตัวพิกัด Jacobiมักใช้เพื่อลดความซับซ้อนของสูตรทางคณิตศาสตร์ พิกัดเหล่านี้พบได้ทั่วไปในการจัดการกับโมเลกุลหลายอะตอม^{และปฏิกิริยาเคมี [ 3 ] และในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ [ 4} ]อัลก^อริทึม^{สำหรับ}การสร้างพิกัด^{Jacobiสำหรับวัตถุ} N อาจขึ้นอยู่กับต้นไม้ไบนารี [ ^{5 ] กล่าว}อีกนัยหนึ่ง อัลกอริทึมนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้: ^{[ 5 ]}

เราเลือกวัตถุสองชิ้นจากทั้งหมดNชิ้นที่มีพิกัดตำแหน่งx _jและx _kแล้วแทนที่ด้วยวัตถุเสมือนหนึ่งชิ้นที่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสองนั้น เรากำหนดพิกัดตำแหน่งสัมพัทธ์r _jk = x _j  −  x _kจากนั้นเราทำซ้ำกระบวนการนี้กับ วัตถุ N  − 1 ชิ้น ซึ่งประกอบด้วยวัตถุN  − 2 ชิ้นที่เหลือบวกกับวัตถุเสมือนใหม่ หลังจากทำซ้ำ ขั้นตอนดังกล่าว N  − 1 ครั้ง เราจะได้พิกัดจาโคบีซึ่งประกอบด้วยตำแหน่งสัมพัทธ์และพิกัดอีกหนึ่งพิกัดที่แสดงตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลที่กำหนดล่าสุด

สำหรับ ปัญหา N -bodyผลลัพธ์คือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}$

กับ

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

เวกเตอร์นี้คือจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งหมด และเป็นพิกัดสัมพัทธ์ระหว่างอนุภาคที่ 1 และ 2: ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$

ผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นระบบพิกัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนN -1 ระบบ และพิกัดจุดศูนย์กลางมวลซึ่งได้มาจากการลดระบบสองวัตถุภายในระบบหลายวัตถุแบบวนซ้ำ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$

การเปลี่ยนพิกัดนี้มีค่าJacobian ที่เกี่ยวข้อง เท่ากับ. ${\displaystyle 1}$

หากเราสนใจที่จะประเมินตัวดำเนินการพลังงานอิสระในพิกัดเหล่านี้ เราจะได้

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\,\nabla _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0N}}}\,\nabla _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\nabla _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

ในการคำนวณ สามารถใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ได้

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$.