ฟังก์ชันK- นูน ซึ่งแนะนำครั้งแรกโดย Scarf [ ^{1 ]}เป็นการลดทอนพิเศษของแนวคิดฟังก์ชันนูนซึ่งมีความสำคัญในการพิสูจน์ความเหมาะสมที่สุดของนโยบายในทฤษฎีการควบคุมสินค้าคงคลัง^{นโยบาย}นี้มีลักษณะเฉพาะด้วยตัวเลขสองตัวคือ sและ Sโดยที่เมื่อระดับสินค้าคงคลังลดลงต่ำกว่าระดับ sจะมีการออกคำสั่งซื้อในปริมาณที่ทำให้สินค้าคงคลังเพิ่มขึ้นถึงระดับ Sและจะไม่มีการสั่งซื้อใดๆ ในกรณีอื่นๆ Gallego และ Sethi ^{[ 2 ]}ได้ขยายแนวคิดของ K-นูนไปยังปริภูมิยุคลิดมิติสูงกว่า ${\displaystyle (s,S)}$${\displaystyle S\geq s}$

นิยามที่เทียบเท่ากันสองข้อมีดังนี้:

ให้Kเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่าK-นูน ถ้า ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(ub)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

สำหรับทุกสิ่งและ. ${\displaystyle u,z\geq 0,}$${\displaystyle b>0}$

ฟังก์ชันเรียกว่าK-นูน ถ้า ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

สำหรับทุกคนทุก ที่${\displaystyle x\leq y,\lambda \in [0,1]}$${\displaystyle {\bar {\lambda }}=1-\lambda }$

คำจำกัดความนี้ยอมรับการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของการมองเห็น^{[ 3 ]}ให้ . กล่าวได้ว่าจุดหนึ่ง สามารถมองเห็นได้จาก ถ้าจุดกลางทั้งหมดอยู่ต่ำกว่าส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองนี้ จากนั้นลักษณะทางเรขาคณิตของ ความนูน Kสามารถหาได้ดังนี้: ${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (y,f(y)+a)}$${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$

ฟังก์ชันK-นูนก็ต่อเมื่อสามารถมองเห็นได้จากสำหรับทุกค่า${\displaystyle g}$${\displaystyle (x,g(x))}$${\displaystyle (y,g(y)+K)}$${\displaystyle y\geq x}$

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าคำจำกัดความข้างต้นสามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ ซึ่งสามารถเห็นได้จากการใช้การแปลง

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=ub,\quad y=u+z.}$

^{[ 4 ]}

ถ้าเป็นK-นูนแล้ว มันจะเป็นL-นูนสำหรับทุกค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นนูนแล้ว มันจะเป็นK-นูนสำหรับทุกค่าด้วย ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle L\geq K}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K\geq 0}$

ถ้าเป็นK-นูน และเป็นL-นูน แล้วสำหรับจะเป็น-นูน ${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$${\displaystyle (\อัลฟา K+\เบต้า L)}$

ถ้าเป็นK-นูน และเป็นตัวแปรสุ่ม โดยที่สำหรับทุกค่าแล้วก็เป็นK-นูน เช่นกัน${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle Eg(x-\xi )}$

ถ้าเป็นK-นูน การจำกัดของบนเซตแบบนูนใดๆก็จะเป็นK-นูนเช่นกัน ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {R} }$

ถ้าเป็น ฟังก์ชัน K-นูนต่อเนื่อง และเมื่อแล้วจะมีสเกลาร์และที่ทำให้ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\leq S}$

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$สำหรับทุกคน;${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$สำหรับทุกคน;${\displaystyle y<s}$
• ${\displaystyle g(y)}$เป็นฟังก์ชันลดลงบน;${\displaystyle (-\infty ,s)}$
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$สำหรับทุกคนที่มี.${\displaystyle y,z}$${\displaystyle s\leq y\leq z}$

• Gallego, G.; Sethi, SP (2005). " -ความนูนใน" ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}^{n}}$(PDF) . วารสารทฤษฎีและการประยุกต์ใช้การเพิ่มประสิทธิภาพ . 127 (1): 71– 88. doi : 10.1007/s10957-005-6393-4 . MR  2174750 .